I. Encoding and decoding planar curves Jeff Erickson University of - PowerPoint PPT Presentation

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� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ‣ The outer face has winding number 0. � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ‣ At any regular point on the curve, the winding number on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � the left is 1 more than the winding number on the right. � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � [Meister 1770] [Brückner 1900] [Möbius 1865] � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 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Rotation number ‣ A topological invariant! ▹ Fig.17 : Moving e to ε doesn’t change the sum of angles ▹ Fig.18 : Moving c to κ changes the sum of angles by 2π.

Rotation number [Meister 1770] ‣ Informal statement of the Whitney-Graustein theorem : Two curves are regularly homotopic if and only if they have the same rotation number. [Boy 1933] [Whitney 1936]

Early computational topology

Point in polygon algorithm [Gauss c.1850] Shoot a ray to the right. If the number of positive crossings (α) equals the number of negative crossings (β), the point is outside; otherwise, the point is inside.

Point in polygon algorithm [Gauss c.1850] Shoot a ray to the right. If the number of positive crossings (α) equals the number of negative crossings (β), the point is outside; otherwise, the point is inside.

Point in polygon algorithm [Gauss c.1850] Shoot a ray to the right. If the number of positive crossings (α) equals the number of negative crossings (β), the point is outside; otherwise, the point is inside.

Signed crossings [Gauss c. 1840] ‣ positive = right to left = increasing winding number ‣ negative = left to right = decreasing winding number 0 1 + 1 2 –1 0 – 1 1 3 2 2 1 1

Signed vertices [Gauss c. 1840] ‣ Fix an arbitrary basepoint . ‣ The sign of a vertex is the sign of its first crossing. 0 1 – – 1 + 2 –1 – 0 1 1 – – + 3 + 2 + + 2 1 + 1

[Gauss c.1840] [Whitney 1937] [Titus 1960] Rotation number formula [Grünbaum Shephard 1990] ‣ rot( C ) = α – β + γ + γ ʹ , where ▹ α = number of positive vertices ▹ β = number of negative vertices ▹ γ, γ ʹ = winding numbers on either side of the basepoint 0 1 – – 1 + 2 –1 – 0 1 1 – – + 3 + 2 + + 2 1 + 1

Topology! ‣ Positive and negative crossings/vertices, winding numbers, and rotation numbers are all isotopy invariants. ‣ We don’t care about coordinates, lengths, areas, angles, tangent vectors, derivatives, smoothness, .... 0 1 – – 1 + 2 –1 – 0 1 1 – – + 3 + 2 + + 2 1 + 1

What is a “curve”? ‣ The image of (nonsimple generic) curve is a 4-regular graph embedded in the plane. ▹ Vertices = crossing points ▹ Edges = curve segments between crossing points j e k d h c f g a b i

[Hamilton 1856] [Kirkman 1856] [Cayley 1857] Rotation system [Heffter 1891] [Brückner 1900].... ‣ Counterclockwise order of edges incident to each vertex. ‣ Specifies the embedding of G on the sphere, up to (ambient) isotopy a k i b h j b h a i c e c h b g d k d j c g e e j d f f d h f e g i e g d c i f c f g h k a b c a b i b a f g j k k d e i k j a b j

What is a “curve”? ‣ A curve is the “straight ahead” Euler tour of its image graph ‣ The rotation system is a complete isotopy invariant ‣ For algorithmic purposes, a “curve” IS its rotation system a k i b h j b h a i c e c h b g d k d j c g e e j d f f d h f e g i e g d c i f c f g h k a b c a b i b a f g j k k d e i k j a b j

