some aspects of the fisher kpp equation and the branching
play

Some aspects of the Fisher-KPP equation and the branching Brownian - PowerPoint PPT Presentation

May 17, 2023 •168 likes •1.65k views

Some aspects of the Fisher-KPP equation and the branching Brownian motion ric Brunet November the 3 rd , 2016, Paris Examiners M. Jean Brard (Universit de Strasbourg) M. Victor Dotsenko (UPMC) M. Giulio Biroli M. Robi Peschanski (CEA

  1. The Fisher-KPP equation — Universality ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion, linear growth ( h = 0 is unstable), saturation ( h = 1 is stable). ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 42 , h ( x , t + 1 ) = min [ 1 , 2 ∫ 0 d ǫ h ( x − ǫ, t )] . 1 γ c = 1, v c = 2, γ c = 5 . 26208 ... , v c = 0 . 815172 ... If ∫ d x h 0 ( x ) xe γ c x < ∞ , then µ t = v c t − 2 γ c ln t + C + o ( 1 ) 3 If h 0 ( x ) ∼ e − γ x and γ < γ c , then v = v ( γ ) > v c v ( γ ) = γ + 1 v ( γ ) = 1 γ ln [ 2 e γ − 1 γ ] , γ , v v c γ γ c November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 8 / 1

  2. The Fisher-KPP equation — Universality ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion, linear growth ( h = 0 is unstable), saturation ( h = 1 is stable). ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 42 , h ( x , t + 1 ) = min [ 1 , 2 ∫ 0 d ǫ h ( x − ǫ, t )] . 1 γ c = 1, v c = 2, γ c = 5 . 26208 ... , v c = 0 . 815172 ... If ∫ d x h 0 ( x ) xe γ c x < ∞ , then µ t = v c t − 2 γ c ln t + C + o ( 1 ) 3 If h 0 ( x ) ∼ e − γ x and γ < γ c , then v = v ( γ ) > v c v ( γ ) = γ + 1 v ( γ ) = 1 γ ln [ 2 e γ − 1 γ ] , γ , v To find v ( γ ) : v c γ γ c November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 8 / 1

  3. The Fisher-KPP equation — Universality ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion, linear growth ( h = 0 is unstable), saturation ( h = 1 is stable). ∂ t h = ∂ 2 x h + h //// − h 42 , h ( x , t + 1 ) = //// min [ 1 , 2 ∫ 0 d ǫ h ( x − ǫ, t )/ 1 ] . γ c = 1, v c = 2, γ c = 5 . 26208 ... , v c = 0 . 815172 ... If ∫ d x h 0 ( x ) xe γ c x < ∞ , then µ t = v c t − 2 γ c ln t + C + o ( 1 ) 3 If h 0 ( x ) ∼ e − γ x and γ < γ c , then v = v ( γ ) > v c v ( γ ) = γ + 1 v ( γ ) = 1 γ ln [ 2 e γ − 1 γ ] , γ , v To find v ( γ ) : linearise v c γ γ c November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 8 / 1

  4. The Fisher-KPP equation — Universality ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion, linear growth ( h = 0 is unstable), saturation ( h = 1 is stable). ∂ t h = ∂ 2 x h + h //// − h 42 , h ( x , t + 1 ) = //// min [ 1 , 2 ∫ 0 d ǫ h ( x − ǫ, t )/ 1 ] . γ c = 1, v c = 2, γ c = 5 . 26208 ... , v c = 0 . 815172 ... If ∫ d x h 0 ( x ) xe γ c x < ∞ , then µ t = v c t − 2 γ c ln t + C + o ( 1 ) 3 If h 0 ( x ) ∼ e − γ x and γ < γ c , then v = v ( γ ) > v c v ( γ ) = γ + 1 v ( γ ) = 1 γ ln [ 2 e γ − 1 γ ] , γ , v To find v ( γ ) : linearise v c h ( x , t ) ∝ e − γ ( x − vt ) γ γ c November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 8 / 1

  5. The branching Brownian motion A → 2 A , Diffusion, no saturation. November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 9 / 1

  6. The branching Brownian motion A → 2 A , Diffusion, no saturation. November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 9 / 1

  7. The branching Brownian motion A → 2 A , Diffusion, no saturation. ⎧ ⎪ ⎪ e t particles ⎪ ⎨ e t × e − x 2 On average: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4 t √ 4 π t d x particles in d x November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 9 / 1

  8. The branching Brownian motion A → 2 A , Diffusion, no saturation. ⎧ ⎪ ⎪ e t particles ⎪ ⎨ e t × e − x 2 On average: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4 t √ 4 π t d x particles in d x Expected density is 1 at position 2 t − 1 2 ln t + C + o ( 1 ) . November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 9 / 1

  9. The branching Brownian motion A → 2 A , Diffusion, no saturation. ⎧ ⎪ ⎪ e t particles ⎪ ⎨ e t × e − x 2 On average: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4 t √ 4 π t d x particles in d x Expected density is 1 at position 2 t − 1 2 ln t + C + o ( 1 ) . Rightmost particle is actually around 2 t − 3 2 ln t + O( 1 ) . November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 9 / 1

  10. ✶ McKean’s relation The position of the rightmost at time t ↓ h ( x , t ) = P [ R t ≥ x ] . Introduce: November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 10 / 1

  11. McKean’s relation The position of the rightmost at time t ↓ h ( x , t ) = P [ R t ≥ x ] . Introduce: h follows the Fisher-KPP equation h 0 ( x ) = ✶ { x ≤ 0 } = ( 0 ) ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , 1 0 November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 10 / 1

