Matchings, star par..ons, and clique covers in interval graphs: - PowerPoint PPT Presentation

Matchings, ¡star ¡par..ons, ¡and ¡clique ¡ covers ¡in ¡interval ¡graphs: ¡Graph ¡ theore.cal ¡tools ¡in ¡transporta.on ¡ science. Irith ¡Ben-­‑Arroyo ¡Hartman ¡ University ¡of ¡Haifa ¡and ¡NYU-­‑ ¡Shanghai ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 1 ¡

Applica.ons ¡of ¡graphs ¡in ¡transporta.on ¡ science • Minimum ¡path ¡decomposiHons ¡ • OpHmal ¡assignment ¡for ¡carpooling ¡ ¡ ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 2 ¡

Minimum ¡Path ¡Decomposi.ons Joint ¡work ¡with ¡Luk ¡Knapen ¡and ¡Tom ¡Bellemans ¡(IMOB, ¡Belgium) ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 3 ¡

Background • In ¡choosing ¡a ¡uHlitarian ¡trip, ¡people ¡do ¡not ¡necessarily ¡choose ¡the ¡ shortest ¡(or ¡quickest) ¡path ¡from ¡origin ¡to ¡desHnaHon. ¡ • People ¡tend ¡to ¡construct ¡routes ¡by ¡concatenaHng ¡a ¡small ¡number ¡of ¡ Basic ¡Path ¡Components ¡(BPC) ¡i.e. ¡shortest ¡paths. ¡ • Nodes ¡connecHng ¡shortest ¡paths ¡have ¡special ¡significance ¡for ¡the ¡ user. ¡ • General ¡moHvaHon: ¡building ¡realisHc ¡traffic ¡simulaHon ¡models. ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 4 ¡

Defini.ons • G=(V,E) ¡directed ¡graph ¡with ¡edge ¡cost ¡c(e) ¡ • Path, ¡cost ¡of ¡path ¡c(P) ¡ • Least-­‑cost ¡path ¡ • P-­‑shortcut, ¡minimal ¡shortcut ¡ • Basic ¡Path ¡Component ¡ • Path ¡Spli^ng ¡ • Split ¡Vertex ¡ • Interval ¡graph ¡ • Proper ¡Interval ¡Graph ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 5 ¡

P-­‑shortcut, ¡minimal ¡shortcut, ¡bypassed ¡vertex ¡ set Q ¡ Shortcut ¡Q’ ¡is ¡not ¡a ¡ B(Q) ¡-­‑Bypassed ¡vertex ¡ minimal ¡shortcut ¡ set ¡of ¡a ¡shortcut ¡Q ¡ Q’ ¡ v l v SplitVertex Edges ¡of ¡ P 0 Shortcuts ¡to ¡ P Fork ¡vertex Join ¡vertex A ¡path ¡ P ¡with ¡ shortcuts , ¡ join ¡and ¡ fork ¡verHces ¡and ¡ basic ¡path ¡components ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 6 ¡

Defini.ons Given ¡a ¡path ¡ P , ¡a ¡subpath ¡of ¡ P ¡is ¡a ¡ Basic ¡Path ¡Component ¡(BPC) ¡ if ¡it ¡is ¡a ¡ least ¡cost ¡path ¡connecHng ¡its ¡endpoints, ¡or ¡a ¡single ¡non-­‑least-­‑cost ¡ edge. ¡ A ¡ path ¡spli9ng ¡ of ¡ P ¡ ¡is ¡a ¡parHHon ¡of ¡ P ¡into ¡subpaths ¡which ¡are ¡BPC’s. ¡ A ¡vertex ¡separaHng ¡two ¡consecuHve ¡BPC’s ¡is ¡a ¡ splitVertex . ¡ Lemma: ¡ If ¡ Q ¡is ¡a ¡shortcut ¡of ¡ P , ¡any ¡path ¡spli^ng ¡of ¡ P ¡will ¡contain ¡at ¡ least ¡one ¡vertex ¡in ¡ B(Q) ¡ as ¡a ¡splitVertex. ¡ Corollary: ¡ A ¡minimum ¡path ¡spli^ng ¡of ¡ P ¡is ¡obtained ¡by ¡a ¡minimum ¡set ¡ of ¡splitVerHces ¡which ¡meet ¡ B(Q) ¡ for ¡all ¡shortcuts ¡ Q . ¡ ¡ ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 7 ¡

Finding ¡a ¡par..on ¡of ¡ P ¡into ¡a ¡minimum ¡ number ¡of ¡BPC’s v v v v = j s 2 s j 2 v 3 1 f v v v 2 = s s f 2 v 1 3 s v 3 s v 4 j 3 v v f f 4 1 v s v 1 s SplitVertex v 4 v Edges ¡of ¡ P 0 j 4 Shortcuts ¡to ¡ P Fork ¡vertex Join ¡vertex v l A ¡path ¡ P ¡with ¡ shortcuts , ¡ join ¡and ¡ fork ¡verHces ¡and ¡ basic ¡path ¡components ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 8 ¡