[Gauss c.1845] [Jacobi c.1850] [Wiener 1865] Seifert decomposition [Hermes 1866] [Steinitz 1916] Uncross/smooth/resolve the curve at every crossing, preserving orientation ▹ Winding number = sum of individual winding numbers 273 273 273 273 ▹ Rotation number = sum of individual rotation numbers GEOMB'l'B.IA SITUS. GEOMB'l'B.IA SITUS. GEOMB'l'B.IA SITUS. GEOMB'l'B.IA SITUS. [ 3.] [ 3.] [ 3.] [ 3.] Interessant wird es in Beziehung auf diesen Gegenstand sein, zu unter- Interessant wird es in Beziehung auf diesen Gegenstand sein, zu unter- Interessant wird es in Beziehung auf diesen Gegenstand sein, zu unter- Interessant wird es in Beziehung auf diesen Gegenstand sein, zu unter- · . . .. · . . .. · . . .. · . . .. suchen 1) die Resultate des Durchschneidens der Knoten, in so fem man suchen 1) die Resultate des Durchschneidens der Knoten, in so fem man suchen 1) die Resultate des Durchschneidens der Knoten, in so fem man suchen 1) die Resultate des Durchschneidens der Knoten, in so fem man X X X X .. .. # .. .. # # # ... . ... . ... . ... . . •' . •' . •' . •' statt: ·x statt: ·x statt: ·x · statt: ·x · . . · . . · . . . . setzt: setzt: setzt: setzt: ··· ··· ··· ··· ....... ....... ....... ....... " " " " .. .. .. .. Zählt man dann für Zählt man dann für Zählt man dann für Zählt man dann für wodurch dann lauter getrennte Grenzlinien entstehen. wodurch dann lauter getrennte Grenzlinien entstehen. wodurch dann lauter getrennte Grenzlinien entstehen. wodurch dann lauter getrennte Grenzlinien entstehen. jede Grenzlinie, die [die] +Seite innen hat, + 1 , und iur jede, die die jede Grenzlinie, die [die] +Seite innen hat, + 1 , und iur jede, die die jede Grenzlinie, die [die] +Seite innen hat, + 1 , und iur jede, die die jede Grenzlinie, die [die] +Seite innen hat, + 1 , und iur jede, die die -Seite innen hat, -1, so ist das Aggregat X 360° die ganze Amplitudo. -Seite innen hat, -1, so ist das Aggregat X 360° die ganze Amplitudo. -Seite innen hat, -1, so ist das Aggregat X 360° die ganze Amplitudo. -Seite innen hat, -1, so ist das Aggregat X 360° die ganze Amplitudo. Vielleicht ist es fruchtbar, die Sache gleich anfangs noch allgemeiner an- Vielleicht ist es fruchtbar, die Sache gleich anfangs noch allgemeiner an- Vielleicht ist es fruchtbar, die Sache gleich anfangs noch allgemeiner an- Vielleicht ist es fruchtbar, die Sache gleich anfangs noch allgemeiner an- zugreifen und mehrere Linien zugleich zu betrachten, deren jede in sich selbst zugreifen und mehrere Linien zugleich zu betrachten, deren jede in sich selbst zugreifen und mehrere Linien zugleich zu betrachten, deren jede in sich selbst zugreifen und mehrere Linien zugleich zu betrachten, deren jede in sich selbst zurückkehrt, sich selbst und die andem schneidet. zurückkehrt, sich selbst und die andem schneidet. zurückkehrt, sich selbst und die andem schneidet. zurückkehrt, sich selbst und die andem schneidet. [ 4.] [ 4.] [ 4.] [ 4.] Das Vorhergehende ist richtig, verträgt aber grosse Vereinfachung. Indem Das Vorhergehende ist richtig, verträgt aber grosse Vereinfachung. Indem Das Vorhergehende ist richtig, verträgt aber grosse Vereinfachung. Indem Das Vorhergehende ist richtig, verträgt aber grosse Vereinfachung. Indem man die Linie durcb die erwähnte Schneidung der Knoten in eine Anzahl in man die Linie durcb die erwähnte Schneidung der Knoten in eine Anzahl in man die Linie durcb die erwähnte Schneidung der Knoten in eine Anzahl in man die Linie durcb die erwähnte Schneidung der Knoten in eine Anzahl in sich zurückkehrender Linien theilt, die weder sich selbst noch einander schnei- sich zurückkehrender Linien theilt, die weder sich selbst noch einander schnei- sich zurückkehrender Linien theilt, die weder sich selbst noch einander schnei- sich zurückkehrender Linien theilt, die weder sich selbst noch einander schnei- den, braucht man nur anzugeben, gegen wie viele (J.L) Linien der unendliche den, braucht man nur anzugeben, gegen wie viele (J.L) Linien der unendliche den, braucht man nur anzugeben, gegen wie viele (J.L) Linien der unendliche den, braucht man nur anzugeben, gegen wie viele (J.L) Linien der unendliche Raum auf der -Seite und gegen wie viele (") auf der +Seite liegt; man Raum auf der -Seite und gegen wie viele (") auf der +Seite liegt; man Raum auf der -Seite und gegen wie viele (") auf der +Seite liegt; man Raum auf der -Seite und gegen wie viele (") auf der +Seite liegt; man hat dann die Amplitudo hat dann die Amplitudo hat dann die Amplitudo hat dann die Amplitudo = (!-'- ") 360°. = (!-'- ") 360°. = (!-'- ") 360°. = (!-'- ") 360°. Die Angabe ist aber leicht; da sogar die Relation jedes Punkts angegeben Die Angabe ist aber leicht; da sogar die Relation jedes Punkts angegeben Die Angabe ist aber leicht; da sogar die Relation jedes Punkts angegeben Die Angabe ist aber leicht; da sogar die Relation jedes Punkts angegeben werden kann. Es seien nemlich die Linien a, b, c, d etc. und werden kann. Es seien nemlich die Linien a, b, c, d etc. und werden kann. Es seien nemlich die Linien a, b, c, d etc. und werden kann. Es seien nemlich die Linien a, b, c, d etc. und + 1 + 1 + 1 + 1 0 0 0 0 8(11) - 8(11) - 8(11) - 8 ( 11) - 8(11) - 8 ( 11) - 8 ( 11) - 8 ( 11) - Ba - Ba - ' Ba - äb -- Ba - ' ' äb -- ' ' äb -- äb -- ' ' ' je nachdem a auf der + oder -Seite von b liegt, und so die übrigen. je nachdem a auf der + oder -Seite von b liegt, und so die übrigen. je nachdem a auf der + oder -Seite von b liegt, und so die übrigen. je nachdem a auf der + oder -Seite von b liegt, und so die übrigen. Man Man Man Man hat dann, wenn in der ursprünglichen Figur der Knoten vorkommt : hat dann, wenn in der ursprünglichen Figur der Knoten vorkommt : hat dann, wenn in der ursprünglichen Figur der Knoten vorkommt : hat dann, wenn in der ursprünglichen Figur der Knoten vorkommt : :r !I :r :r !I :r !I !I n n n n a, a, a, a, (y)- (.x) = ay + (y)- (.x) = ay + (y)- (.x) = ay + (y)- (.x) = ay + a.x, a.x, a.x, a.x, vm. vm. vm. vm. Digitized byGoogle Digitized byGoogle Digitized byGoogle Digitized byGoogle