  12. McKean’s relation The position of the rightmost at time t ↓ h ( x , t ) = P [ R t ≥ x ] . Introduce: h follows the Fisher-KPP equation h 0 ( x ) = ✶ { x ≤ 0 } = ( 0 ) ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , 1 0 1 − h ( x , t + d t ) = �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� P [ R t + d t < x ] November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 10 / 1

  13. McKean’s relation The position of the rightmost at time t ↓ h ( x , t ) = P [ R t ≥ x ] . Introduce: h follows the Fisher-KPP equation h 0 ( x ) = ✶ { x ≤ 0 } = ( 0 ) ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , 1 0 1 − h ( x , t + d t ) = ( 1 − d t ) + d t �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� P [ R t + d t < x ] 0 0 d t d t √ d t η November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 10 / 1

  14. McKean’s relation The position of the rightmost at time t ↓ h ( x , t ) = P [ R t ≥ x ] . Introduce: h follows the Fisher-KPP equation h 0 ( x ) = ✶ { x ≤ 0 } = ( 0 ) ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , 1 0 √ 1 − h ( x , t + d t ) = ( 1 − d t )⟨ 1 − h ( x − η d t , t )⟩ + d t �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� P [ R t + d t < x ] 0 0 d t d t √ d t η November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 10 / 1

  15. McKean’s relation The position of the rightmost at time t ↓ h ( x , t ) = P [ R t ≥ x ] . Introduce: h follows the Fisher-KPP equation h 0 ( x ) = ✶ { x ≤ 0 } = ( 0 ) ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , 1 0 √ 1 − h ( x , t + d t ) = ( 1 − d t )⟨ 1 − h ( x − η d t , t )⟩ + d t ( 1 − h ( x , t )) 2 �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� P [ R t + d t < x ] 0 0 d t d t √ d t η November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 10 / 1

  16. McKean’s relation The position of the rightmost at time t ↓ h ( x , t ) = P [ R t ≥ x ] . Introduce: h follows the Fisher-KPP equation h 0 ( x ) = ✶ { x ≤ 0 } = ( 0 ) ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , 1 0 The position of particle u at time t ↓ h ( x , t ) = 1 − ⟨ [ 1 − φ ( x − X u )]⟩ ∏ all the particles u at time t November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 10 / 1

  17. McKean’s relation The position of the rightmost at time t ↓ h ( x , t ) = P [ R t ≥ x ] . Introduce: h follows the Fisher-KPP equation h 0 ( x ) = ✶ { x ≤ 0 } = ( 0 ) ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , 1 0 The position of particle u at time t ↓ h ( x , t ) = 1 − ⟨ [ 1 − φ ( x − X u )]⟩ ∏ all the particles u at time t This h follows also the Fisher-KPP equation ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , h 0 ( x ) = φ ( x ) November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 10 / 1

  18. Fisher-KPP and BBM The Fisher-KPP equation: ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 The BBM November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 11 / 1

  19. Fisher-KPP and BBM The Fisher-KPP equation: ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion and growth The BBM Diffusion and growth November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 11 / 1

  20. Fisher-KPP and BBM The Fisher-KPP equation: ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion and growth with saturation ⎧ ⎪ � � → 2 A ⎪ 1 + ǫ A + B → 2 A ⎨ A ⎪ or with population maintained constant ⎪ � → 2 B ⎩ 1 B The BBM Diffusion and growth November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 11 / 1

  21. Fisher-KPP and BBM The Fisher-KPP equation: ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion and growth with saturation ⎧ ⎪ � � → 2 A ⎪ 1 + ǫ A + B → 2 A ⎨ A ⎪ or with population maintained constant ⎪ � → 2 B ⎩ 1 B The BBM Diffusion and growth without saturation A → 2 A November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 11 / 1

  22. Fisher-KPP and BBM The Fisher-KPP equation: ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion and growth with saturation ⎧ ⎪ � � → 2 A ⎪ 1 + ǫ A + B → 2 A ⎨ A ⎪ or with population maintained constant ⎪ � → 2 B ⎩ 1 B A deterministic equation: mean-field description. The BBM Diffusion and growth without saturation A → 2 A November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 11 / 1

  23. Fisher-KPP and BBM The Fisher-KPP equation: ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion and growth with saturation ⎧ ⎪ � � → 2 A ⎪ 1 + ǫ A + B → 2 A ⎨ A ⎪ or with population maintained constant ⎪ � → 2 B ⎩ 1 B A deterministic equation: mean-field description. The BBM Diffusion and growth without saturation A → 2 A A stochastic process: microscopic description. November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 11 / 1

  24. Fisher-KPP and BBM The Fisher-KPP equation: ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion and growth with saturation ⎧ ⎪ � � → 2 A ⎪ 1 + ǫ A + B → 2 A ⎨ A ⎪ or with population maintained constant ⎪ � → 2 B ⎩ 1 B A deterministic equation: mean-field description. Also describes high-energy scattering in QCD The BBM Diffusion and growth without saturation A → 2 A A stochastic process: microscopic description. November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 11 / 1

  25. Fisher-KPP and BBM The Fisher-KPP equation: ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion and growth with saturation ⎧ ⎪ � � → 2 A ⎪ 1 + ǫ A + B → 2 A ⎨ A ⎪ or with population maintained constant ⎪ � → 2 B ⎩ 1 B A deterministic equation: mean-field description. Also describes high-energy scattering in QCD The BBM Diffusion and growth without saturation A → 2 A A stochastic process: microscopic description. Also disordered systems (directed polymers on a tree, generalized random energy model, . . . ) November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 11 / 1

  26. Fisher-KPP and BBM The Fisher-KPP equation: ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion and growth with saturation ⎧ ⎪ � � → 2 A ⎪ 1 + ǫ A + B → 2 A ⎨ A ⎪ or with population maintained constant ⎪ � → 2 B ⎩ 1 B A deterministic equation: mean-field description. Also describes high-energy scattering in QCD The BBM Diffusion and growth without saturation A → 2 A A stochastic process: microscopic description. Also disordered systems (directed polymers on a tree, generalized random energy model, . . . ) Are related through McKean’s relation November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 11 / 1

