Topological Data Analysis with applica2ons to porous and - PowerPoint PPT Presentation

Topological ¡Data ¡Analysis ¡ with ¡applica2ons ¡to ¡ ¡ porous ¡and ¡granular ¡materials ¡ ARC ¡Future ¡Fellowship ¡ Vanessa ¡Robins ¡ FT140100604 ¡ ¡ Applied ¡Mathema2cs, ¡RSPE, ¡ANU ¡ ARC ¡Discovery ¡Projects ¡ DP1101028, ¡DP0666442 ¡

granular ¡and ¡porous ¡materials ¡ 1mm ¡scale ¡bars ¡ OMawa ¡sand ¡ Clashach ¡sandstone ¡ Mt ¡Gambier ¡limestone ¡ Want ¡accurate ¡geometric ¡and ¡topological ¡characterisa2on ¡from ¡x-­‑ray ¡micro-­‑CT ¡images ¡ • pore ¡and ¡grain ¡size ¡distribu2ons, ¡structure ¡of ¡immiscible ¡fluid ¡distribu2ons ¡ • adjacencies ¡between ¡elements, ¡network ¡models ¡ ¡ ¡ ¡ Understand ¡how ¡these ¡quan22es ¡correlate ¡with ¡physical ¡proper2es ¡such ¡as ¡ • diffusion, ¡permeability, ¡mechanical ¡response ¡to ¡load. ¡ ¡ ¡ ¡ figures ¡obtained ¡at ¡the ¡ANU ¡micro ¡CT ¡facility ¡

Topology ¡from ¡data? ¡ ¡ • Challenge: ¡compute ¡topological ¡invariants ¡from ¡finite ¡noisy ¡data ¡ with ¡structure ¡on ¡different ¡length-­‑scales. ¡ ¡ – e.g. ¡connected ¡components ¡(clustering) ¡ – Euler ¡characteris2c, ¡ ¡Be_ ¡numbers, ¡homology ¡groups. ¡ ¡ • Requirements: ¡ ¡ – a ¡cell ¡complex ¡ – efficient ¡algorithms ¡ – sta2s2cal ¡methods ¡for ¡the ¡analysis ¡of ¡topological ¡invariants ¡ • Applica2ons: ¡ – Spherical ¡bead ¡packings ¡and ¡other ¡granular ¡and ¡porous ¡materials ¡ ¡ – Glass ¡transi2on, ¡Materials ¡informa2cs ¡(for ¡MOFs, ¡etc.) ¡ ¡ ¡ – Histology ¡image ¡analysis, ¡protein ¡structure, ¡distribu2on ¡of ¡galaxies ¡in ¡the ¡ universe, ¡dynamical ¡systems/ ¡2me ¡series ¡analysis, ¡….. ¡

Persistent ¡homology ¡for ¡func2ons ¡ Suppose ¡f: ¡M ¡ � ¡ R ¡is ¡a ¡real ¡valued ¡func2on ¡on ¡a ¡manifold, ¡M. ¡ ¡ ¡ A ¡filtra2on ¡of ¡M ¡is ¡defined ¡by ¡the ¡lower-­‑level ¡sets ¡of ¡f: ¡ ¡ ¡M h ¡= ¡{ ¡x ¡in ¡ ¡M ¡such ¡that ¡f(x) ¡≤ ¡h ¡} ¡ ¡ ¡ Morse ¡theory ¡tells ¡us ¡that ¡the ¡topology ¡of ¡M h ¡can ¡change ¡only ¡ when ¡h ¡is ¡a ¡cri2cal ¡value ¡of ¡f. ¡ ¡ ¡ ¡ If ¡the ¡cri2cal ¡points ¡of ¡f ¡are ¡isolated ¡and ¡non-­‑degenerate, ¡then ¡ the ¡topological ¡change ¡is ¡dictated ¡by ¡the ¡index ¡of ¡the ¡cri2cal ¡ point, ¡i.e. ¡the ¡number ¡of ¡nega2ve ¡eigenvalues ¡of ¡the ¡Hessian ¡ matrix. ¡ ¡ ¡