Gauss code [Gauss c. 1840] Sequence of crossing labels, either with or without signs j – e k – + – ++---+++--+-+-++---++- d h abcdefgchaigdjkhbifejk – – + + c f g + + a b + i

Gauss’ problem [Gauss 1844] Which Gauss codes correspond to planar curves? j – e k – + – ++---+++--+-+-++---++- d h abcdefgchaigdjkhbifejk – – + + c f g + + a b + i

Gauss’ problem [Gauss 1844] Which Gauss codes correspond to planar curves? j – e k – + ? ++---+++--+-+-++---++- – d h abcdefgchaigdjkhbifejk – – + + c f g + + a b + i

272 NACHLASS. [2.] Der Beweis ist doch sehr leicht. Man nenne n die Anzahl der Knoten und bezeichne sie in der Fplge, wie man sie trifft, indem man die Curve in einem angenommenen Sinne der Bewegung durchläuft, durch 1, 2, 3, .... n. Da bei dieser Bewegung jeder Knoten zweimal getroffen wird, so sei g die aus 2n Gliedern bestehende Reihe dieser Zahlen, indem man das Zeichen + beischreibt, so oft man auf die innere (rechte) Seite des durchschnittenen .Arms kommt, sonst -. Man zähle die+ und -Zeichen bloss da zusammen, wo die Zahlen zum erstenmal vorkommen und habe so + a-, - Indem man nun die Charactere des Theils der Curve, der zunächst vor dem ersten Gauss’ problem [Gauss 1844] Knoten liegt, durch j, r' ausdrückt, ist die Amplitudo der ganzen Curve Es finden jedoch bei diesen Arrangements einige Bedingungen statt, so dass nicht jedes aus der Luft gegriffene Arrangement möglich ist; jeder Knoten muss einmal an einer geraden, einmal an einer ungeraden Stelle vorkommen; zwi- schen den beiden Plätzen muss die Summe aller + a, - Null werden. Diess reicht aber nicht zu, um die Unmöglichkeit des Schemas c a b b a c b b 1 2 3 1 2 4 4 3 + + + + zu zeigen; hier müssen die Zeichen von 2 und 3 nothwendig geändert werden*). *) 1844 Deo. so fand ich, dua die Anordnung der Zahlen (mittelate Reihe) zureicht, um auch die EU- gehörigen Schnittcharactere (+ und -Zeichen in der untersten Reihe) und die VerknO.pfung der Tracte (oberste Reihe) daraus abzuleiten, das1 aberjene Anordnung selbst nicht willkürlich ist, aondem gewiaen Bedingungen unterliegt, deren vollatlndige Ennittelung Gegenatand neuer Arbeiten 1ein wird. Es leidet jedoch auch der obige Satz Einachrt.nkungen, z. B. G .. cfD i Digitized byGoogle j

