Review of classical electrodynamics and mechanics - PowerPoint PPT Presentation

Review ¡of ¡classical ¡electrodynamics ¡ and ¡mechanics ¡ ¡ • Maxwell’s ¡equa,on, ¡ ¡ • mo,on ¡of ¡a ¡charged ¡par,cle ¡ • rela,vis,c ¡effects ¡ • electromagne,c ¡field ¡of ¡a ¡moving ¡par,cle ¡ • phase ¡space, ¡Liouville’s ¡theorem ¡ PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 1 ¡ Fall ¡2014 ¡

Maxwell’s ¡equa9ons ¡ electric ¡field ¡ Electric ¡displacement ¡ polariza9on ¡ induc9on ¡ magne9za9on ¡ Magne9c ¡displacement ¡ PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 2 ¡ Fall ¡2014 ¡

Maxwell ¡Equa9on: ¡electric ¡ displacement ¡ Linear ¡suscep9bility ¡ r r r v t t • Generally ¡ D E E ... E = ε + ε χ + ≡ ε Tensor ¡(or ¡matrix) ¡ Linear ¡op9cs ¡ r v t NL ¡op9cs ¡ B H = µ • For ¡simple ¡case ¡of ¡homogeneous, ¡non-­‑ conduc,ng, ¡non-­‑dissipa,ng ¡isotropic ¡medium: ¡ 1 0 0 r ' $ r r v v B % " D 0 1 0 E E H = ε = ε = % " µ 0 0 1 % " & # PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 3 ¡ Fall ¡2014 ¡

Maxwell’s ¡equa9ons ¡in ¡absence ¡of ¡ current/charge ¡ • if ¡ no ¡ source ¡ terms ¡ are ¡ present ¡ (no ¡ charge/ current) ¡then: ¡ • in ¡vacuum ¡ ε → ε 0 µ → µ 0 PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 4 ¡ Fall ¡2014 ¡

Wave ¡equa9on ¡ • Take ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡of ¡Faraday ’ s ¡law: ¡ • Take ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡of ¡Ampere-­‑Maxwell ’ s ¡equa,on: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ • Summary: ¡ ¡ PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 5 ¡ Fall ¡2014 ¡

Vector ¡ A ¡and ¡Scalar ¡ Φ ¡poten9als ¡ • start ¡w. ¡Maxwell’s ¡equa,ons: ¡ • use ¡poten,al ¡defini,on ¡in ¡Maxwell’s ¡ equa,ons: ¡ ¡ PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 6 ¡ Fall ¡2014 ¡

How ¡to ¡find ¡the ¡field ¡of ¡a ¡moving ¡ par9cle? ¡ • Using ¡ ¡ we ¡get: ¡ ¡ • In ¡the ¡Lorenz ’ ¡Gauge: ¡ ¡ • Thus ¡ Inhomogeneous ¡ wave ¡equa,ons ¡ • Using ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡gives ¡ PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 7 ¡ Fall ¡2014 ¡

Field ¡of ¡a ¡charge ¡in ¡rec9linear ¡mo9on ¡ • Lorentz ¡transformed ¡field ¡ x ¡ b ¡ r r B = µ ε r v × E • longitudinal ¡and ¡transverse ¡ ¡ − 8 − 7 x 10 x 10 E ¡fields: ¡ ¡ 1.5 4 1 3 0.5 E � (V/m) E || (V/m) 0 2 − 0.5 − 1 1 − 1.5 − 2 0 − 0.5 0 0.5 − 0.5 0 0.5 � � PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 8 ¡ Fall ¡2014 ¡

Special ¡rela9vity ¡ • Squashing ¡of ¡the ¡E-­‑field ¡line ¡associated ¡to ¡a ¡moving ¡ charge ¡is ¡sugges,ve ¡of ¡Lorentz ¡contrac,on ¡ • e.m. ¡law ¡and ¡eqn ¡of ¡mo,on ¡should ¡be ¡invariant ¡with ¡ respect ¡to ¡Lorentz ¡transforma,ons ¡ • velocity ¡of ¡light ¡is ¡a ¡constant ¡in ¡all ¡iner,al ¡frames ¡ • The ¡rela,vis,c ¡factor ¡g ¡and ¡b ¡plays ¡an ¡important ¡role ¡ (length ¡contrac,on ¡and ¡,me ¡dila,on) ¡ • Most ¡of ¡the ¡electromagne,c ¡radia,on ¡process ¡involves ¡ these ¡factors ¡ PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 9 ¡ Fall ¡2014 ¡

