New Algorithms, Better Bounds, and a Novel Model for - PowerPoint PPT Presentation

New ¡Algorithms, ¡Better ¡Bounds, ¡ and ¡a ¡Novel ¡Model ¡for ¡Online ¡ Stochastic ¡Matching ¡ Brian ¡Brubach , ¡Karthik ¡Abinav ¡Sankararaman, ¡ Aravind ¡Srinivasan, ¡and ¡Pan ¡Xu ¡ University ¡of ¡Maryland, ¡College ¡Park ¡ European ¡Symposium ¡on ¡Algorithms ¡– ¡ESA ¡2016 ¡

Online ¡Matching: ¡Known ¡I.I.D. ¡Model ¡ • Input: ¡biparGte ¡graph ¡ G ¡= ¡( U , ¡ V , ¡ E ) ¡ – U ¡is ¡set ¡of ¡offline ¡verGces ¡ – V ¡is ¡a ¡set ¡of ¡online ¡vertex ¡ types ¡ AdverGsers ¡ User ¡Types ¡ Preferences ¡

Online ¡Matching: ¡Known ¡I.I.D. ¡Model ¡ • Arrivals ¡i.i.d. ¡from ¡a ¡known ¡distribuGon ¡on ¡ V ¡ – Each ¡arrival ¡of ¡some ¡ v ¡in ¡ V ¡is ¡a ¡disGnct ¡vertex ¡ – WLOG ¡uniform ¡distribuGon ¡(integral ¡arrival ¡rates ¡assumed) ¡ AdverGsers ¡ User ¡Types ¡ Preferences ¡

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Variants ¡ Less ¡ • Unweighted ¡ general ¡ • Vertex-­‑weighted ¡ – weights ¡only ¡on ¡offline ¡verGces ¡ U ¡ • Edge-­‑weighted ¡ • StochasGc ¡rewards ¡ More ¡ – Edges ¡exist ¡(independently) ¡with ¡given ¡ general ¡ probabiliGes ¡

Competitive ¡Ratio ¡ • ALG ¡= ¡any ¡online ¡algorithm ¡ • OPT ¡= ¡opGmal ¡online ¡algorithm ¡ • CompeGGve ¡raGo ¡= ¡ E [ALG]/ E [OPT] ¡

Related ¡and ¡Our ¡Work ¡ Variant ¡ RaGo ¡ Authors ¡ Feldman, ¡Mehta, ¡Mirokkni, ¡Muthukrishnan ¡(FOCS ¡ 0.67 ¡ 2009) ¡ 0.705 ¡ Manshadi, ¡Oveis, ¡Gharan, ¡Saberi ¡(SODA ¡2011) ¡ Unweighted ¡ 0.7293 ¡ Jaillet ¡and ¡Lu ¡(Math ¡OR ¡2013) ¡ 0.7299 ¡ This ¡work ¡(ESA ¡2016) ¡ 0.725 ¡ Jaillet ¡and ¡Lu ¡(Math ¡OR ¡2013) ¡ Vertex-­‑weighted ¡ 0.7299 ¡ This ¡work ¡(ESA ¡2016) ¡ 0.667 ¡ Haeupler, ¡Mirokkni, ¡Zadimoghaddam ¡(WINE ¡2011) ¡ Edge-­‑weighted ¡ 0.705 ¡ This ¡work ¡(ESA ¡2016) ¡ StochasGc ¡Rewards ¡ 0.632 ¡ This ¡work ¡(ESA ¡2016) ¡

Two ¡Phases: ¡OfHline ¡& ¡Online ¡ • Offline ¡phase: ¡ – Preprocess ¡input ¡graph ¡and ¡develop ¡guidelines ¡for ¡ the ¡online ¡phase ¡ – Primary ¡focus ¡of ¡contribuGons ¡presented ¡here ¡ • Online ¡Phase: ¡ – VerGces ¡arrive ¡and ¡must ¡be ¡matched ¡to ¡an ¡offline ¡ neighbor ¡or ¡discarded ¡

Benchmark ¡LP ¡ Matching ¡ constraints ¡ Assuming ¡arrival ¡rate ¡is ¡1 ¡ Probability ¡some ¡ v ¡never ¡arrives ¡= ¡1/e ¡ Expected ¡value ¡of ¡any ¡edge ¡≤ ¡1-­‑1/e ¡

Scaled ¡Dependent ¡Rounding ¡ • Generalizes ¡dependent ¡rounding ¡due ¡to ¡Gandhi, ¡ Khuller, ¡Parthasarathy, ¡and ¡Srinivasan ¡(FOCS ¡2004) ¡ – Oh ¡called ¡GKPS ¡rounding ¡ • MulGply ¡LP ¡soluGon ¡by ¡ k ¡before ¡rounding ¡ • ProperGes ¡of ¡dependent ¡rounding ¡sGll ¡hold ¡ 1. Marginal distribution: For every edge e , let p e = kf e � b kf e c . Then, Pr[ F e = d kf e e ] = p e and Pr[ F e = b kf e c ] = 1 � p e . 2. Degree-preservation: For any vertex w 2 U [ V , let its fractional degree kf w be P e ∈ ∂ ( w ) kf e and integral degree be the random variable F w = P e ∈ ∂ ( w ) F e . Then F w 2 { b kf w c , d kf w e } .