272 NACHLASS. [2.] Der Beweis ist doch sehr leicht. Man nenne n die Anzahl der Knoten und bezeichne sie in der Fplge, wie man sie trifft, indem man die Curve in einem angenommenen Sinne der Bewegung durchläuft, durch 1, 2, 3, .... n. Da bei dieser Bewegung jeder Knoten zweimal getroffen wird, so sei g die aus 2n Gliedern bestehende Reihe dieser Zahlen, indem man das Zeichen + beischreibt, so oft man auf die innere (rechte) Seite des durchschnittenen .Arms kommt, sonst -. Man zähle die+ und -Zeichen bloss da zusammen, wo die Zahlen zum erstenmal vorkommen und habe so + a-, - Indem man nun die Charactere des Theils der Curve, der zunächst vor dem ersten Gauss’ problem Knoten liegt, durch j, r' ausdrückt, ist die Amplitudo der ganzen Curve [Gauss 1844] Es finden jedoch bei diesen Arrangements einige Bedingungen statt, so dass nicht However, these arrangements satisfy certain conditions, so not every jedes aus der Luft gegriffene Arrangement möglich ist; jeder Knoten muss arrangement pulled out of thin air is possible. Each node must appear once in einmal an einer geraden, einmal an einer ungeraden Stelle vorkommen; zwi- a positive crossing and once in a negative crossing, and between these two schen den beiden Plätzen muss die Summe aller + a, - Null werden. Diess places, the numbers of positive and negative crossings must be equal. But this is not enough to show the impossibility of the following schema: reicht aber nicht zu, um die Unmöglichkeit des Schemas c a b b a c b b 1 2 3 1 2 4 4 3 + + + + zu zeigen; hier müssen die Zeichen von 2 und 3 nothwendig geändert werden*). Here one must change the signs at nodes 2 and 3.* *) 1844 Deo. so fand ich, dua die Anordnung der Zahlen (mittelate Reihe) zureicht, um auch die EU- *On December 30, 1844, I discovered that the sequence of numbers (in the middle row) is gehörigen Schnittcharactere (+ und -Zeichen in der untersten Reihe) und die VerknO.pfung der Tracte sufficient to deduce both the corresponding crossing directions (+ and – signs in the (oberste Reihe) daraus abzuleiten, das1 aberjene Anordnung selbst nicht willkürlich ist, aondem gewiaen lower row) and the connections of the tract (upper row), but that arrangement itself is not Bedingungen unterliegt, deren vollatlndige Ennittelung Gegenatand neuer Arbeiten 1ein wird. Es leidet arbitrary, but subject to certain conditions, the complete determination of which will be jedoch auch der obige Satz Einachrt.nkungen, z. B. the subject of new works . G .. cfD i Digitized byGoogle j