  27. Fisher-KPP and BBM The Fisher-KPP equation: ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 Diffusion and growth with saturation ⎧ ⎪ � � → 2 A ⎪ 1 + ǫ A + B → 2 A ⎨ A ⎪ or with population maintained constant ⎪ � → 2 B ⎩ 1 B A deterministic equation: mean-field description. Also describes high-energy scattering in QCD The BBM Diffusion and growth without saturation A → 2 A A stochastic process: microscopic description. Also disordered systems (directed polymers on a tree, generalized random energy model, . . . ) Are related through McKean’s relation Exhibit universal behaviour November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 11 / 1

  28. My contribution Introduction of a noise to the Fisher-KPP equation Precise position of the Fisher-KPP front Description of the rightmost particles in a BBM November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 12 / 1

  29. Noisy Fisher-KPP equations Fisher-KPP equation and BBM: diffusion and growth November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 13 / 1

  30. Noisy Fisher-KPP equations stochastic, without saturation ↓ Fisher-K PP equation and B BM: diffusion and growth ↑ deterministic (mean-field), with saturation November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 13 / 1

  31. Noisy Fisher-KPP equations stochastic, without saturation ↓ Fisher-K PP equation and B BM: diffusion and growth ↑ deterministic (mean-field), with saturation What about saturation and noisy dynamics? November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 13 / 1

  32. Noisy Fisher-KPP equations stochastic, without saturation ↓ Fisher-K PP equation and B BM: diffusion and growth ↑ deterministic (mean-field), with saturation What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation Add saturation to the BBM November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 13 / 1

  33. Noisy Fisher-KPP equations stochastic, without saturation ↓ Fisher-K PP equation and B BM: diffusion and growth ↑ deterministic (mean-field), with saturation What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ Discretize space; put N particles per site. h ( x , t ) = 1 N [ number of A at site x and time t ] , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Add saturation to the BBM November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 13 / 1

  34. Noisy Fisher-KPP equations stochastic, without saturation ↓ Fisher-K PP equation and B BM: diffusion and growth ↑ deterministic (mean-field), with saturation What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ Discretize space; put N particles per site. h ( x , t ) = 1 N [ number of A at site x and time t ] , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ Particles in neighbouring sites can exchange positions, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Add saturation to the BBM November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 13 / 1

  35. Noisy Fisher-KPP equations stochastic, without saturation ↓ Fisher-K PP equation and B BM: diffusion and growth ↑ deterministic (mean-field), with saturation What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ Discretize space; put N particles per site. h ( x , t ) = 1 N [ number of A at site x and time t ] , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ Particles in neighbouring sites can exchange positions, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ A + B → 2 A within one site. ⎩ Add saturation to the BBM November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 13 / 1

  36. Noisy Fisher-KPP equations stochastic, without saturation ↓ Fisher-K PP equation and B BM: diffusion and growth ↑ deterministic (mean-field), with saturation What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ Discretize space; put N particles per site. h ( x , t ) = 1 N [ number of A at site x and time t ] , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ Particles in neighbouring sites can exchange positions, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ A + B → 2 A within one site. ⎩ √ x h + h − h 2 + ∂ t h = ∂ 2 N η ( x , t ) h − h 2 Other approach: Add saturation to the BBM November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 13 / 1

  37. Noisy Fisher-KPP equations stochastic, without saturation ↓ Fisher-K PP equation and B BM: diffusion and growth ↑ deterministic (mean-field), with saturation What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ Discretize space; put N particles per site. h ( x , t ) = 1 N [ number of A at site x and time t ] , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ Particles in neighbouring sites can exchange positions, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ A + B → 2 A within one site. ⎩ √ x h + h − h 2 + ∂ t h = ∂ 2 N η ( x , t ) h − h 2 Other approach: Add saturation to the BBM Kill the leftmost particles to keep at most N particles. November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 13 / 1

  38. Noisy Fisher-KPP equations stochastic, without saturation ↓ Fisher-K PP equation and B BM: diffusion and growth ↑ deterministic (mean-field), with saturation What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ Discretize space; put N particles per site. h ( x , t ) = 1 N [ number of A at site x and time t ] , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ Particles in neighbouring sites can exchange positions, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ A + B → 2 A within one site. ⎩ √ x h + h − h 2 + ∂ t h = ∂ 2 N η ( x , t ) h − h 2 Other approach: Add saturation to the BBM Kill the leftmost particles to keep at most N particles. Other approach: kill all the particles at a distance L from the rightmost. November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 13 / 1

  39. Noisy Fisher-KPP equations stochastic, without saturation ↓ Fisher-K PP equation and B BM: diffusion and growth ↑ deterministic (mean-field), with saturation What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ Discretize space; put N particles per site. h ( x , t ) = 1 N [ number of A at site x and time t ] , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ Particles in neighbouring sites can exchange positions, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ A + B → 2 A within one site. ⎩ √ x h + h − h 2 + ∂ t h = ∂ 2 N η ( x , t ) h − h 2 Other approach: Add saturation to the BBM Kill the leftmost particles to keep at most N particles. Other approach: kill all the particles at a distance L from the rightmost. Other approach: allow particles to coalesce with small rate. November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 13 / 1

