Quelques applications des fonctions ` a variation born´ ee en dimension finie et infinie. Th` ese de Doctorat Michael Goldman CMAP, Polytechnique 9 d´ ecembre 2011
Topic of the Thesis
Introduction Primal-Dual methods in image processing Sets with prescribed mean curvature in periodic media Variational problems in Wiener spaces Introduction to Wiener spaces Approximation of the perimeter in Wiener spaces Convexity of minimizers of variational problems in Wiener spaces
Introduction
Introduction Functions of bounded variation have a central position in many problems in the Calculus of Variations. Definition Let u ∈ L 1 (Ω) then u ∈ BV (Ω) if � � | Du | := sup u div ϕ < + ∞ . Ω ϕ ∈C 1 Ω c (Ω) | ϕ | ∞ ≤ 1 Definition A set E ⊂ R m is called a set of finite perimeter if � P ( E ) := R m | D χ E | < + ∞ . If E is a smooth set then P ( E ) = H m − 1 ( ∂ E ).
Typical functions in BV 0.5 �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� 0 �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� 2 �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� 0 �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� −0.5 −2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Primal-Dual methods in image processing
Examples of problems in image processing Inpainting Deblurring
Many problems in image processing can be model as solving a minimization problem : � J ( u ) := | Du | + G ( u ) Ω where G is a lsc convex function on L 2 . � Example : denoising with ROF corresponds to G ( u ) = λ Ω | u − f | 2 2 It can also be used for inpainting, deblurring, zooming...
Many problems in image processing can be model as solving a minimization problem : � J ( u ) := | Du | + G ( u ) Ω where G is a lsc convex function on L 2 . � Example : denoising with ROF corresponds to G ( u ) = λ Ω | u − f | 2 2 It can also be used for inpainting, deblurring, zooming... Problem : How to solve the minimization problem ?
Idea of the method Remind : The total variation is defined as � � | Du | = sup − u div ξ Ω ξ ∈C 1 Ω c (Ω) | ξ | ∞ ≤ 1 Hence the minimization problem rewrites � u ∈ BV J ( u ) = min min sup − u div ξ + G ( u ) u ∈ BV ξ ∈C 1 Ω c (Ω) | ξ | ∞ ≤ 1 ⇒ It is thus equivalent to finding a saddle point
The Arrow-Hurwicz method for finding saddle points For a function K , this method is ∂ u ∂ t = −∇ u K ( u , ξ ) ∂ξ ∂ t = ∇ ξ K ( u , ξ ) It is a gradient descent in the primal variable u and a gradient ascent in the dual variable ξ .
� When K ( u , ξ ) = − u div ξ + G ( u ) we find Ω ∇ u K = − div ξ + ∂ G ( u ) ∇ ξ K = Du
� When K ( u , ξ ) = − u div ξ + G ( u ) we find Ω ∇ u K = − div ξ + ∂ G ( u ) ∇ ξ K = Du which formally amounts to solve : ∂ u ∂ t = div ξ − ∂ G ( u ) ∂ξ ∂ t = Du | ξ | ∞ ≤ 1 This method proposed by Appleton and Talbot is the continuous analogous of the method proposed by Chan and Zhu in the discrete setting.
Theorem Giving appropriate meaning to the previous system, there exists a unique solution to the Cauchy problem. Moreover, for G ( u ) = λ 2 | u − f | 2 L 2 there is convergence towards the minimizer u of J and we have the a posteriori estimation � 1 | ∂ t u | 2 | u − u | ≤ 1 | ∂ t u | + 8 | Ω | 2 + | ∂ t ξ | λ 2 2 λ λ
Recommend
More recommend