Label-free Modular Systems for Classical and Intuitionistic Modal - PowerPoint PPT Presentation

Label-free Modular Systems for Classical and Intuitionistic Modal Logics Sonia Marin Lutz Straßburger Advances in Modal Logic 2014 University of Groningen August 6, 2014

Classical Modal Logic ◮ Formulas: A , B , ... ::= p | ¯ p | A ∧ B | A ∨ B | � A | ♦ A ◮ Negation: De Morgan laws and � A = ♦ ¯ A ◮ Axioms for K: classical propositional logic and k: � ( A ⊃ B ) ⊃ ( � A ⊃ � B ) A A ⊃ B A ◮ Rules: modus ponens: necessitation: − − − − − − − − − − − − − − − � A B

Intuitionistic Modal Logic ◮ Formulas: A , B , ... ::= p | ⊥ | A ∧ B | A ∨ B | A ⊃ B | � A | ♦ A ◮ Negation: ¬ A = A ⊃ ⊥ and independance of the modalities ◮ Axioms for IK: intuitionistic propositional logic and k 1 : � ( A ⊃ B ) ⊃ ( � A ⊃ � B ) k 2 : � ( A ⊃ B ) ⊃ ( ♦ A ⊃ ♦ B ) k 3 : ♦ ( A ∨ B ) ⊃ ( ♦ A ∨ ♦ B ) k 4 : ( ♦ A ⊃ � B ) ⊃ � ( A ⊃ B ) k 5 : ¬ ♦ ⊥ A A ⊃ B A ◮ Rules: modus ponens: necessitation: − − − − − − − − − − − − − − − � A B

Classical Modal Axioms S4 S5 ◦ ◦ ������ ������ T TB ◦ ◦ d: � A ⊃ ♦ A D4 ◦ ◦ t: A ⊃ ♦ A � � � D45 � � � � � ◦ � b: A ⊃ �♦ A � � � � � � � � � D5 � � � � � � ◦ � ◦ DB 4: ♦♦ A ⊃ ♦ A � D K4 ◦ ◦ ◦ KB5 5: ♦ A ⊃ �♦ A � �������� � �������� K45 � � � � ◦ � � � � � � K5 � � � � ◦ � ◦ � K KB

Intuitionistic Modal Axioms IS4 IS5 ◦ ◦ ������ ������ IT ITB ◦ ◦ d: � A ⊃ ♦ A ID4 ◦ ◦ t: A ⊃ ♦ A ∧ � A ⊃ A � � � ID45 � � � � � ◦ � � b: A ⊃ �♦ A ∧ ♦� A ⊃ A � � � � � � � � ID5 � � � � � � � ◦ � ◦ IDB 4: ♦♦ A ⊃ ♦ A ∧ � A ⊃ �� A ID IK4 ◦ ◦ ◦ IKB5 5: ♦ A ⊃ �♦ A ∧ ♦� A ⊃ � A � �������� � �������� � IK45 � � ◦ � � � � � � � IK5 � � � � � ◦ � ◦ IK IKB

Nested Sequents for classical modal logic

Nested Sequents for classical modal logic Sequent: ◮ Γ ::= A 1 , . . . , A m

Nested Sequents for classical modal logic Sequent: ◮ Γ ::= A 1 , . . . , A m ◮ Corresponding formula: fm (Γ) = A 1 ∨ . . . ∨ A m

Nested Sequents for classical modal logic ◮ Nested Sequent: Γ ::= A 1 , . . . , A m , [Γ 1 ] , . . . , [Γ n ] ◮ Corresponding formula: fm (Γ) = A 1 ∨ . . . ∨ A m ∨ � fm (Γ 1 ) ∨ . . . ∨ � fm (Γ n )

Nested Sequents for classical modal logic ◮ Nested Sequent: Γ ::= A 1 , . . . , A m , [Γ 1 ] , . . . , [Γ n ] ◮ Corresponding formula: fm (Γ) = A 1 ∨ . . . ∨ A m ∨ � fm (Γ 1 ) ∨ . . . ∨ � fm (Γ n ) ◮ A context is a sequent with one or several holes: Γ { }{ } = A , [ B , { } , [ { } ] , C ]

Nested Sequents for classical modal logic ◮ Nested Sequent: Γ ::= A 1 , . . . , A m , [Γ 1 ] , . . . , [Γ n ] ◮ Corresponding formula: fm (Γ) = A 1 ∨ . . . ∨ A m ∨ � fm (Γ 1 ) ∨ . . . ∨ � fm (Γ n ) ◮ A context is a sequent with one or several holes: Γ { }{ } = A , [ B , { } , [ { } ] , C ] Γ { [ D ] }{ A , [ C ] } = A , [ B , [ D ] , [ A , [ C ]] , C ]

Nested Sequents for intuitionistic modal logic Sequent: ◮ Γ ::= A 1 , . . . , A m ⊢ B ◮ Corresponding formula: A 1 ∧ . . . ∧ A m ⊃ B

Nested Sequents for intuitionistic modal logic Sequent: ◮ Γ ::= A • 1 , . . . , A • m , B ◦ ◮ Corresponding formula: A 1 ∧ . . . ∧ A m ⊃ B

Nested Sequents for intuitionistic modal logic ◮ Nested Sequent: Γ ::= Λ • , Π ◦ ◮ Corresponding formula: fm (Γ) = fm (Λ • ) ⊃ fm (Π ◦ )