Lorentz ¡force ¡ • Newton ¡equa,on ¡for ¡a ¡charge ¡par,cle ¡ experiencing ¡an ¡electromagne,c ¡field: ¡ applied ¡or ¡self ¡ ¡ momentum ¡ electric ¡ ¡field ¡ d p dt = q ( E + v × B ) applied ¡or ¡self ¡ ¡ par,cle ¡ ¡ par,cle ¡ ¡ magne,c ¡field ¡ velocity ¡ charge ¡ PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 10 ¡ Fall ¡2014 ¡

space ¡charge ¡effects ¡ • Let ’ s ¡consider ¡the ¡interac,on ¡of ¡two ¡par,cle ¡ moving ¡at ¡parallel ¡to ¡each ¡other ¡ ¡ • force ¡experienced ¡by ¡the ¡par,cle ¡of ¡charge ¡ q 0 ¡ PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 11 ¡ Fall ¡2014 ¡

velocity ¡versus ¡radia9on ¡fields ¡ • if ¡the ¡par,cle ¡accelerates ¡the ¡fields ¡are ¡then ¡ described ¡from ¡the ¡Lienard-­‑Wiechert ¡ poten,al: ¡ ¡ 4 πε 0 Far ¡field ¡ ¡ n B = ˆ B B c × E E E Radia9on ¡fields ¡ Near ¡field ¡ ¡ R n ≡ R R Velocity ¡fields ¡ ˆ R β κ ≡ 1 − ˆ n. β β PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 12 ¡ Fall ¡2014 ¡

momentum ¡& ¡energy ¡ • total ¡energy ¡ E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 K = E − mc 2 = ( γ − 1) mc 2 • kine,c ¡energy ¡ • other ¡useful ¡defini,ons ¡ ¡ E 1 β = v γ = γ = mc 2 p 1 − β 2 c PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 13 ¡ Fall ¡2014 ¡

momentum ¡ • rela,vis,c ¡(kine,c) ¡momentum ¡ β p = γβ β mc • nonrela,vis,c ¡limit ¡ γ → 1 ¡ β p = β β mc • in ¡presence ¡of ¡e.m. ¡field ¡the ¡canonical ¡ momentum ¡is ¡ ¡ ¡ β A p A P = γβ β mc + qA A ≡ p p + qA A PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 14 ¡ Fall ¡2014 ¡

trajectory ¡of ¡a ¡single ¡par9cle ¡ • classical ¡mechanics ¡use ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡where ¡ ¡ ( x , p ) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡posi,on ¡ x ≡ ( x, y, z ) phase ¡space ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡canonical ¡momentum. ¡ p ≡ ( p x , p y , p z ) • ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡form ¡a ¡set ¡of ¡canonical-­‑conjugate ¡ ( x , p ) variables ¡ • alterna,ve ¡descrip,on ¡use ¡divergence ¡ trace ¡space ¡ x 0 ≡ p x /p z y 0 ≡ p y /p z ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡but ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡are ¡not ¡canonical ¡conjugates. ¡ ( x, x 0 ) PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 15 ¡ Fall ¡2014 ¡

is ¡classical ¡mechanics ¡OK ¡for ¡typical ¡ beams? ¡ • Heisenberg ¡principle ¡ p | > ~ ∼ 10 − 10 MeV.mm c δ | x x | δ | p x p • much ¡higher ¡than ¡typical ¡phase ¡space ¡area ¡ (something ¡called ¡emibance) ¡for ¡typical ¡ beams ¡ • “cooler” ¡(smaller ¡spread ¡in ¡ p ¡and ¡ x ) ¡beams ¡ might ¡be ¡affected ¡by ¡quantum ¡mechanics ¡ PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 16 ¡ Fall ¡2014 ¡

Liouville’s ¡theorem ¡ • Liouville’s ¡theorem ¡states ¡that ¡volumes ¡in ¡ phase ¡space ¡are ¡invariant ¡ • The ¡mo,on ¡in ¡phase ¡space ¡is ¡analogous ¡to ¡ flow ¡of ¡an ¡incompressible ¡fluid. ¡ ¡ • in ¡prac,ce ¡many ¡effects ¡affect ¡Liouville’s ¡ theorem ¡ ¡ • one ¡of ¡the ¡challenge ¡of ¡beam ¡physics ¡is ¡to ¡ preserve ¡phase ¡space ¡density ¡and ¡prevent ¡or ¡ correct ¡for ¡phase-­‑space ¡dilu,on ¡processes. ¡ PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 17 ¡ Fall ¡2014 ¡

Liouville’s ¡theorem ¡ • If ¡no ¡coupling ¡between ¡the ¡3 ¡degrees ¡ freedom, ¡Liouville ¡applies ¡in ¡each ¡sub ¡phase ¡ space ¡e.g. ¡ ¡ ( x, p x ) • In ¡beam ¡physics ¡the ¡phase ¡space ¡is ¡ characterized ¡by ¡its ¡area ¡and ¡is ¡refer ¡to ¡as ¡ emibance. ¡ PHYS ¡690-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ 18 ¡ Fall ¡2014 ¡