Finding ¡a ¡par..on ¡of ¡ P ¡into ¡a ¡minimum ¡ number ¡of ¡BPC’s v v v v = j s 2 s j 2 v 3 1 SplitVertex ¡Suits ¡ f v 2 s 2 v s v 3 s v 4 j 3 v v f f 4 1 v s v 1 s SplitVertex v 4 v Edges ¡of ¡ P 0 j 4 Shortcuts ¡to ¡ P Fork ¡vertex Join ¡vertex v l A ¡path ¡ P ¡with ¡ shortcuts , ¡ join ¡and ¡ fork ¡verHces ¡and ¡ basic ¡path ¡components ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 9 ¡

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SplitVertex ¡Suites ¡near ¡the ¡city ¡center December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 11 ¡

Hypothesis • In ¡uHlitarian ¡trips, ¡individuals ¡tend ¡to ¡construct ¡their ¡route ¡as ¡a ¡ concatenaHon ¡of ¡a ¡small ¡number ¡of ¡basic ¡path ¡components. ¡ • Was ¡found ¡to ¡be ¡true. ¡ ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 12 ¡

Is ¡this ¡algorithm ¡sufficient ¡for ¡finding ¡all ¡shortcuts? ¡ For ¡finding ¡all ¡possible ¡minimum ¡path ¡spliOngs? Not ¡really ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 13 ¡

A ¡path ¡ P ¡with ¡an ¡“invisible” ¡shortcut ¡ v 5 ¡ -­‑>V 8 December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 14 ¡

How ¡do ¡we ¡enumerate ¡all ¡possible ¡minimum ¡ par..ons ¡into ¡BPC’s? • Finding ¡the ¡minimum ¡number ¡of ¡BPC’s ¡and ¡the ¡splitVertex ¡Suits ¡is ¡not ¡ enough ¡to ¡enumerate ¡all ¡parHHons ¡into ¡BPC’s. ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 15 ¡

How ¡do ¡we ¡enumerate ¡all ¡possible ¡minimum ¡ par..ons ¡into ¡BPC’s? • Stage ¡1: ¡Finding ¡the ¡endpoints ¡of ¡all ¡minimal ¡shortcuts ¡ • Stage ¡2: ¡Defining ¡the ¡intervals ¡and ¡the ¡proper ¡interval ¡graph ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 16 ¡

Stage ¡2 ¡ Stage ¡1 ¡ Bypassed ¡vertex ¡set ¡of ¡ a ¡shortcut ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 17 ¡

How ¡do ¡we ¡enumerate ¡all ¡possible ¡minimum ¡ par..ons ¡into ¡BPC’s? • Stage ¡1: ¡Finding ¡the ¡endpoints ¡of ¡all ¡minimal ¡shortcuts ¡ • Stage ¡2: ¡Defining ¡the ¡intervals ¡and ¡the ¡proper ¡integral ¡graph ¡ • Stage ¡3: ¡EnumeraHng ¡relevant ¡cliques ¡ ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 18 ¡

Stage ¡3: ¡Enumera.ng ¡ relevant ¡cliques ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 19 ¡

How ¡do ¡we ¡enumerate ¡all ¡possible ¡minimum ¡ par..ons ¡into ¡BPC’s? • Stage ¡1: ¡Finding ¡the ¡endpoints ¡of ¡all ¡minimal ¡shortcuts ¡ • Stage ¡2: ¡Defining ¡the ¡intervals ¡and ¡the ¡proper ¡integral ¡graph ¡ • Stage ¡3: ¡EnumeraHng ¡relevant ¡cliques ¡ • Stage ¡4: ¡ConstrucHng ¡the ¡directed ¡clique ¡graph: ¡ ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 20 ¡

How ¡do ¡we ¡enumerate ¡all ¡possible ¡minimum ¡ par..ons ¡into ¡BPC’s? • Stage ¡1: ¡Finding ¡the ¡endpoints ¡of ¡all ¡minimal ¡shortcuts ¡ • Stage ¡2: ¡Defining ¡the ¡intervals ¡and ¡the ¡proper ¡integral ¡graph ¡ • Stage ¡3: ¡EnumeraHng ¡relevant ¡cliques ¡ • Stage ¡4: ¡ConstrucHng ¡the ¡directed ¡clique ¡graph ¡ G c : ¡ If ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡there ¡is ¡an ¡edge ¡from ¡ C i ¡ ¡ to ¡ C i ¡ C i = { I i , I i + 1 ,..., I i + k } C j = { I j , I j + 1 ,..., I j + t } if ¡and ¡only ¡if ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡ ¡ i + k < j + t i < j ≤ i + k + 1 ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 21 ¡

Stage ¡3: ¡Enumera.ng ¡ Stage ¡4: ¡Construc.ng ¡the ¡ relevant ¡cliques ¡ directed ¡clique ¡graph ab ¡ a ¡ abc ¡ bc ¡ cde ¡ bcd ¡ bcde ¡ de ¡ fg ¡ efg ¡ ef ¡ e ¡ g ¡ December ¡8, ¡2015 ¡ Shanghai ¡Jiao ¡Tong ¡University ¡ 22 ¡