  40. Noisy Fisher-KPP equations stochastic, without saturation ↓ Fisher-K PP equation and B BM: diffusion and growth ↑ deterministic (mean-field), with saturation What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ Discretize space; put N particles per site. h ( x , t ) = 1 N [ number of A at site x and time t ] , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ Particles in neighbouring sites can exchange positions, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ A + B → 2 A within one site. ⎩ √ x h + h − h 2 + ∂ t h = ∂ 2 N η ( x , t ) h − h 2 Other approach: Add saturation to the BBM Kill the leftmost particles to keep at most N particles. Other approach: kill all the particles at a distance L from the rightmost. Other approach: allow particles to coalesce with small rate. Universal behaviour November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 13 / 1

  41. Noisy Fisher-KPP equations stochastic, without saturation ↓ Fisher-K PP equation and B BM: diffusion and growth ↑ deterministic (mean-field), with saturation What about saturation and noisy dynamics? Add noise to the Fisher-KPP equation ⎧ ⎪ Discretize space; put N particles per site. h ( x , t ) = 1 N [ number of A at site x and time t ] , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ Particles in neighbouring sites can exchange positions, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ A + B → 2 A within one site. ⎩ √ x h + h − h 2 + ∂ t h = ∂ 2 N η ( x , t ) h − h 2 Other approach: Add saturation to the BBM Kill the leftmost particles to keep at most N particles. Other approach: kill all the particles at a distance L from the rightmost. Other approach: allow particles to coalesce with small rate. Universal behaviour November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 13 / 1

  42. Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off h ( x , t ) = 1 N ( number of A at site x and time t ) November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 14 / 1

  43. Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off h ( x , t ) = 1 N ( number of A at site x and time t ) � ⇒ in particular, if h < 1 N , then h = 0. November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 14 / 1

  44. Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off h ( x , t ) = 1 N ( number of A at site x and time t ) � ⇒ in particular, if h < 1 N , then h = 0. Equation with cut-off ⎧ ⎪ h ( x , t ) + ǫ ( “ ∂ 2 x h ” + h − h 2 ) ⎪ h ( x , t + ǫ ) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 14 / 1

  45. Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off h ( x , t ) = 1 N ( number of A at site x and time t ) � ⇒ in particular, if h < 1 N , then h = 0. Equation with cut-off ⎧ ⎪ h ( x , t ) + ǫ ( “ ∂ 2 x h ” + h − h 2 ) if this is bigger than 1 / N ⎪ h ( x , t + ǫ ) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 14 / 1

  46. Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off h ( x , t ) = 1 N ( number of A at site x and time t ) � ⇒ in particular, if h < 1 N , then h = 0. Equation with cut-off ⎧ ⎪ h ( x , t ) + ǫ ( “ ∂ 2 x h ” + h − h 2 ) if this is bigger than 1 / N ⎪ h ( x , t + ǫ ) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 0 otherwise November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 14 / 1

  47. Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off h ( x , t ) = 1 N ( number of A at site x and time t ) � ⇒ in particular, if h < 1 N , then h = 0. Equation with cut-off ⎧ ⎪ h ( x , t ) + ǫ ( “ ∂ 2 x h ” + h − h 2 ) if this is bigger than 1 / N ⎪ h ( x , t + ǫ ) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 0 otherwise Comparing h ( x , t ) , h ( x , t ) e x − µ t , h ( N = 10 8 ) cut-off ( x , t ) e x − µ t and h ( N = 10 10 ) ( x , t ) e x − µ t cut-off November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 14 / 1

  48. Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off h ( x , t ) = 1 N ( number of A at site x and time t ) � ⇒ in particular, if h < 1 N , then h = 0. Equation with cut-off ⎧ ⎪ h ( x , t ) + ǫ ( “ ∂ 2 x h ” + h − h 2 ) if this is bigger than 1 / N ⎪ h ( x , t + ǫ ) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 0 otherwise Comparing h ( x , t ) , h ( x , t ) e x − µ t , h ( N = 10 8 ) cut-off ( x , t ) e x − µ t and h ( N = 10 10 ) ( x , t ) e x − µ t cut-off November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 14 / 1

  49. Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off velocity Comparing h ( x , t ) , h ( x , t ) e x − µ t , h ( N = 10 8 ) cut-off ( x , t ) e x − µ t and h ( N = 10 10 ) ( x , t ) e x − µ t cut-off November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 15 / 1

  50. Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off velocity Comparing h ( x , t ) , h ( x , t ) e x − µ t , h ( N = 10 8 ) cut-off ( x , t ) e x − µ t and h ( N = 10 10 ) ( x , t ) e x − µ t cut-off Recall that h ( µ t + z , t ) → ω v ( z ) , and that ω v ( z ) ≋ e − γ z with v = v ( γ ) . November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 15 / 1

  51. Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off velocity Comparing h ( x , t ) , h ( x , t ) e x − µ t , h ( N = 10 8 ) cut-off ( x , t ) e x − µ t and h ( N = 10 10 ) ( x , t ) e x − µ t cut-off Recall that h ( µ t + z , t ) → ω v ( z ) , and that ω v ( z ) ≋ e − γ z with v = v ( γ ) . Without cut-off ω v c ( z ) ∼ Aze − γ c z v = v ( γ c ) = v c . November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 15 / 1

  52. Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off velocity Comparing h ( x , t ) , h ( x , t ) e x − µ t , h ( N = 10 8 ) cut-off ( x , t ) e x − µ t and h ( N = 10 10 ) ( x , t ) e x − µ t cut-off Recall that h ( µ t + z , t ) → ω v ( z ) , and that ω v ( z ) ≋ e − γ z with v = v ( γ ) . Without cut-off With cut-off ω v c ( z ) ∼ Aze − γ c z ω v ( z ) ∼ A L π sin ( π z L ) e − γ c z v = v ( γ c ) = v c . November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 15 / 1

  53. Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off velocity Comparing h ( x , t ) , h ( x , t ) e x − µ t , h ( N = 10 8 ) cut-off ( x , t ) e x − µ t and h ( N = 10 10 ) ( x , t ) e x − µ t cut-off Recall that h ( µ t + z , t ) → ω v ( z ) , and that ω v ( z ) ≋ e − γ z with v = v ( γ ) . Without cut-off With cut-off ω v c ( z ) ∼ Aze − γ c z ω v ( z ) ∼ A L π sin ( π z L ) e − γ c z v = v ( γ c ) = v c . v = v ( γ c ± i π L ) November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 15 / 1

  54. Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off velocity Comparing h ( x , t ) , h ( x , t ) e x − µ t , h ( N = 10 8 ) cut-off ( x , t ) e x − µ t and h ( N = 10 10 ) ( x , t ) e x − µ t cut-off Recall that h ( µ t + z , t ) → ω v ( z ) , and that ω v ( z ) ≋ e − γ z with v = v ( γ ) . Without cut-off With cut-off ω v c ( z ) ∼ Aze − γ c z ω v ( z ) ∼ A L π sin ( π z L ) e − γ c z v = v ( γ c ) = v c . v = v ( γ c ± i π L ) ≃ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) 2 L 2 November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 15 / 1

  55. Noisy Fisher-KPP equations — The cut-off velocity Comparing h ( x , t ) , h ( x , t ) e x − µ t , h ( N = 10 8 ) cut-off ( x , t ) e x − µ t and h ( N = 10 10 ) ( x , t ) e x − µ t cut-off Recall that h ( µ t + z , t ) → ω v ( z ) , and that ω v ( z ) ≋ e − γ z with v = v ( γ ) . Without cut-off With cut-off ω v c ( z ) ∼ Aze − γ c z ω v ( z ) ∼ A L π sin ( π z L ) e − γ c z v = v ( γ c ) = v c . v = v ( γ c ± i π L ) ≃ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) 2 L 2 L = ln N γ c November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 15 / 1

  56. Noisy Fisher-KPP equations The cut-off theory v ≈ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) h ( µ t + z , t ) e γ c z ∼ AL π sin ( π z L ) , L = ln N , 2 L 2 γ c November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 16 / 1

  57. Noisy Fisher-KPP equations The cut-off theory v ≈ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) h ( µ t + z , t ) e γ c z ∼ AL π sin ( π z L ) , L = ln N , 2 L 2 γ c Fully deterministic... November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 16 / 1

  58. Noisy Fisher-KPP equations The cut-off theory v ≈ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) h ( µ t + z , t ) e γ c z ∼ AL π sin ( π z L ) , L = ln N , 2 L 2 γ c Fully deterministic... h ( µ t + z , t ) h ( µ t + z , t ) e γ c z and November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 16 / 1

  59. Noisy Fisher-KPP equations The cut-off theory v ≈ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) h ( µ t + z , t ) e γ c z ∼ AL π sin ( π z L ) , L = ln N , 2 L 2 γ c Fully deterministic... h ( µ t + z , t ) h ( µ t + z , t ) e γ c z and The cut-off theory works (a sine shape) November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 16 / 1

  60. Noisy Fisher-KPP equations The cut-off theory v ≈ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) h ( µ t + z , t ) e γ c z ∼ AL π sin ( π z L ) , L = ln N , 2 L 2 γ c Fully deterministic... h ( µ t + z , t ) h ( µ t + z , t ) e γ c z and The cut-off theory works (a sine shape) Rarely, a large fluctuation occurs November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 16 / 1

  61. Noisy Fisher-KPP equations The cut-off theory v ≈ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) h ( µ t + z , t ) e γ c z ∼ AL π sin ( π z L ) , L = ln N , 2 L 2 γ c Fully deterministic... h ( µ t + z , t ) h ( µ t + z , t ) e γ c z and The cut-off theory works (a sine shape) Rarely, a large fluctuation occurs The fluctuation rises quickly November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 16 / 1

  62. Noisy Fisher-KPP equations The cut-off theory v ≈ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) h ( µ t + z , t ) e γ c z ∼ AL π sin ( π z L ) , L = ln N , 2 L 2 γ c Fully deterministic... h ( µ t + z , t ) h ( µ t + z , t ) e γ c z and The cut-off theory works (a sine shape) Rarely, a large fluctuation occurs The fluctuation rises quickly The fluctuation relaxes slowly November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 16 / 1

  63. Noisy Fisher-KPP equations The cut-off theory v ≈ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) h ( µ t + z , t ) e γ c z ∼ AL π sin ( π z L ) , L = ln N , 2 L 2 γ c Fully deterministic... h ( µ t + z , t ) h ( µ t + z , t ) e γ c z and The cut-off theory works (a sine shape) Rarely, a large fluctuation occurs (every ∝ L 3 time) The fluctuation rises quickly (in a time of order 1) The fluctuation relaxes slowly (in a time of order L 2 ) November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 16 / 1

  64. Noisy Fisher-KPP equations The cut-off theory v ≈ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) h ( µ t + z , t ) e γ c z ∼ AL π sin ( π z L ) , L = ln N , 2 L 2 γ c Fully deterministic... The cut-off theory works Fisher-KPP with noise (a sine shape) v ≈ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) ( 1 L 2 − 6log L ) Rarely, a large fluctuation occurs (every ∝ L 3 time) L 3 2 The fluctuation rises quickly (in a time of order 1) The fluctuation relaxes slowly (in a time of order L 2 ) November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 16 / 1

  65. Noisy Fisher-KPP equations The cut-off theory v ≈ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) h ( µ t + z , t ) e γ c z ∼ AL π sin ( π z L ) , L = ln N , 2 L 2 γ c Fully deterministic... The cut-off theory works Fisher-KPP with noise (a sine shape) v ≈ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) ( 1 L 2 − 6log L ) Rarely, a large fluctuation occurs (every ∝ L 3 time) L 3 2 The fluctuation rises quickly Variance ( µ t ) ≈ π 4 v ′′ ( γ c ) D ∶ = lim (in a time of order 1) The fluctuation relaxes slowly t → ∞ 3 γ 2 c L 3 t (in a time of order L 2 ) November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 16 / 1

