Time and Length Scales in Glassy Systems Giulio Biroli - PowerPoint PPT Presentation

Time ¡and ¡Length ¡Scales ¡in ¡ Glassy ¡Systems Giulio ¡Biroli ¡ Institute ¡for ¡Theoretical ¡Physics, ¡CEA ¡Saclay, ¡France

Glassy ¡systems ¡ Condensed ¡and ¡soft-­‑matter ¡systems,...., ¡computer ¡science ¡(optimization ¡ problems), ¡economics ¡(agent ¡based ¡models)... Super-­‑cooled ¡liquids ¡and ¡structural ¡glasses Colloidal ¡liquids ¡and ¡colloidal ¡glasses

Slow ¡Dynamics ¡and ¡the ¡Glass ¡Transition log( viscosity in poise ) • Relaxation ¡time: ¡ ¡ ¡picoseconds ¡-­‑> ¡days • It ¡ takes ¡ one ¡ second ¡ to ¡ a ¡ molecule ¡ to ¡ move ¡ of ¡ one ¡ Angstrom! � � T 0 T g /T D η ∝ τ ∝ exp T − T 0

Slow ¡Dynamics ¡and ¡the ¡Glass ¡Transition log( viscosity in poise ) • Relaxation ¡time: ¡ ¡ ¡picoseconds ¡-­‑> ¡days • It ¡ takes ¡ one ¡ second ¡ to ¡ a ¡ molecule ¡ to ¡ move ¡ of ¡ one ¡ Angstrom! � � T 0 T g /T T g /T D η ∝ τ ∝ exp T − T 0

Slow ¡Dynamics ¡and ¡the ¡Glass ¡Transition log( viscosity in poise ) • Relaxation ¡time: ¡ ¡ ¡picoseconds ¡-­‑> ¡days • It ¡ takes ¡ one ¡ second ¡ to ¡ a ¡ molecule ¡ to ¡ move ¡ of ¡ one ¡ Angstrom! � � T 0 T g /T T g /T D η ∝ τ ∝ exp T − T 0

Disordered ¡structure Liquid Glass W. ¡Krauth A ¡snapshot ¡of ¡a ¡glass ¡looks ¡like ¡the ¡one ¡of ¡a ¡liquid! ¡

Models X Z = exp( − β H ) C X H = U ( x i − x i ) Newtonian ¡Dynamics i<j Langevin ¡ ¡Dynamics U(r) σ r Colloids ¡ Super-­‑cooled ¡liquids

Rugged ¡Energy ¡Landscape A ¡huge ¡number ¡of ¡minima, ¡saddles ¡and ¡maxima 38 ¡LJ ¡particles D.J. ¡Wales ¡et ¡al. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

A ¡Conceptual ¡and ¡Theoretical ¡ Challenge ¡ •Huge ¡number ¡of ¡competing ¡low ¡temperature ¡phases •What ¡kind ¡of ¡long-­‑range ¡order: ¡amorphous ¡order? •Properties ¡of ¡the ¡ideal ¡glass ¡state •Dynamics ¡in ¡such ¡a ¡complex ¡landscape

A ¡Conceptual ¡and ¡Theoretical ¡ Challenge ¡ •Huge ¡number ¡of ¡competing ¡low ¡temperature ¡phases •What ¡kind ¡of ¡long-­‑range ¡order: ¡amorphous ¡order? •Properties ¡of ¡the ¡ideal ¡glass ¡state •Dynamics ¡in ¡such ¡a ¡complex ¡landscape A NEW AND VAST UNIVERSALITY CLASS -­‑>Kirkpatrick, ¡ Thirumalai, ¡ Wolynes ¡ ’85-­‑’90: ¡ relationship ¡with ¡spin-­‑glasses

Mean-­‑Field ¡Theory ¡for ¡Rugged ¡Energy ¡Landscapes • A ¡lot ¡of ¡metastable ¡states ¡below ¡a ¡characteristic ¡temperature N ( f ) = exp( Ns c ( f )) • Competition ¡between ¡free-­‑energy ¡and ¡conQigurational ¡entropy ¡ β = ∂ s c ( f ) s c Z ∂ f β 1 f N ( f ) exp( − β Nf ) Z = d Z = f exp( N [ s c ( f ) − β f ]) d f Ideal Glasses A long story from the Random Energy Model to Hard Spheres in infinite dimensions

Mean-­‑Field ¡Theory ¡for ¡Rugged ¡Energy ¡Landscapes • A ¡lot ¡of ¡metastable ¡states ¡below ¡a ¡characteristic ¡temperature N ( f ) = exp( Ns c ( f )) • Competition ¡between ¡free-­‑energy ¡and ¡conQigurational ¡entropy ¡ β = ∂ s c ( f ) s c Z ∂ f f N ( f ) exp( − β Nf ) Z = d β 2 Z = f exp( N [ s c ( f ) − β f ]) d f Ideal Glasses A long story from the Random Energy Model to Hard Spheres in infinite dimensions

Mean-­‑Field ¡Theory ¡for ¡Rugged ¡Energy ¡Landscapes • A ¡lot ¡of ¡metastable ¡states ¡below ¡a ¡characteristic ¡temperature N ( f ) = exp( Ns c ( f )) • Competition ¡between ¡free-­‑energy ¡and ¡conQigurational ¡entropy ¡ β = ∂ s c ( f ) s c Z ∂ f f N ( f ) exp( − β Nf ) Z = d Z = f exp( N [ s c ( f ) − β f ]) d β K f Ideal Glasses A long story from the Random Energy Model to Hard Spheres in infinite dimensions