272 NACHLASS. [2.] Der Beweis ist doch sehr leicht. Man nenne n die Anzahl der Knoten und bezeichne sie in der Fplge, wie man sie trifft, indem man die Curve in einem angenommenen Sinne der Bewegung durchläuft, durch 1, 2, 3, .... n. Da bei dieser Bewegung jeder Knoten zweimal getroffen wird, so sei g die aus 2n Gliedern bestehende Reihe dieser Zahlen, indem man das Zeichen + beischreibt, so oft man auf die innere (rechte) Seite des durchschnittenen .Arms kommt, sonst -. Man zähle die+ und -Zeichen bloss da zusammen, wo die Zahlen zum erstenmal vorkommen und habe so + a-, - Indem man nun die Charactere des Theils der Curve, der zunächst vor dem ersten Gauss’ problem Knoten liegt, durch j, r' ausdrückt, ist die Amplitudo der ganzen Curve [Gauss 1844] Es finden jedoch bei diesen Arrangements einige Bedingungen statt, so dass nicht However, these arrangements satisfy certain conditions, so not every jedes aus der Luft gegriffene Arrangement möglich ist; jeder Knoten muss arrangement pulled out of thin air is possible. Each node must appear once in einmal an einer geraden, einmal an einer ungeraden Stelle vorkommen; zwi- a positive crossing and once in a negative crossing, and between these two schen den beiden Plätzen muss die Summe aller + a, - Null werden. Diess places, the numbers of positive and negative crossings must be equal. But this is not enough to show the impossibility of the following schema: reicht aber nicht zu, um die Unmöglichkeit des Schemas c a b b a c b b “Seifert” circles 1 2 3 1 2 4 4 3 + + + + zu zeigen; hier müssen die Zeichen von 2 und 3 nothwendig geändert werden*). Here one must change the signs at nodes 2 and 3.* *) 1844 Deo. so fand ich, dua die Anordnung der Zahlen (mittelate Reihe) zureicht, um auch die EU- *On December 30, 1844, I discovered that the sequence of numbers (in the middle row) is gehörigen Schnittcharactere (+ und -Zeichen in der untersten Reihe) und die VerknO.pfung der Tracte sufficient to deduce both the corresponding crossing directions (+ and – signs in the (oberste Reihe) daraus abzuleiten, das1 aberjene Anordnung selbst nicht willkürlich ist, aondem gewiaen lower row) and the connections of the tract (upper row), but that arrangement itself is not Bedingungen unterliegt, deren vollatlndige Ennittelung Gegenatand neuer Arbeiten 1ein wird. Es leidet arbitrary, but subject to certain conditions, the complete determination of which will be jedoch auch der obige Satz Einachrt.nkungen, z. B. the subject of new works . G .. cfD i Digitized byGoogle j

[II.] ZUR GEOMETRIE DER LAGE, F'ÜR ZWEI RAUMDIMENSIONEN. Gauss’ problem [Gauss c.1850] Bei den dargestellten Tracten werden alle nur einmal vorkommenden Which Gauss codes correspond to planar curves? Knotenpunkte weggelassen. Mit zwei Sternen sind diejenigen bezeichnet, die für sich schon unmöglich sind; mit Einem Stern die, wo unter Vor- und N achsetzung eines neuen Knotenpunkts der Tract unmöglich; ohne Stern, wo dieser Zusatz einen möglichen Tract ergibt. Ein vollständiger Knoten. 1. aa Zwei vollständige Knoten. t. aabb 2. abab * 3. abba Drei vollständige Knoten. aabbcc 9. abbcca 1. aabcbc * 10. abcabc 2. 11. abcacb * 3. aabccb ababcc * 12. abcbac * 4. abacbc ** 13. abcbca ** 5. 6. abaccb * 14. abccab * 7. abbacc 15. abccba 8. abb cac * 283 NACHLASS. GEOMETRIA. SITUS. Vier vollständige Knoten. 36. abbcaddc * 71. abccadbd ** t. aabbccdd 2. aabbcdcd * 72. abccaddb * Digitized byGoogle 37. abbccadd 38. abbccdad * 3. aabbcddc 73. abocbadd 4. aabcbcdd * 74. abccbdad * 39. abbccdda I 5. aabcbdcd ** 40. abbcdacd 75. abccbdda 6. aabcbddc * 41. abbcdadc * 76. abccdabd 42. abbcdcad * 77. abccdadb * 7. aabccbdd 78. abccdbad * 8. aabccdbd * 43. abbcdcda u 44. abbcddac * 79. abccdbda ** 9. aabccddb 80. abccddab * 10. aabcdbcd 45. abbcddca 11. aabcdbdc * 46. ab cabcdd 81. abccddba 12. aabcdcbd * 82. abcdabcd * 47. abcabdcd ** 83. abcdabdc * 13. aabcdcdb u 48. abcabddc 14. aabcddbc * 49. abcacbdd * 84. abcdacbd u 85. abcdacdb ** 15. aabcddcb 50. abcacdbd u c * 16. ababccdd * 51. abcacddb * 86. ab cdadb 52. abcadbcd * 87. abcdadcb * 17. ababcdcd ·*' 18. ababcddc * 53. abcadbdc ** 88. abcdbacd .,... 19. abacb cdd ** 54. abcadcbd 89. abcdbadc 20. abacbdcd ** b ** 90. abcdbcad ** 55. ab ca d cd 21. abacbddc ** 91. abcdbcda 56. abcaddbc 57. abcaddcb * 22. abaccbdd ** 92. abcdbdac ** 23. abaccdbd ** 58. abcbacdd * 93. abcdbdca ** 24. abaccddb ** 59. abcbadcd ** 94. abcdcabd u 60. abcbaddc * 25. abacdbcd n 95. abcdcadb u 96. abcdcbad * 26. abacdbdc ** 61. abcbcadd u 27. abacdcbd ** 97. abcdcbda ;;,* 62. abcbcdad u 28. abacdcdb ** 63. abcbcdda ** 98. abcdcdab ** 99. abcdcdbtJ ** 29. abacddbc ** 64. abcbdacd u 30. abacddcb ** 65. abcbdadc u 100. abcddabc 31. abbaccdd 66. abcbdcad u 101. abcddacb 32. abbacdcd * 67. abcbdcda u 102. abcddbac "' 68. abcbddac * 103. abcddbca ** 33. abbacddc 104. abcddcab * 34. abbcacdd * 69. abcbddca u 70. abccabdd * 35. abbcadcd ** 105. abcddcba Digitized byGoogle