  66. Noisy Fisher-KPP equations The cut-off theory v ≈ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) h ( µ t + z , t ) e γ c z ∼ AL π sin ( π z L ) , L = ln N , 2 L 2 γ c Fully deterministic... The cut-off theory works Fisher-KPP with noise (a sine shape) v ≈ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) ( 1 L 2 − 6log L ) Rarely, a large fluctuation occurs (every ∝ L 3 time) L 3 2 The fluctuation rises quickly Variance ( µ t ) ≈ π 4 v ′′ ( γ c ) D ∶ = lim (in a time of order 1) The fluctuation relaxes slowly t → ∞ 3 γ 2 c L 3 t (in a time of order L 2 ) BBM with saturation Every ∝ L 3 time, one particle jumps far ahead in a time of order 1. Its descendants replace a fraction of the population in a time of order L 2 . November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 16 / 1

  67. My contribution Introduction of a noise to the Fisher-KPP equation v ≈ v c − π 2 v ′′ ( γ c ) D ≈ π 4 v ′′ ( γ c ) ( 1 L 2 − 6log L ) , L = ln N , . L 3 3 γ 2 c L 3 2 γ c Dynamics are dominated by rare events every L 3 units of time. In N -BBM, coalescence time is of order L 3 . Limiting genealogical tree can be obtained. Precise position of the Fisher-KPP front Description of the rightmost particles in a BBM November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 17 / 1

  68. Precise position of the Fisher-KPP front ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , µ t is the position: h ( µ t , t ) = 1 initial condition h 0 , 2 . Theorem (Bramson 1983) µ t = v c t − 3 ln t + cste + o ( 1 ) for large t 2 γ c if and only if ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 18 / 1

  69. Precise position of the Fisher-KPP front ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , µ t is the position: h ( µ t , t ) = 1 initial condition h 0 , 2 . Theorem (Bramson 1983) µ t = v c t − 3 ln t + cste + o ( 1 ) for large t 2 γ c if and only if ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000) √ µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + ⋯ c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 2 γ c γ 5 �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� � iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ??? ??? November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 18 / 1

  70. Precise position of the Fisher-KPP front ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , µ t is the position: h ( µ t , t ) = 1 initial condition h 0 , 2 . Theorem (Bramson 1983) µ t = v c t − 3 ln t + cste + o ( 1 ) for large t 2 γ c if and only if ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000) √ µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + ⋯ c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 2 γ c γ 5 �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� � iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ??? ??? November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 18 / 1

  71. Precise position of the Fisher-KPP front ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , µ t is the position: h ( µ t , t ) = 1 initial condition h 0 , 2 . Theorem (Bramson 1983) µ t = v c t − 3 ln t + cste + o ( 1 ) for large t 2 γ c if and only if ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000) √ µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + ⋯ c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 2 γ c γ 5 �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� � iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ??? ??? November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 18 / 1

  72. Precise position of the Fisher-KPP front ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , µ t is the position: h ( µ t , t ) = 1 initial condition h 0 , 2 . Theorem (Bramson 1983) µ t = v c t − 3 ln t + cste + o ( 1 ) for large t 2 γ c if and only if ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000) √ µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + ⋯ c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 2 γ c γ 5 �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� � iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ??? ??? November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 18 / 1

  73. Precise position of the Fisher-KPP front ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , µ t is the position: h ( µ t , t ) = 1 initial condition h 0 , 2 . Theorem (Bramson 1983) µ t = v c t − 3 ln t + cste + o ( 1 ) for large t 2 γ c if and only if ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000) √ µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + ⋯ c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 2 γ c γ 5 �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� � iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ??? ??? Conjecture (Our contribution) √ µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 2 γ c γ 5 �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ iff ∫ d x h 0 ( x ) x 2 e γ c x < ∞ November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 18 / 1

  74. Precise position of the Fisher-KPP front ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , µ t is the position: h ( µ t , t ) = 1 initial condition h 0 , 2 . Theorem (Bramson 1983) µ t = v c t − 3 ln t + cste + o ( 1 ) for large t 2 γ c if and only if ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ Conjecture (Ebert and van Saarloos 2000) √ µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + ⋯ c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 2 γ c γ 5 �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� � iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ if ??? ??? Conjecture (Our contribution) √ µ t = v c t − 3 ln t + cste − 3 2 π + K ln t + O ( 1 t ) c v ′′ ( γ c ) t − 1 2 2 γ c γ 5 t �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� �ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ�ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ� iff ∫ d x h 0 ( x ) x e γ c x < ∞ iff ∫ d x h 0 ( x ) x 2 e γ c x < ∞ iff ∫ d x h 0 ( x ) x 3 e γ c x < ∞ November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 18 / 1

  75. Precise position of the Fisher-KPP front — first approach Fisher-KPP: ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , h ( µ t , t ) = 1 h ( µ t + z , t ) → ω ( z ) . 2 , November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 19 / 1

  76. Precise position of the Fisher-KPP front — first approach Fisher-KPP: ∂ t h = ∂ 2 x h + h − h 2 , h ( µ t , t ) = 1 h ( µ t + z , t ) → ω ( z ) . 2 , New model ⎧ ⎪ ∂ t h = ∂ 2 x h + h if x > µ t ⎪ ⎨ ⎪ h ( µ t , t ) = 0 ⎪ ⎩ November the 3 rd , 2016, Paris Éric Brunet HDR defense 19 / 1

Recommend

The Fisher KPP equation: an exactly soluble version Eric Brunet and Bernard Derrida LPS ENS

The Fisher KPP equation: an exactly soluble version Eric Brunet and Bernard Derrida LPS ENS

The Fisher KPP equation: an exactly soluble version Eric Brunet and Bernard Derrida LPS ENS Paris, Collge de France Analytical Results in Statistical Physics in memory of Bernard Jancovici Paris November 2015 Bernard Jancovici Outline

529 views • 33 slides
The IPAT Equation The IPAT Equation The IPAT Equation The IPAT

The IPAT Equation The IPAT Equation The IPAT Equation The IPAT

The IPAT Equation The IPAT Equation The IPAT Equation The IPAT Equation References Ehrlich, P.R. and J.P. Holdren, 1972. Critique: One Dimensional Ecology. Bulletin of the Atomic Scientists 28(5): 16, 18-27.