The ¡dynamical ¡(Mode-­‑Coupling) ¡transition Q ( t ) : 1 X h s i ( t ) s i (0) i Q ( t ) N i i (0)) 2 ✓ ◆ 1 � ( x j ( t ) � x 0 X h exp i 2 a 2 N i,j •Power ¡law ¡divergence ¡of ¡the ¡relaxation ¡time •Discontinuous ¡Edwards ¡Anderson ¡Parameter •Singular ¡behavior ¡in ¡time ¡before ¡the ¡transition •Singular ¡(square ¡root) ¡behavior ¡for ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡beyond ¡the ¡transition q EA

Random ¡First ¡Order ¡Transition Kirkpatrick, ¡Thirumalai ¡and ¡Wolynes,... exp ( − β H ( C )) Franz-­‑Parisi ¡ X δ [ Q ( C , C eq ) − q ] = exp( − NV ( q )) Potential Z C •Mode ¡ Coupling ¡ Cross-­‑Over ¡ analogous ¡to ¡a ¡spinodal ¡ s c •Glass ¡ Transition ¡ analogous ¡ to ¡ a ¡ phase ¡transition ¡of ¡Ising ¡in ¡a ¡Qield ¡ Overlap ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Magnetization ¡ ConWigurational ¡entropy ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Magnetic ¡Wield

Pro ¡and ¡Cons ¡of ¡Mean-­‑Field ¡Theory (1985-­‑...; ¡KTW-­‑...) ¡ •Ideal ¡Glass ¡Transition ¡as ¡condensation ¡transition •Qualitative ¡phase ¡diagrams ¡(structural ¡glasses, ¡colloids,...) ¡ •Behavior ¡of ¡static ¡intensive ¡observables ¡(g(r), ¡speciQic ¡heat,...) •No ¡stable ¡states ¡below ¡ T MCT •Wrong ¡description ¡of ¡the ¡dynamics

Pro ¡and ¡Cons ¡of ¡Mean-­‑Field ¡Theory (1985-­‑...; ¡KTW-­‑...) ¡ •Ideal ¡Glass ¡Transition ¡as ¡condensation ¡transition •Qualitative ¡phase ¡diagrams ¡(structural ¡glasses, ¡colloids,...) ¡ •Behavior ¡of ¡static ¡intensive ¡observables ¡(g(r), ¡speciQic ¡heat,...) •No ¡stable ¡states ¡below ¡ T MCT •Wrong ¡description ¡of ¡the ¡dynamics Time and Length scales (2004-­‑...)

Analytical ¡Frameworks •Replica ¡Field ¡Theory ¡for ¡the ¡statics ¡ •Dynamical ¡Field ¡Theory •Replica ¡Qield ¡Theory ¡for ¡the ¡dynamics ¡

Replica ¡Field ¡Theory R q α , β ( x ) | B =1 D q α , β exp ( L ( q α , β ( x ))) O ( q 1 ,m ) R q α , β ( x ) | B =1 D q α , β exp ( L ( q α , β ( x ))) α = 1 , . . . , m → 1 2 3 ( r q α , β ( x )) 2 Z 4X d d x L ( q α , β ( x )) = � + H ( q α , β ( x )) 5 2 α < β Mean-­‑Field ¡Theory: & ¡saddle ¡point ¡method q α , β ( x ) = q H ( q α , β ( x )) = ( m − 1) V ( q )

Dynamical ¡Field ¡Theory Similar ¡procedure ¡but ¡ Mean-­‑Field ¡Theory: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡saddle ¡point ¡method Mode-­‑Coupling ¡Theory ¡equations

Replica ¡Field ¡Theory ¡for ¡the ¡dynamics quasi-­‑equilibrium ¡inside ¡a ¡“state” perturbation ¡around ¡the ¡secondary ¡minimum

Static ¡length-­‑scale Liquid Glass

Dynamical ¡length-­‑scales (1995-­‑...) Hedges ¡et ¡al, ¡3D ¡KA ¡liquid Local ¡overlap q ( x ; t, 0) Dynamical ¡length-­‑scales ¡grow ¡approaching ¡the ¡glass ¡transition L. ¡Berthier, ¡G.B. ¡J.-­‑P. ¡Bouchaud, ¡L. ¡Cipelletti, ¡W. ¡van ¡Saarloos, ¡ Dynamical ¡heterogeneity ¡in ¡ glasses, ¡colloids ¡and ¡granular ¡media , ¡Oxford ¡University ¡Press ¡2011

Measurements ¡of ¡Point-­‑to-­‑Set ¡length ¡ GB, ¡JP ¡Bouchaud, ¡A. ¡Cavagna, ¡T.S. ¡Grigera, ¡P. ¡Verrocchio, ¡Nature ¡Physics, ¡2007 ¡ and ¡several ¡other ¡studies ¡later ¡on. ¡ •PS ¡length-­‑scale ¡grows ¡(but ¡mildly) •The ¡relationship ¡with ¡the ¡time-­‑scale ¡is, ¡for ¡the ¡moment, ¡unknown

Measurements ¡of ¡dynamic ¡length ¡ Flenner, ¡Zhang, ¡Szamel ¡(Hard ¡Spheres ¡Mixture) ¡ ¡PRE ¡’11 Berthier, ¡GB, ¡Bouchaud ¡et ¡al. ¡Science ¡’05; ¡PRE ¡’07 •Qualitative ¡behavior ¡is ¡in ¡agreement ¡with ¡theory •“Critical” ¡exponents ¡are ¡not ¡in ¡agreement ¡with ¡MF ¡theory ¡( ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡)