On relationships between canonical genus and flat Seifert surfaces - PowerPoint PPT Presentation

On relationships between canonical genus and flat Seifert surfaces 結び目の数学 VI 三浦 嵩広 ( 神戸大学大学院理学研究科 , D3)

Seifert’s algorithm → → S : canonical Seifert surface . def S は link diagram から Seifert’s algorithm に ⇐ ⇒ よって得られる Seifert surface.

canonical genus L : link. g ( S ) : surface S の genus. g ( L ) := min { g ( S ) | S : L の Seifert surface } . : L の genus . g c ( L ) := min { g ( S ) | S : L の canonical Seifert surface } . : L の canonical genus . Fact. g ( L ) ≤ g c ( L ) . g ( L ) < g c ( L ) をみたす L は存在するか ? Q.

A. K : trefoil knot の Whitehead double. g ( K ) < g c ( K ) . g ( K ) = 1 .

A. K : trefoil knot の Whitehead double. g ( K ) < g c ( K ) . → → g c ( K ) ≤ g ( S ) = 1 + # { band } − # { disk } = 1 + 14 − 9 = 3 . 2 2

A. K : trefoil knot の Whitehead double. g ( K ) < g c ( K ) . HOMFLY polynomial P ( L ) = P ( L ; v, z ) ∈ Z [ v ± 1 , z ± 1 ] . ✬ ✩ Thm. (Morton’s inequality) [1986] L : r -comp. link, 2 g c ( L ) + r − 1 ≥ z - maxdeg P ( L ) . ✫ ✪ ここで z - maxdeg P ( L ) は P ( L ) の z における最高次数 .

A. K : trefoil knot の Whitehead double. g ( K ) < g c ( K ) . (4 v − 2 − 8 + 6 v 2 − v 4 ) P ( K ) = + ( − 4 v − 2 − 15 + 10 v 2 − v 4 − v 6 ) z 2 + ( v − 2 − 7 + 6 v 2 ) z 4 + ( − 1 + v 2 ) z 6 . 2 g c ( K ) ≥ z - maxdeg P ( K ) = 6 . g c ( K ) ≤ 3 より， g c ( K ) = 3 . g ( K ) < g c ( K ) . ∴

L : r -comp. link. S : L の canonical Seifert surface. Cor. z - maxdeg P ( L ) = 2 g ( S ) + r − 1 ⇒ g ( L ) = g ( S ) . Proof 2 g ( S ) + r − 1 ≥ 2 g c ( L ) + r − 1 . ≥ z - maxdeg P ( L ) = 2 g ( S ) + r − 1 . � Def. Cor.’ L ∈ M = ⇒ g c ( L ) = g ( S ) .

研究目的 どんな L が L ∈ M をみたすか？ 先行研究 L ∈ M の例 . • homogeneous link (alternating link, positive link). [Cromwell 1989] • Whitehead double, double of (i) (2 , n ) -torus knot. [Tripp 2002]     (ii) 2 -bridge knot. [Nakamura 2006]      (iii) pretzel knot P ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) , ( a i > 0) . [Brittenham, Jensen 2006]  (i) ～ (iii) を含む alternating knot family.  (iv) [Jang, Lee 2012]      予想 any alternating knot. 

flat Seifert surface link diagram D が special diagram . D の任意の Seifert circle が， S 2 \ { Seifert circle } に def ⇐ ⇒ disk を張れる． surface F が flat Seifert surface . def F は special diagram から Seifert’s algorithm によって ⇐ ⇒ 得られる surface. 任意の link は flat Seifert surface をもつ． Fact.

flat Seifert surface の例 . → →

flat Seifert surface の例 . → → → →

✤ ✜ Thm. [Hirasawa 1995] 任意の canonical Seifert surface は，ある flat Seifert surface ✣ と ambient isotopic. ✢ Rem.

flat Seifert surface F を表す signed plane graph G F を表す signed plane graph G を次のように定義する : G = ( V, E, f ) , f : E − → {± 1 }

F を表す G の例 Fact. F : flat Seifert surface. ⇐ ⇒ G : connected, bipartite.

G から得られる graph ˜ G を次のように定義する． E, ˜ ˜ G = ( ˜ ˜ V , ˜ f : ˜ f ) , E − → Z (1) a ∈ V s.t. deg a = 2 に接続している edge をつなぐ . (2) (1) で得られた edge e ∈ ˜ E に対し， 元の edge の符号の和 を ˜ f ( e ) とする．

Prop. G : connected, bipartite, signed, plane graph. F : G が表す flat Seifert surface. E, ˜ G = ( ˜ ˜ V , ˜ f ) が次をみたすとき， ∂F ∈ M . (1) ˜ G の subgraph (˜ V , ˜ E + ) において， ∀ a ∈ ˜ V , deg a ̸ = 1 . E + := { e ∈ ˜ E | ˜ ここで ˜ f ( e ) ≥ 0 } . (2) e ∈ ˜ ˜ E + ⇒ f ( e ) : even , ≥ 2 .

… … (1) ˜ G の subgraph (˜ V , ˜ E + ) において， ∀ a ∈ ˜ V , deg a ̸ = 1 . E + := { e ∈ ˜ ここで ˜ E | ˜ f ( e ) ≥ 0 } . (2) e ∈ ˜ ˜ E + ⇒ f ( e ) : even , ≥ 2 .

… … … …

G = ( V, E, f ) : connected, bipartite, signed, plane graph. F : G が表わす flat Seifert surface. Prop. の証明には次をみたす多項式 Q ( E 1 ) ∈ Z [ v ± 1 ] ( E 1 ⊂ E ) を用いた． ∑ • Q ( E 1 ) ̸ = 0 ⇒ ∂F ∈ M . E 1 ⊂ E G が Prop. の条件 (1), (2) をみたすとき， • maxdeg Q ( E + ) = | E + | . (i) E 1 ̸ = E + ⇒ maxdeg Q ( E 1 ) < | E + | . (ii) ここで， E + := { e ∈ E | f ( e ) = +1 } .

今後の研究 ∑ を用いて得られる • Q ( E 1 ) ̸ = 0 E 1 ⊂ E その他の link L ∈ M の構成 . 特に knot K ∈ M . • Tripp’s conjecture の（部分的）解決 . 任意の alternating knot の Whitehead double, double ∈ M .