619 views • 18 slides
Graph of f 1 . Since the equation y = f 1 ( x ) is the same as the equation x = f ( y ),

Graph of f 1 . Since the equation y = f 1 ( x ) is the same as the equation x = f ( y ),

Graph of f 1 . Since the equation y = f 1 ( x ) is the same as the equation x = f ( y ), the graphs of both equations are identical. To graph the equation x = f ( y ), we note that this equation results from switching the roles of x and

268 views • 6 slides
MERRY FISHER 1095 New 2018 PROVISIONAL DOCUMENT MERRY FISHER 1095 : THE JOY OF CRUISING 2 In

MERRY FISHER 1095 New 2018 PROVISIONAL DOCUMENT MERRY FISHER 1095 : THE JOY OF CRUISING 2 In

1 MERRY FISHER 1095 New 2018 PROVISIONAL DOCUMENT MERRY FISHER 1095 : THE JOY OF CRUISING 2 In the pure tradition of the Merry Fisher line, the Merry Fisher 1095 is a weekender and an ideal family cruiser. The new Merry Fisher 1095 takes full

227 views • 22 slides
Tecniche di Specifica e di Verifica Branching Time Temporal Logics I 1 Outline CTL ( C

Tecniche di Specifica e di Verifica Branching Time Temporal Logics I 1 Outline CTL ( C

Tecniche di Specifica e di Verifica Branching Time Temporal Logics I 1 Outline CTL ( C omputation T ree L ogic) Branching Time Unwindings --- computation trees Syntax and semantics of CTL. 2 Branching Time Structures

1.49k views • 112 slides
Conflict-Based Selection Conflict-Based Selection of Branching Rules in of Branching Rules in

Conflict-Based Selection Conflict-Based Selection of Branching Rules in of Branching Rules in

Conflict-Based Selection Conflict-Based Selection of Branching Rules in of Branching Rules in SAT Algorithms SAT Algorithms Marc Herbstritt Bernd Becker Institute of Computer Science Albert-Ludwigs-Universitt Freiburg im Breisgau Where

623 views • 26 slides
Universal vanishing corrections on the position of fronts in the Fisher-KPP class ric Brunet

Universal vanishing corrections on the position of fronts in the Fisher-KPP class ric Brunet

Universal vanishing corrections on the position of fronts in the Fisher-KPP class ric Brunet May the 3 rd , 2017, Paris May the 3 rd , 2017, Paris ric Brunet Vanishing corrections for FKPP 1 / 19 The Fisher-KPP equation a model for

1.51k views • 112 slides
University . BONORA - IRTESTE FEST : Sissa 2015 July 1.2 , , THE LIOUVILLE Equation

University . BONORA - IRTESTE FEST : Sissa 2015 July 1.2 , , THE LIOUVILLE Equation

LIOUVILLE ASPECTS ARITHMETIC OF Alotrovamoh ' ettore Florida State University . BONORA - IRTESTE FEST : Sissa 2015 July 1.2 , , THE LIOUVILLE Equation tzet * - . THE EQUATION LIOUVILLE U C- C U ,R ) ( . ye ,

512 views • 28 slides
Koszul/Souriau Fisher Metric Spaces &amp; Optimization by Maximum Entropy: Hessian Information

Koszul/Souriau Fisher Metric Spaces &amp; Optimization by Maximum Entropy: Hessian Information

Koszul/Souriau Fisher Metric Spaces &amp; Optimization by Maximum Entropy: Hessian Information Geometry, Lie Group Thermodynamics &amp; Poincar'Marle'Souriau Equation Frdric

1.18k views • 83 slides
Howard S. Fisher, Esq. &amp; Alexander J. Fisher, Esq. 1 The Case Study # 3 Closely held

Howard S. Fisher, Esq. &amp; Alexander J. Fisher, Esq. 1 The Case Study # 3 Closely held

Howard S. Fisher, Esq. &amp; Alexander J. Fisher, Esq. 1 The Case Study # 3 Closely held business couple in their 30s of Russian origin medical technology &quot;S&quot; corporation grossing $30,000,000 netting $10,000,000; potentially worth

228 views • 11 slides
Branching within branching: a general model for host-parasite co-evolution Gerold Alsmeyer (joint

Branching within branching: a general model for host-parasite co-evolution Gerold Alsmeyer (joint

Model The ABPRE Extinction results Survival case Branching within branching: a general model for host-parasite co-evolution Gerold Alsmeyer (joint work with S oren Gr ottrup) May 15, 2017 Gerold Alsmeyer Host-parasite co-evolution 1

538 views • 26 slides
YOUR WORKPLACE Presented by: Travis Vance Fisher &amp; Phillips LLP Robert Smith Fisher

YOUR WORKPLACE Presented by: Travis Vance Fisher &amp; Phillips LLP Robert Smith Fisher

THE CORONAVIRUS AND YOUR WORKPLACE Presented by: Travis Vance Fisher &amp; Phillips LLP Robert Smith Fisher Phillips Safety Solutions March 23, 2020 fisherphillips.com BACKGROUND Good news- a majority of individuals recover.