Edge-­‑weighted ¡

Warm-­‑up ¡Algorithm: ¡OfHline ¡phase ¡ • Assign ¡LP ¡values ¡to ¡edges ¡ 0.6 ¡ 0.4 ¡ 0.3 ¡ 0.1 ¡ 0.6 ¡ 0.5 ¡ 0.3 ¡ 0.7 ¡

Warm-­‑up ¡Algorithm: ¡OfHline ¡phase ¡ • Assign ¡LP ¡values ¡to ¡edges ¡ 1.2 ¡ • MulGply ¡values ¡by ¡2 ¡ 0.8 ¡ 0.6 ¡ 0.2 ¡ 1.2 ¡ 1 ¡ 0.6 ¡ 1.4 ¡

Warm-­‑up ¡Algorithm: ¡OfHline ¡phase ¡ • Assign ¡LP ¡values ¡to ¡edges ¡ 0.2 ¡ • MulGply ¡values ¡by ¡2 ¡ 0.8 ¡ • Separate ¡integral ¡and ¡fracGonal ¡ 0.6 ¡ 0.2 ¡ parts ¡ 0.2 ¡ 0.6 ¡ 0.4 ¡

Warm-­‑up ¡Algorithm: ¡OfHline ¡phase ¡ • Assign ¡LP ¡values ¡to ¡edges ¡ 0.2 ¡ • MulGply ¡values ¡by ¡2 ¡ 0.8 ¡ • Separate ¡integral ¡and ¡fracGonal ¡ 0.6 ¡ 0.2 ¡ parts ¡ 0.2 ¡ • Apply ¡dependent ¡rounding ¡ 0.6 ¡ 0.4 ¡

Warm-­‑up ¡Algorithm: ¡OfHline ¡phase ¡ • Assign ¡LP ¡values ¡to ¡edges ¡ • MulGply ¡values ¡by ¡2 ¡ • Separate ¡integral ¡and ¡fracGonal ¡ parts ¡ • Apply ¡dependent ¡rounding ¡

Warm-­‑up ¡Algorithm: ¡OfHline ¡phase ¡ • Assign ¡LP ¡values ¡to ¡edges ¡ • MulGply ¡values ¡by ¡2 ¡ • Separate ¡integral ¡and ¡fracGonal ¡ parts ¡ • Apply ¡dependent ¡rounding ¡ • Decompose ¡into ¡2 ¡matchings ¡

Warm-­‑up ¡Algorithm: ¡OfHline ¡phase ¡ • Assign ¡LP ¡values ¡to ¡edges ¡ • MulGply ¡values ¡by ¡2 ¡ • Separate ¡integral ¡and ¡fracGonal ¡ parts ¡ • Apply ¡dependent ¡rounding ¡ • Decompose ¡into ¡2 ¡matchings ¡

Warm-­‑up ¡Algorithm: ¡OfHline ¡phase ¡ • Assign ¡LP ¡values ¡to ¡edges ¡ • MulGply ¡values ¡by ¡2 ¡ • Separate ¡integral ¡and ¡fracGonal ¡ parts ¡ • Apply ¡dependent ¡rounding ¡ • Decompose ¡into ¡2 ¡matchings ¡ • Randomly ¡order ¡the ¡matchings ¡ M1 ¡and ¡M2 ¡ M1 ¡ M2 ¡

Warm-­‑up ¡Algorithm: ¡Online ¡phase ¡ • First ¡arrival ¡of ¡a ¡type ¡ – Aiempt ¡match ¡to ¡M1 ¡neighbor ¡ • Second ¡arrival ¡ – Aiempt ¡match ¡to ¡M2 ¡neighbor ¡ • Third ¡or ¡later ¡arrival ¡ – Do ¡nothing ¡ M1 ¡ M2 ¡

Warm-­‑up ¡Algorithm: ¡Online ¡phase ¡ M1 ¡ M2 ¡

Warm-­‑up ¡Algorithm: ¡Online ¡phase ¡ M1 ¡ M2 ¡

Warm-­‑up ¡Algorithm: ¡Online ¡phase ¡ M1 ¡ M2 ¡

Warm-­‑up ¡Algorithm: ¡Online ¡phase ¡ M1 ¡ M2 ¡

Warm-­‑up ¡Algorithm: ¡Online ¡phase ¡ M1 ¡ M2 ¡

Warm-­‑up ¡Algorithm: ¡Online ¡phase ¡ ? ¡ M1 ¡ M2 ¡