1. ¡Morse ¡theory ¡for ¡smooth ¡manifolds ¡and ¡func2ons ¡ Let’s ¡start ¡simple: ¡ ¡ f ¡is ¡a ¡smooth ¡(i.e. ¡infinitely ¡differen2able) ¡real ¡valued ¡func2on ¡of ¡one ¡variable ¡ A ¡cri2cal ¡point ¡x 0 ¡of ¡ f ¡is ¡where ¡the ¡deriva2ve ¡ f’(x 0 ) ¡= ¡0. ¡ The ¡number ¡ c ¡is ¡a ¡cri2cal ¡value ¡if ¡ f(x 0 ) ¡= ¡c. ¡ The ¡cri2cal ¡point ¡is ¡degenerate ¡if ¡the ¡second ¡deriva2ve ¡ f’’(x 0 ) ¡= ¡0. ¡ Otherwise, ¡the ¡cri2cal ¡point ¡is ¡non-­‑degenerate ¡ ¡ Key ¡points: ¡ non-­‑degenerate ¡cri2cal ¡points ¡ ¡ 2.4 2.4 f(x) ¡= ¡x 2 ¡ f(x) ¡= ¡x 2 -­‑ax ¡ are ¡stable ¡ x 0 ¡= ¡0 ¡ 1.6 ¡ 1.6 in ¡the ¡neighbourhood ¡of ¡a ¡ ¡ 0.8 0.8 non-­‑degenerate ¡cri2cal ¡point, ¡ ¡ f ¡is ¡well ¡approximated ¡by ¡a ¡ ¡ -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 quadra2c ¡func2on ¡ -0.8 -0.8 2.4 f(x) ¡≈ ¡f(x 0 ) ¡+ ¡½f’’(x 0 )(x-­‑x 0 ) 2 ¡ 2.4 2.4 f(x) ¡= ¡x 3 -­‑ax ¡ f(x) ¡= ¡x 3 ¡ 1.6 x 0 ¡= ¡0 ¡ 1.6 1.6 0.8 0.8 0.8 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 -0.8 -0.8 -0.8

1. ¡Morse ¡theory ¡for ¡smooth ¡manifolds ¡and ¡func2ons ¡ Now ¡for ¡any ¡finite ¡dimension: ¡ ¡ f ¡is ¡a ¡smooth ¡real ¡valued ¡func2on ¡on ¡a ¡closed ¡smooth ¡m-­‑dimensional ¡manifold ¡ M . ¡ ¡ ¡ ¡ A ¡cri2cal ¡point ¡ p 0 ¡ of ¡ f ¡is ¡where ¡the ¡deriva2ves ¡ D xi f(p 0 ) ¡= ¡0, ¡i=1,…,m. ¡ ¡ ¡ If ¡ p 0 ¡is ¡a ¡cri2cal ¡point, ¡we ¡define ¡the ¡Hessian ¡ H f (p 0 ) ¡= ¡ ( D xixj ¡f(p 0 ) ) ¡ ¡as ¡the ¡matrix ¡of ¡second ¡deriva2ves ¡evaluated ¡at ¡ p 0 ¡ ¡ The ¡cri2cal ¡point ¡is ¡degenerate ¡if ¡the ¡matrix ¡of ¡second ¡deriva2ves ¡has ¡ det ¡H f (p 0 ) ¡= ¡0 ¡ . ¡ ¡Otherwise, ¡the ¡cri2cal ¡point ¡is ¡non-­‑degenerate. ¡ ¡ A ¡topologist’s ¡favourite ¡Morse ¡ ¡ A ¡Morse ¡func2on ¡ func2on ¡is ¡a ¡height ¡func2on ¡ f : M → R is ¡one ¡with ¡only ¡non-­‑degenerate ¡cri2cal ¡points ¡ • it ¡follows ¡that ¡these ¡are ¡isolated ¡ • it ¡also ¡follows ¡that ¡if ¡ M ¡is ¡compact, ¡then ¡the ¡ ¡Morse ¡func2on ¡ f ¡has ¡finitely ¡many ¡cri2cal ¡points ¡ • near ¡a ¡cri2cal ¡point, ¡f ¡has ¡a ¡quadra2c ¡form: ¡ ¡ f(p 0 ) ¡≈ ¡c ¡+ ¡X 1 2 ¡ + ¡X 2 2 ¡ +… ¡-­‑ ¡X j 2 ¡-­‑ ¡… ¡-­‑ ¡X m 2 ¡ ¡ Morse ¡func2ons ¡are ¡dense ¡in ¡the ¡ ¡ space ¡of ¡all ¡smooth ¡func2ons ¡on ¡ M ¡

1. ¡Morse ¡theory ¡for ¡smooth ¡manifolds ¡and ¡func2ons ¡ And ¡next: ¡ ¡ ¡ The ¡index ¡of ¡a ¡non-­‑degenerate ¡cri2cal ¡point ¡is ¡the ¡ ¡ in ¡a ¡contour ¡plot: ¡ ¡number ¡of ¡nega2ve ¡eigenvalues ¡of ¡the ¡Hessian ¡ H f (p 0 ) ¡ ¡ index ¡= ¡0 ¡ index ¡= ¡1 ¡ index ¡= ¡2 ¡ f ¡= ¡X 2 ¡+ ¡Y 2 ¡ f ¡= ¡X 2 ¡-­‑ ¡Y 2 ¡ f ¡= ¡-­‑ ¡X 2 ¡-­‑ ¡Y 2 ¡ Key ¡insight: ¡ ¡The ¡topology ¡of ¡lower ¡level ¡sets ¡ ¡ M t = { p ∈ M | f ( p ) ≤ t } changes ¡only ¡when ¡ t ¡passes ¡through ¡a ¡cri2cal ¡value ¡of ¡ f ¡ Theorem: ¡ ¡If ¡the ¡Morse ¡func2on ¡ f ¡has ¡no ¡cri2cal ¡values ¡in ¡the ¡interval ¡ [a,b] ¡ ¡ then ¡ M b ¡is ¡homotopy ¡equivalent ¡to ¡ M a . ¡ ¡In ¡fact ¡ M [a,b] ¡is ¡diffeomorphic ¡to ¡ ¡ f -­‑1 (a) ¡x ¡[0,1] . ¡ ¡

1. ¡Morse ¡theory ¡for ¡smooth ¡manifolds ¡and ¡func2ons ¡ When ¡the ¡level ¡sets ¡pass ¡through ¡an ¡isolated ¡non-­‑degenerate ¡cri2cal ¡point, ¡ ¡ the ¡type ¡of ¡topological ¡change ¡depends ¡on ¡the ¡index ¡of ¡the ¡cri2cal ¡point. ¡ ¡ ¡ Theorem: ¡If ¡ p 0 ¡is ¡a ¡cri2cal ¡point ¡of ¡index ¡k ¡and ¡ c ¡= ¡f(p 0 ) ¡is ¡the ¡cri2cal ¡value, ¡ ¡ then ¡ M c+ ε ¡is ¡diffeomorphic ¡to ¡the ¡manifold ¡obtained ¡by ¡aMaching ¡a ¡k-­‑handle ¡to ¡ M c-­‑ ε ¡. ¡ An ¡m-­‑dimensional ¡k-­‑handle ¡is ¡the ¡cross ¡product ¡of ¡two ¡closed ¡disks: ¡ ¡ D k ¡x ¡D m-­‑k . ¡ ¡ ¡ ¡ “aMaching ¡a ¡handle ¡to ¡ M t ” ¡means ¡gluing ¡ ¡ D k ¡x ¡D m-­‑k ¡ ¡ along ¡ ¡ [-­‑1]xD m-­‑k ¡U ¡ ¡[1]xD m-­‑k ¡ ¡ to ¡ L t ¡= ¡bdry(M t ) ¡ ¡ Height ¡func2on ¡ on ¡a ¡2-­‑dim’l ¡ manifold ¡ index ¡0 ¡ index ¡1 ¡ index ¡2 ¡ 3-­‑dimensional ¡ k-­‑handles ¡

1. ¡Morse ¡theory ¡for ¡smooth ¡manifolds ¡and ¡func2ons ¡ The ¡previous ¡two ¡theorems ¡imply ¡that ¡ ¡ if ¡ f ¡is ¡a ¡Morse ¡func2on ¡on ¡a ¡manifold, ¡ M, ¡ without ¡boundary ¡and ¡ ¡ if ¡ f ¡has ¡ c k ¡cri2cal ¡points ¡of ¡index ¡ k , ¡ ¡ then ¡ M ¡has ¡the ¡homotopy ¡type ¡of ¡some ¡CW ¡complex ¡with ¡ c k ¡cells ¡of ¡dimension ¡k. ¡ ¡ ¡ Results ¡about ¡the ¡topology ¡of ¡CW ¡complexes ¡imply ¡the ¡Euler-­‑Poincare ¡result: ¡ χ ( M ) = b 0 − b 1 + b 2 − · · · + ( − 1) m b m = c 0 − c 1 + c 2 − · · · + ( − 1) m c m The ¡weak ¡Morse ¡inequali2es ¡rela2ng ¡ c k ¡to ¡ b k , ¡the ¡Be_ ¡numbers ¡of ¡ M : ¡ c k ≥ b k And ¡the ¡strong ¡Morse ¡inequali2es: ¡ ¡for ¡d ¡= ¡0,1,2,…,m ¡ ¡ c d − c d − 1 + c d − 2 − · · · + ( − 1) d c 0 ≥ b d − b d − 1 + b d − 2 − · · · + ( − 1) d b 0