479 views • 36 slides
Branching for PDEs Xavier Warin CEMRACS July Xavier Warin Branching for PDEs

Branching for PDEs Xavier Warin CEMRACS July Xavier Warin Branching for PDEs

Branching for PDEs Xavier Warin CEMRACS July Xavier Warin Branching for PDEs CEMRACS July 1 / 94 The StOpt Library Table of contents 1 The StOpt Library 2 Branching for KPP equations 3 Generalization of KPP

1.2k views • 96 slides
Overview Chapter 7 Ideal Gas Equation of State P= RT/V Van der Waals Equation of State Cubic

Overview Chapter 7 Ideal Gas Equation of State P= RT/V Van der Waals Equation of State Cubic

Overview Chapter 7 Ideal Gas Equation of State P= RT/V Van der Waals Equation of State Cubic Equation of State Virial Equation of State Peng-Robinson Equation of State (PREOS) Cubic Equation of State Solve cubic equations (3 roots) 1 2

728 views • 54 slides
Branching type processes with Stationary Ergodic Immigration Eitan Altman MAESTRO group,

Branching type processes with Stationary Ergodic Immigration Eitan Altman MAESTRO group,

E. Altman: Branching Processes with Non-Markov Migration 1 Branching type processes with Stationary Ergodic Immigration Eitan Altman MAESTRO group, INRIA, France Dec 2008 E. Altman: Branching Processes with

1.17k views • 61 slides
Ch.3: Functions and branching Ole Christian Lingjrde, Dept of Informatics, UiO September 4-8,

Ch.3: Functions and branching Ole Christian Lingjrde, Dept of Informatics, UiO September 4-8,

Ch.3: Functions and branching Ole Christian Lingjrde, Dept of Informatics, UiO September 4-8, 2017 (PART 2) Todays agenda A small quiz Live-programming of exercises 3.20, 3.23, 3.28 More about functions + branching Quiz 1 If a =

519 views • 38 slides
Branching and Merging SWEN-610 Introduction to Software Engineering Department of Software

Branching and Merging SWEN-610 Introduction to Software Engineering Department of Software

Branching and Merging SWEN-610 Introduction to Software Engineering Department of Software Engineering Rochester Institute of Technology Version control branching supports the ability to manage software releases. At the end of a sprint,

411 views • 12 slides
Universit at Augsburg Amplitude Equation for stoch. SH Equation Konrad Klepel Amplitude

Universit at Augsburg Amplitude Equation for stoch. SH Equation Konrad Klepel Amplitude

Universit at Augsburg Amplitude Equation for stoch. SH Equation Konrad Klepel Amplitude Equation for the generalized Swift Introduction Hohenberg Equation with Noise Setting Bounded domains Main theorem Konrad Klepel Differences to

444 views • 12 slides
Git Branching for Continuous Delivery Sarah Goff-Dupont Developer Advocate &amp; Agile Delivery

Git Branching for Continuous Delivery Sarah Goff-Dupont Developer Advocate &amp; Agile Delivery

extreme ^ Git Branching for Continuous Delivery Sarah Goff-Dupont Developer Advocate &amp; Agile Delivery Nerd @DevToolSuperFan not afraid to ham it up in photos Agenda Git + CD = BFFs 1 Branching models 2 Pointers &amp; pro-tips 3

609 views • 36 slides
16-11-04 Statistical Science and Data Science Nancy Reid 27 October 2016 2 Fisher Memorial

16-11-04 Statistical Science and Data Science Nancy Reid 27 October 2016 2 Fisher Memorial

16-11-04 Statistical Science and Data Science Nancy Reid 27 October 2016 2 Fisher Memorial Lecture 27 Oct 2016 Fisher Memorial Lecture 27 Oct 2016 Fisher Number Fisher Number Selected Correspondence of R. A. Fisher Edited by J.H. Bennett

548 views • 16 slides
The CPU Performance Equation 40 The Performance Equation (PE) We would like to model how

The CPU Performance Equation 40 The Performance Equation (PE) We would like to model how

The CPU Performance Equation 40 The Performance Equation (PE) We would like to model how architecture impacts performance (latency) This means we need to quantify performance in terms of architectural parameters. Instruction Count

383 views • 37 slides
DR. PHINNIZE J. FISHER MIDDLE SCHOOL DR. PHINNIZE J. FISHER MIDDLE SCHOOL South Carolina

DR. PHINNIZE J. FISHER MIDDLE SCHOOL DR. PHINNIZE J. FISHER MIDDLE SCHOOL South Carolina

DR. PHINNIZE J. FISHER MIDDLE SCHOOL DR. PHINNIZE J. FISHER MIDDLE SCHOOL South Carolina Standardized Testing 2015 ACT Aspire SC PASS DR. PHINNIZE J. FISHER MIDDLE SCHOOL Fisher Middle School for the 2015 testing cycle will administer all

625 views • 29 slides
Branching Networks Introduction River Networks Complex Networks, Course 295A, Spring, 2008

Branching Networks Introduction River Networks Complex Networks, Course 295A, Spring, 2008

Branching Networks Branching Networks Introduction River Networks Complex Networks, Course 295A, Spring, 2008 Definitions Allometry Laws Stream Ordering Hortons Laws Prof. Peter Dodds Tokunagas Law Horton Tokunaga Reducing

1.57k views • 110 slides
Program control constructs Branching using if endif and select case loops (repeated

Program control constructs Branching using if endif and select case loops (repeated

Program control constructs Branching using if endif and select case loops (repeated execution of code segments); do enddo Jumps with goto label# Branching with if endif if endif If (logical_a) then

420 views • 11 slides

More recommend