Nested Sequents for intuitionistic modal logic ◮ Nested Sequent: Γ ::= Λ • , Π ◦ Λ • ::= A • 1 , ..., A • m , [Λ • 1 ] , ..., [Λ • n ] ◮ Corresponding formula: fm (Γ) = fm (Λ • ) ⊃ fm (Π ◦ ) fm (Λ • ) = A 1 ∧ ... ∧ A m ∧ ♦ fm (Λ • 1 ) ∧ ... ∧ ♦ fm (Λ • n )

Nested Sequents for intuitionistic modal logic ◮ Nested Sequent: Γ ::= Λ • , Π ◦ Λ • ::= A • 1 , ..., A • m , [Λ • 1 ] , ..., [Λ • n ] Π ◦ ::= A ◦ | [Γ] ◮ Corresponding formula: fm (Γ) = fm (Λ • ) ⊃ fm (Π ◦ ) fm (Λ • ) = A 1 ∧ ... ∧ A m ∧ ♦ fm (Λ • 1 ) ∧ ... ∧ ♦ fm (Λ • n ) fm ([Γ]) = � fm (Γ)

Nested Sequent for intuitionistic modal logic ◮ Output context: Γ 1 { } = A • , [ B • , { } ]

Nested Sequent for intuitionistic modal logic ◮ Output context: Γ 1 { } = A • , [ B • , { } ] → Γ 1 { [ C • , D ◦ ] } = A • , [ B • , [ C • , D ◦ ]]

Nested Sequent for intuitionistic modal logic ◮ Output context: Γ 1 { } = A • , [ B • , { } ] → Γ 1 { [ C • , D ◦ ] } = A • , [ B • , [ C • , D ◦ ]] ◮ Input context Γ 2 { } = A • , [ B ◦ , { } ]

Nested Sequent for intuitionistic modal logic ◮ Output context: Γ 1 { } = A • , [ B • , { } ] → Γ 1 { [ C • , D ◦ ] } = A • , [ B • , [ C • , D ◦ ]] ◮ Input context Γ 2 { } = A • , [ B ◦ , { } ] → Γ 2 { [ C • , D • ] } = A • , [ B ◦ , [ C • , D • ]]

Classical Rules System NK Γ { A , B } Γ { A } Γ { B } id − ∨ − ∧ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Γ { a , ¯ a } Γ { A ∨ B } Γ { A ∧ B } Γ { A , A } Γ { [ A ] } Γ { [ A , ∆] } c − � − ♦ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Γ { A } Γ { � A } Γ { ♦ A , [∆] } Additional structural rules Γ { ¯ Γ {∅} A } Γ { A } w − cut − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Γ { ∆ } Γ {∅}

Classical Rules Modal ♦ -rules Γ { [ A ] } Γ { A } Γ { [∆] , A } d ♦ − t ♦ − b ♦ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Γ { ♦ A } Γ { ♦ A } Γ { [∆ , ♦ A ] } Γ { [ ♦ A , ∆] } Γ {∅}{ ♦ A } 4 ♦ − 5 ♦ − − depth (Γ { }{∅} ) ≥ 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Γ { ♦ A , [∆] } Γ { ♦ A }{∅} Modal structural rules Γ { [ ∅ ] } Γ { [∆] } Γ { [Σ , [∆]] } d [] − t [] − b [] − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Γ {∅} Γ { ∆ } Γ { [Σ] , ∆ } Γ { [∆] , [Σ] } Γ { [∆] }{∅} 4 [] − 5 [] − − depth (Γ { }{ [∆] } ) ≥ 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Γ { [[∆] , Σ] } Γ {∅}{ [∆] }

Classical Rules: Example 5 : ♦ A ⊃ �♦ A

Classical Rules: Example � ¯ A , �♦ A ∨ − − − − − − − − − − − − − − − − 5 : ♦ A ⊃ �♦ A

Classical Rules: Example � ¯ A , [ ♦ A ] � − − − − − − − − − − − � ¯ A , �♦ A ∨ − − − − − − − − − − − − − − − − 5 : ♦ A ⊃ �♦ A

Classical Rules: Example � ¯ � ¯ A , [ �� ¯ A , [ ♦♦ A , ♦ A ] A , ♦ A ] cut − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − � ¯ A , [ ♦ A ] � − − − − − − − − − − − � ¯ A , �♦ A ∨ − − − − − − − − − − − − − − − − 5 : ♦ A ⊃ �♦ A

Classical Rules: Example � ¯ A , ♦ A , [ ♦ A ] b ♦ − − − − − − − − − − − − − − − − − � ¯ � ¯ A , [ �� ¯ A , [ ♦♦ A , ♦ A ] A , ♦ A ] cut − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − � ¯ A , [ ♦ A ] � − − − − − − − − − − − � ¯ A , �♦ A ∨ − − − − − − − − − − − − − − − − 5 : ♦ A ⊃ �♦ A

Classical Rules: Example � ¯ � ¯ A , [[ � ¯ A , ♦ A , [ ♦ A ] A ] , ♦ A ] b ♦ − � − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − � ¯ � ¯ A , [ �� ¯ A , [ ♦♦ A , ♦ A ] A , ♦ A ] cut − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − � ¯ A , [ ♦ A ] � − − − − − − − − − − − � ¯ A , �♦ A ∨ − − − − − − − − − − − − − − − − 5 : ♦ A ⊃ �♦ A