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Rainbow cycles through specified vertices Henry Liu Central South - PowerPoint PPT Presentation

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Rainbow cycles through specified vertices Henry Liu Central South University Workshop on Colored Notions of Connectivity in Graphs, Nankai University, 29-31 May 2017 Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and

  1. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube ◮ Application: A certain country has various transport modes between certain pairs of cities. A travelling salesman wishes to visit k designated cities, in no particular order, and return to his originating city. He can travel via other cities, but he does not wish to visit any city, or use the same mode of transport, more than once. How few transport modes are needed so that this is possible for any choice of k cities? The answer is precisely crx k ( G ). Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  2. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube ◮ Application: A certain country has various transport modes between certain pairs of cities. A travelling salesman wishes to visit k designated cities, in no particular order, and return to his originating city. He can travel via other cities, but he does not wish to visit any city, or use the same mode of transport, more than once. How few transport modes are needed so that this is possible for any choice of k cities? The answer is precisely crx k ( G ). ◮ crx k ( G ) is the “cycle version” of the rainbow index rx k ( G ) (Chartrand, Okamoto, Zhang, 2010), i.e., rx k ( G ) is the least number of colours needed to colour the edges of a connected graph G so that every k vertices lie in a rainbow tree. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  3. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube ◮ Application: A certain country has various transport modes between certain pairs of cities. A travelling salesman wishes to visit k designated cities, in no particular order, and return to his originating city. He can travel via other cities, but he does not wish to visit any city, or use the same mode of transport, more than once. How few transport modes are needed so that this is possible for any choice of k cities? The answer is precisely crx k ( G ). ◮ crx k ( G ) is the “cycle version” of the rainbow index rx k ( G ) (Chartrand, Okamoto, Zhang, 2010), i.e., rx k ( G ) is the least number of colours needed to colour the edges of a connected graph G so that every k vertices lie in a rainbow tree. ◮ 3 ≤ girth( G ) ≤ crx 1 ( G ) ≤ crx 2 ( G ) ≤ · · · ≤ crx k ( G ) ≤ e ( G ). Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  4. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube ◮ Application: A certain country has various transport modes between certain pairs of cities. A travelling salesman wishes to visit k designated cities, in no particular order, and return to his originating city. He can travel via other cities, but he does not wish to visit any city, or use the same mode of transport, more than once. How few transport modes are needed so that this is possible for any choice of k cities? The answer is precisely crx k ( G ). ◮ crx k ( G ) is the “cycle version” of the rainbow index rx k ( G ) (Chartrand, Okamoto, Zhang, 2010), i.e., rx k ( G ) is the least number of colours needed to colour the edges of a connected graph G so that every k vertices lie in a rainbow tree. ◮ 3 ≤ girth( G ) ≤ crx 1 ( G ) ≤ crx 2 ( G ) ≤ · · · ≤ crx k ( G ) ≤ e ( G ). ◮ G , H ∈ F k , H ⊂ G spanning subgraph ⇒ crx k ( G ) ≤ crx k ( H ). Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  5. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube General graphs Proposition 1 (a) F 1 is the family of all graphs such that, every vertex belongs to a 2 -connected block in the block decomposition. (b) F 2 is the family of all 2 -connected graphs. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  6. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube General graphs Proposition 1 (a) F 1 is the family of all graphs such that, every vertex belongs to a 2 -connected block in the block decomposition. (b) F 2 is the family of all 2 -connected graphs. Theorem 2 (L. 2017+) Let G be a graph of order n ≥ 3 . (a) Let G ∈ F 1 . Then crx 1 ( G ) = e ( G ) if and only if G = C n . (b) Let G ∈ F 2 . Then crx 2 ( G ) = e ( G ) if and only if G is minimally 2 -connected. (c) Let G ∈ F n (i.e., G is Hamiltonian), and 1 ≤ k ≤ n. Then crx k ( G ) = e ( G ) if and only if G = C n . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  7. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Sketch proof of (b). ( ⇒ ): Easy. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  8. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Sketch proof of (b). ( ⇒ ): Easy. ( ⇐ ): ◮ Let G be minimally 2-connected, and suppose we have an edge-colouring with less than e ( G ) colours, say e , e ′ ∈ E ( G ) have the same colour. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  9. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Sketch proof of (b). ( ⇒ ): Easy. ( ⇐ ): ◮ Let G be minimally 2-connected, and suppose we have an edge-colouring with less than e ( G ) colours, say e , e ′ ∈ E ( G ) have the same colour. ◮ Want to show that there are two vertices x , y such that any cycle containing them must use both e and e ′ . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  10. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Sketch proof of (b). ( ⇒ ): Easy. ( ⇐ ): ◮ Let G be minimally 2-connected, and suppose we have an edge-colouring with less than e ( G ) colours, say e , e ′ ∈ E ( G ) have the same colour. ◮ Want to show that there are two vertices x , y such that any cycle containing them must use both e and e ′ . ◮ Block decomposition of G − e is a chain of blocks. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  11. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Sketch proof of (b). ( ⇒ ): Easy. ( ⇐ ): ◮ Let G be minimally 2-connected, and suppose we have an edge-colouring with less than e ( G ) colours, say e , e ′ ∈ E ( G ) have the same colour. ◮ Want to show that there are two vertices x , y such that any cycle containing them must use both e and e ′ . ◮ Block decomposition of G − e is a chain of blocks. ◮ Can assume e ′ lies in a 2-connected block B . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  12. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Sketch proof of (b). ( ⇒ ): Easy. ( ⇐ ): ◮ Let G be minimally 2-connected, and suppose we have an edge-colouring with less than e ( G ) colours, say e , e ′ ∈ E ( G ) have the same colour. ◮ Want to show that there are two vertices x , y such that any cycle containing them must use both e and e ′ . ◮ Block decomposition of G − e is a chain of blocks. ◮ Can assume e ′ lies in a 2-connected block B . ◮ Then B − e ′ has a similar structure. Can easily find x , y . � Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  13. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube k = n − 1? Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  14. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube k = n − 1? Theorem 3 (L. 2017+) (a) If P 10 = Petersen graph, then crx 9 ( P 10 ) = e ( P 10 ) = 15 . (b) If G is a hypohamiltonian graph of order n, where 11 ≤ n ≤ 17 , then crx n − 1 ( G ) < e ( G ) . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  15. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Sketch proof of (b). Aldred, McKay, Wormald (1995) showed that all hypohamiltonian graphs of order at most 17 are: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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P 10 H 13 H 15 .... .... .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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H 1 H 2 H ′ H 16 16 16 16 Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  16. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Sketch proof of (b). Aldred, McKay, Wormald (1995) showed that all hypohamiltonian graphs of order at most 17 are: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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H 1 H 2 H ′ H 16 16 16 16 Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  17. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Sketch proof of (b). Aldred, McKay, Wormald (1995) showed that all hypohamiltonian graphs of order at most 17 are: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 1 H 2 H ′ H 16 16 16 16 Easy to check that for G ∈ { H 13 , H 15 , H 16 , H ′ 16 } , G − v contains a Hamilton cycle not using both red edges, for all v ∈ V ( G ). � Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  18. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Problem 4 Let 3 ≤ k < n. Characterise the graphs G ∈ F k of order n with crx k ( G ) = e ( G ) . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  19. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Problem 4 Let 3 ≤ k < n. Characterise the graphs G ∈ F k of order n with crx k ( G ) = e ( G ) . In particular, when k = n − 1 , does there exist G such that crx n − 1 ( G ) = e ( G ) , other than G = C n , or n = 10 and G = Petersen graph? Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  20. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Wheels For n ≥ 3, the wheel W n = C n + v . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  21. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Wheels For n ≥ 3, the wheel W n = C n + v . crx k ( W n ) exists for all 1 ≤ k ≤ n + 1 since W n is Hamiltonian. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  22. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Wheels For n ≥ 3, the wheel W n = C n + v . crx k ( W n ) exists for all 1 ≤ k ≤ n + 1 since W n is Hamiltonian. Theorem 5 (L. 2017+) (a) crx 1 ( W n ) = 3 for n ≥ 3 . (b) crx 2 ( W 3 ) = 3 , and crx 2 ( W n ) = ⌈ n 2 ⌉ + 2 for n ≥ 4 . (c)  n if 3 ≤ n ≤ 7 ,   crx 3 ( W n ) = n − 1 if 8 ≤ n ≤ 11 ,  n − 2 if n ≥ 12 .  Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  23. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube (d) For k ≥ 4 and n + 1 ≥ k, we have � n + 1 if n < 2 k, crx k ( W n ) = n if n ≥ 2 k. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  24. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube (d) For k ≥ 4 and n + 1 ≥ k, we have � n + 1 if n < 2 k, crx k ( W n ) = n if n ≥ 2 k. Sketch proof of (d). ◮ Obviously crx k ( W n ) ≤ n + 1 since W n is Hamiltonian. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  25. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube (d) For k ≥ 4 and n + 1 ≥ k, we have � n + 1 if n < 2 k, crx k ( W n ) = n if n ≥ 2 k. Sketch proof of (d). ◮ Obviously crx k ( W n ) ≤ n + 1 since W n is Hamiltonian. ◮ For n ≥ 2 k , not hard to define an edge-colouring which gives crx k ( W n ) ≤ n . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  26. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube (d) For k ≥ 4 and n + 1 ≥ k, we have � n + 1 if n < 2 k, crx k ( W n ) = n if n ≥ 2 k. Sketch proof of (d). ◮ Obviously crx k ( W n ) ≤ n + 1 since W n is Hamiltonian. ◮ For n ≥ 2 k , not hard to define an edge-colouring which gives crx k ( W n ) ≤ n . ◮ crx k ( W n ) ≥ n for all n ≥ k + 1: If we use ≤ n − 1 colours in an edge-colouring, then ∃ e , e ′ ∈ E ( C n ) with the same colour. Pick S with | S | = k containing the end-vertices of e , e ′ . Then no rainbow cycle can contain S . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  27. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube ◮ crx k ( W n ) ≥ n + 1 for all n < 2 k : Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  28. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube ◮ crx k ( W n ) ≥ n + 1 for all n < 2 k : Suppose we have a good edge-colouring with n colours. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  29. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube ◮ crx k ( W n ) ≥ n + 1 for all n < 2 k : Suppose we have a good edge-colouring with n colours. The C n must be rainbow coloured. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  30. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube ◮ crx k ( W n ) ≥ n + 1 for all n < 2 k : Suppose we have a good edge-colouring with n colours. The C n must be rainbow coloured. We consider cycles C containing v of two types – either | V ( C ) | ≥ ⌈ n 2 ⌉ + 2 or not. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  31. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube ◮ crx k ( W n ) ≥ n + 1 for all n < 2 k : Suppose we have a good edge-colouring with n colours. The C n must be rainbow coloured. We consider cycles C containing v of two types – either | V ( C ) | ≥ ⌈ n 2 ⌉ + 2 or not. We can choose a set S of k vertices containing v such that, no rainbow cycle of either type can contain S , a contradiction. � Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  32. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Complete, complete bipartite and multipartite graphs Proposition 6 (L. 2017+) crx 1 ( K n ) = crx 2 ( K n ) = 3 for n ≥ 3 . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  33. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Complete, complete bipartite and multipartite graphs Proposition 6 (L. 2017+) crx 1 ( K n ) = crx 2 ( K n ) = 3 for n ≥ 3 . Proof. Suffices to show: crx 2 ( K n ) ≤ 3. Use induction on n . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  34. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Complete, complete bipartite and multipartite graphs Proposition 6 (L. 2017+) crx 1 ( K n ) = crx 2 ( K n ) = 3 for n ≥ 3 . Proof. Suffices to show: crx 2 ( K n ) ≤ 3. Use induction on n . n = 3: Rainbow colour K 3 . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  35. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Complete, complete bipartite and multipartite graphs Proposition 6 (L. 2017+) crx 1 ( K n ) = crx 2 ( K n ) = 3 for n ≥ 3 . Proof. Suffices to show: crx 2 ( K n ) ≤ 3. Use induction on n . n = 3: Rainbow colour K 3 . n ≥ 4, even: Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  36. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Complete, complete bipartite and multipartite graphs Proposition 6 (L. 2017+) crx 1 ( K n ) = crx 2 ( K n ) = 3 for n ≥ 3 . Proof. Suffices to show: crx 2 ( K n ) ≤ 3. Use induction on n . n = 3: Rainbow colour K 3 . n ≥ 4, even: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  37. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Complete, complete bipartite and multipartite graphs Proposition 6 (L. 2017+) crx 1 ( K n ) = crx 2 ( K n ) = 3 for n ≥ 3 . Proof. Suffices to show: crx 2 ( K n ) ≤ 3. Use induction on n . n = 3: Rainbow colour K 3 . n ≥ 4, even: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  38. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Complete, complete bipartite and multipartite graphs Proposition 6 (L. 2017+) crx 1 ( K n ) = crx 2 ( K n ) = 3 for n ≥ 3 . Proof. Suffices to show: crx 2 ( K n ) ≤ 3. Use induction on n . n = 3: Rainbow colour K 3 . n ≥ 4, even: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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  39. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Theorem 7 (L. 2017+) For k ≥ 3 , crx k ( K n ) = 2 k − 1 for n ≥ N ( k ) sufficiently large. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  40. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Theorem 7 (L. 2017+) For k ≥ 3 , crx k ( K n ) = 2 k − 1 for n ≥ N ( k ) sufficiently large. Proof. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  41. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Theorem 7 (L. 2017+) For k ≥ 3 , crx k ( K n ) = 2 k − 1 for n ≥ N ( k ) sufficiently large. Proof. ( ≥ ): Let n ≥ R 2 k − 2 ( k ), the Ramsey number for 2 k − 2 K k ’s. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  42. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Theorem 7 (L. 2017+) For k ≥ 3 , crx k ( K n ) = 2 k − 1 for n ≥ N ( k ) sufficiently large. Proof. ( ≥ ): Let n ≥ R 2 k − 2 ( k ), the Ramsey number for 2 k − 2 K k ’s. ⇒ If E ( K n ) is r -coloured, r ≤ 2 k − 2, ∃ monochromatic K k on some { v 1 , . . . , v k } . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  43. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Theorem 7 (L. 2017+) For k ≥ 3 , crx k ( K n ) = 2 k − 1 for n ≥ N ( k ) sufficiently large. Proof. ( ≥ ): Let n ≥ R 2 k − 2 ( k ), the Ramsey number for 2 k − 2 K k ’s. ⇒ If E ( K n ) is r -coloured, r ≤ 2 k − 2, ∃ monochromatic K k on some { v 1 , . . . , v k } . ⇒ no rainbow cycle ⊃ { v 1 , . . . , v k } . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  44. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Theorem 7 (L. 2017+) For k ≥ 3 , crx k ( K n ) = 2 k − 1 for n ≥ N ( k ) sufficiently large. Proof. ( ≥ ): Let n ≥ R 2 k − 2 ( k ), the Ramsey number for 2 k − 2 K k ’s. ⇒ If E ( K n ) is r -coloured, r ≤ 2 k − 2, ∃ monochromatic K k on some { v 1 , . . . , v k } . ⇒ no rainbow cycle ⊃ { v 1 , . . . , v k } . ⇒ crx k ( K n ) ≥ 2 k − 1. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  45. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube ( ≤ ): Randomly (2 k − 1)-colour E ( K n ). Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  46. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube ( ≤ ): Randomly (2 k − 1)-colour E ( K n ). For A ⊂ V ( K n ), | A | = k , let E A = event that no rainbow cycle ⊃ A . Done if P ( E A ) = o ( n − k ), since then P ( � A E A ) < 1. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  47. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube ( ≤ ): Randomly (2 k − 1)-colour E ( K n ). For A ⊂ V ( K n ), | A | = k , let E A = event that no rainbow cycle ⊃ A . Done if P ( E A ) = o ( n − k ), since then P ( � A E A ) < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . . . . . . k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 1 . . . . . . k − 1 . . . . . . B 2 . . . . . . k − 1 . . . . . . . . . . . . k − 1 . . . . . . B t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  48. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube ( ≤ ): Randomly (2 k − 1)-colour E ( K n ). For A ⊂ V ( K n ), | A | = k , let E A = event that no rainbow cycle ⊃ A . Done if P ( E A ) = o ( n − k ), since then P ( � A E A ) < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . . . . . . k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 1 . . . . . . k − 1 . . . . . . B 2 . . . . . . k − 1 . . . . . . . . . . . . k − 1 . . . . . . B t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E A occurs ⇒ no A ∪ B i contains a rainbow cycle ⊃ A . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  49. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube ( ≤ ): Randomly (2 k − 1)-colour E ( K n ). For A ⊂ V ( K n ), | A | = k , let E A = event that no rainbow cycle ⊃ A . Done if P ( E A ) = o ( n − k ), since then P ( � A E A ) < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . . . . . . k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 1 . . . . . . k − 1 . . . . . . B 2 . . . . . . k − 1 . . . . . . . . . . . . k − 1 . . . . . . B t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E A occurs ⇒ no A ∪ B i contains a rainbow cycle ⊃ A . P ( E A ) ≤ d k c t (2 k − 1)( n − k 2 ) / (2 k − 1)( n 2 ) = o ( n − k ), where d k and c < (2 k − 1) k ( k − 1) are constants Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  50. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube ( ≤ ): Randomly (2 k − 1)-colour E ( K n ). For A ⊂ V ( K n ), | A | = k , let E A = event that no rainbow cycle ⊃ A . Done if P ( E A ) = o ( n − k ), since then P ( � A E A ) < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . . . . . . k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 1 . . . . . . k − 1 . . . . . . B 2 . . . . . . k − 1 . . . . . . . . . . . . k − 1 . . . . . . B t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E A occurs ⇒ no A ∪ B i contains a rainbow cycle ⊃ A . P ( E A ) ≤ d k c t (2 k − 1)( n − k 2 ) / (2 k − 1)( n 2 ) = o ( n − k ), where d k and c < (2 k − 1) k ( k − 1) are constants ⇒ crx k ( K n ) ≤ 2 k − 1. � Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  51. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Theorem 8 (L. 2017+) (a) For k ≥ 3 , crx k ( K n , n ) = 2 k for n ≥ N ( k ) sufficiently large. (b) For k , t ≥ 2 , crx k ( K t × n ) = 2 k for n ≥ N ( k , t ) sufficiently large. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  52. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Theorem 8 (L. 2017+) (a) For k ≥ 3 , crx k ( K n , n ) = 2 k for n ≥ N ( k ) sufficiently large. (b) For k , t ≥ 2 , crx k ( K t × n ) = 2 k for n ≥ N ( k , t ) sufficiently large. Proof. ( ≥ ): Easy; consider k vertices in one class. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  53. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Theorem 8 (L. 2017+) (a) For k ≥ 3 , crx k ( K n , n ) = 2 k for n ≥ N ( k ) sufficiently large. (b) For k , t ≥ 2 , crx k ( K t × n ) = 2 k for n ≥ N ( k , t ) sufficiently large. Proof. ( ≥ ): Easy; consider k vertices in one class. ( ≤ ): Similar random method as in Theorem 7. � Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  54. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Theorem 8 (L. 2017+) (a) For k ≥ 3 , crx k ( K n , n ) = 2 k for n ≥ N ( k ) sufficiently large. (b) For k , t ≥ 2 , crx k ( K t × n ) = 2 k for n ≥ N ( k , t ) sufficiently large. Proof. ( ≥ ): Easy; consider k vertices in one class. ( ≤ ): Similar random method as in Theorem 7. � Problem 9 What is crx k ( K m , n ) for 1 ≤ k ≤ m ≤ n? Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  55. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Discrete Cube Recall: The discrete cube Q n consists of 2 n vertices labelled by all (0 , 1)-vectors of length n , and x ∼ y iff x and y differ in exactly one coordinate. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  56. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Discrete Cube Recall: The discrete cube Q n consists of 2 n vertices labelled by all (0 , 1)-vectors of length n , and x ∼ y iff x and y differ in exactly one coordinate. e.g., Q 1 ∼ = K 2 and Q 2 ∼ = C 4 . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  57. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Discrete Cube Recall: The discrete cube Q n consists of 2 n vertices labelled by all (0 , 1)-vectors of length n , and x ∼ y iff x and y differ in exactly one coordinate. e.g., Q 1 ∼ = K 2 and Q 2 ∼ = C 4 . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 1 Q 2 Q 3 Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  58. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Aim: To determine crx k ( Q n ). Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  59. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Aim: To determine crx k ( Q n ). Related results: Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  60. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Aim: To determine crx k ( Q n ). Related results: ◮ Faudree, Gy´ arf´ as, Lesniak, Schelp (1993) proved that for n ≥ 4, n � = 5, there exists an edge-colouring of Q n , using n colours, such that every C 4 is rainbow. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  61. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Aim: To determine crx k ( Q n ). Related results: ◮ Faudree, Gy´ arf´ as, Lesniak, Schelp (1993) proved that for n ≥ 4, n � = 5, there exists an edge-colouring of Q n , using n colours, such that every C 4 is rainbow. ◮ Mubayi and Stading (2013) proved that for ℓ ≡ 0 (mod 4), there exists an edge-colouring of Q n with Θ n ( n ℓ/ 4 ) colours such that, every copy of C ℓ is rainbow, and moreover, Θ n ( n ℓ/ 4 ) colours are also necessary. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  62. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Aim: To determine crx k ( Q n ). Related results: ◮ Faudree, Gy´ arf´ as, Lesniak, Schelp (1993) proved that for n ≥ 4, n � = 5, there exists an edge-colouring of Q n , using n colours, such that every C 4 is rainbow. ◮ Mubayi and Stading (2013) proved that for ℓ ≡ 0 (mod 4), there exists an edge-colouring of Q n with Θ n ( n ℓ/ 4 ) colours such that, every copy of C ℓ is rainbow, and moreover, Θ n ( n ℓ/ 4 ) colours are also necessary. ◮ Many others ... Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  63. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Theorem 10 (L. 2017+) For n ≥ 2 , Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  64. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Theorem 10 (L. 2017+) For n ≥ 2 , (a) crx 1 ( Q n ) = 4 , Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  65. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Theorem 10 (L. 2017+) For n ≥ 2 , (a) crx 1 ( Q n ) = 4 , (b) crx 2 ( Q n ) = crx 3 ( Q n ) = 2 n, Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  66. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Theorem 10 (L. 2017+) For n ≥ 2 , (a) crx 1 ( Q n ) = 4 , (b) crx 2 ( Q n ) = crx 3 ( Q n ) = 2 n, (c) crx k ( Q n ) = 2 n for 2 n − 1 ≤ k ≤ 2 n . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  67. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Theorem 10 (L. 2017+) For n ≥ 2 , (a) crx 1 ( Q n ) = 4 , (b) crx 2 ( Q n ) = crx 3 ( Q n ) = 2 n, (c) crx k ( Q n ) = 2 n for 2 n − 1 ≤ k ≤ 2 n . Proof of (b). crx 2 ( Q n ) ≥ 2 n : Shortest cycle containing (0 , . . . , 0) and (1 , . . . , 1) has length 2 n . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  68. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube crx 3 ( Q n ) ≤ 2 n : Induction on n . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  69. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube crx 3 ( Q n ) ≤ 2 n : Induction on n . n = 2: Rainbow colour Q 2 . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  70. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube crx 3 ( Q n ) ≤ 2 n : Induction on n . n = 2: Rainbow colour Q 2 . n ≥ 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . u ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q n − 1 Q n − 1 Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  71. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube crx 3 ( Q n ) ≤ 2 n : Induction on n . n = 2: Rainbow colour Q 2 . n ≥ 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . u ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q n − 1 Q n − 1 Each Q n − 1 coloured with colours 1 , . . . , 2 n − 2. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  72. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube crx 3 ( Q n ) ≤ 2 n : Induction on n . n = 2: Rainbow colour Q 2 . n ≥ 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . u ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q n − 1 Q n − 1 Each Q n − 1 coloured with colours 1 , . . . , 2 n − 2. Colour uu ′ with colour 2 n − 1 if � i < n u i = � i < n u ′ i is odd, and with colour 2 n if even. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  73. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube crx 3 ( Q n ) ≤ 2 n : Induction on n . n = 2: Rainbow colour Q 2 . n ≥ 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . u ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q n − 1 Q n − 1 Each Q n − 1 coloured with colours 1 , . . . , 2 n − 2. Colour uu ′ with colour 2 n − 1 if � i < n u i = � i < n u ′ i is odd, and with colour 2 n if even. Easy to check that this is a good colouring for Q n . � Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  74. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Theorem 11 (L. 2017+) Let k ≥ 4 and n ≥ 4 k 2 . Then there exist constants c k , C k > 0 (depending only on k) such that c k n ≤ crx k ( Q n ) ≤ C k n Thus, we have crx k ( Q n ) = Θ n ( n ) . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  75. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Sketch of proof. Lower bound. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  76. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Sketch of proof. Lower bound. ◮ We prove that crx k ( Q n ) > kn 2 for n ≥ 4 k 2 . We will find k vertices in Q n such that every pair is at distance > n 2 . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  77. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Sketch of proof. Lower bound. ◮ We prove that crx k ( Q n ) > kn 2 for n ≥ 4 k 2 . We will find k vertices in Q n such that every pair is at distance > n 2 . ◮ Recall that a Hadamard matrix is a ( − 1 , 1) matrix where every two column vectors are orthogonal, i.e., number of agreeing coordinates = number of differing coordinates. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  78. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Sketch of proof. Lower bound. ◮ We prove that crx k ( Q n ) > kn 2 for n ≥ 4 k 2 . We will find k vertices in Q n such that every pair is at distance > n 2 . ◮ Recall that a Hadamard matrix is a ( − 1 , 1) matrix where every two column vectors are orthogonal, i.e., number of agreeing coordinates = number of differing coordinates. ◮ Let k ′ be the smallest power of 2 with k ′ ≥ k , and H k ′ be a k ′ × k ′ Hadamard matrix (exists by Sylvester’s construction). Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  79. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Sketch of proof. Lower bound. ◮ We prove that crx k ( Q n ) > kn 2 for n ≥ 4 k 2 . We will find k vertices in Q n such that every pair is at distance > n 2 . ◮ Recall that a Hadamard matrix is a ( − 1 , 1) matrix where every two column vectors are orthogonal, i.e., number of agreeing coordinates = number of differing coordinates. ◮ Let k ′ be the smallest power of 2 with k ′ ≥ k , and H k ′ be a k ′ × k ′ Hadamard matrix (exists by Sylvester’s construction). ◮ Delete the all 1’s row, replace all − 1 with 0, and take k of the column ( k ′ − 1)-vectors. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  80. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Sketch of proof. Lower bound. ◮ We prove that crx k ( Q n ) > kn 2 for n ≥ 4 k 2 . We will find k vertices in Q n such that every pair is at distance > n 2 . ◮ Recall that a Hadamard matrix is a ( − 1 , 1) matrix where every two column vectors are orthogonal, i.e., number of agreeing coordinates = number of differing coordinates. ◮ Let k ′ be the smallest power of 2 with k ′ ≥ k , and H k ′ be a k ′ × k ′ Hadamard matrix (exists by Sylvester’s construction). ◮ Delete the all 1’s row, replace all − 1 with 0, and take k of the column ( k ′ − 1)-vectors. ◮ “Blow up” the ( k ′ − 1)-vectors to n -vectors. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  81. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Upper bound. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  82. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Upper bound. ◮ We will prove a stronger assertion: For n ≥ 11 k and C k = 2 22 k − 1 , there is an edge-colouring with at most C k n colours such that, for any S = ( v 1 , . . . , v k ) ∈ V ( Q n ) k , there exists a closed walk containing S such that if P i connects v i and v i +1 , then P i has length at least 2 or is trivial (if v i = v i +1 ), with the P i disjoint. Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

  83. Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube Upper bound. ◮ We will prove a stronger assertion: For n ≥ 11 k and C k = 2 22 k − 1 , there is an edge-colouring with at most C k n colours such that, for any S = ( v 1 , . . . , v k ) ∈ V ( Q n ) k , there exists a closed walk containing S such that if P i connects v i and v i +1 , then P i has length at least 2 or is trivial (if v i = v i +1 ), with the P i disjoint. ◮ Recall: A graph is k-linked if it has at least 2 k vertices, and for any sequence s 1 , . . . , s k , t 1 , . . . , t k of distinct vertices, there are disjoint paths P 1 , . . . , P k where P i connects s i and t i . Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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