283 NACHLASS. GEOMETRIA. SITUS. Vier vollständige Knoten. 36. abbcaddc * 71. abccadbd ** t. aabbccdd 2. aabbcdcd * 72. abccaddb * 37. abbccadd 38. abbccdad * 3. aabbcddc 73. abocbadd 4. aabcbcdd * 74. abccbdad * 39. abbccdda 5. aabcbdcd ** 40. abbcdacd 75. abccbdda 6. aabcbddc * 41. abbcdadc * 76. abccdabd 42. abbcdcad * 77. abccdadb * 7. aabccbdd 78. abccdbad * 8. aabccdbd * 43. abbcdcda u 44. abbcddac * 79. abccdbda ** 9. aabccddb 80. abccddab * 10. aabcdbcd 45. abbcddca 11. aabcdbdc * 46. ab cabcdd 81. abccddba 12. aabcdcbd * 82. abcdabcd * 47. abcabdcd ** Gauss’ problem 83. abcdabdc * 13. aabcdcdb u 48. abcabddc [Gauss c.1850] 14. aabcddbc * 49. abcacbdd * 84. abcdacbd u 85. abcdacdb ** 15. aabcddcb 50. abcacdbd u c * 16. ababccdd * 51. abcacddb * 86. ab cdadb Which Gauss codes correspond to planar curves? 52. abcadbcd * 87. abcdadcb * 17. ababcdcd ·*' 18. ababcddc * 53. abcadbdc ** 88. abcdbacd .,... 19. abacb cdd ** 89. abcdbadc 54. abcadcbd 20. abacbdcd ** b ** 90. abcdbcad ** 55. ab ca d cd 21. abacbddc ** 91. abcdbcda 56. abcaddbc 57. abcaddcb * 22. abaccbdd ** 92. abcdbdac ** 58. abcbacdd * 23. abaccdbd ** 93. abcdbdca ** 24. abaccddb ** 59. abcbadcd ** 94. abcdcabd u 60. abcbaddc * 95. abcdcadb u 25. abacdbcd n 96. abcdcbad * 26. abacdbdc ** 61. abcbcadd u 27. abacdcbd ** 97. abcdcbda ;;,* 62. abcbcdad u 28. abacdcdb ** 63. abcbcdda ** 98. abcdcdab ** 99. abcdcdbtJ ** 29. abacddbc ** 64. abcbdacd u 30. abacddcb ** 65. abcbdadc u 100. abcddabc 31. abbaccdd 101. abcddacb 66. abcbdcad u 32. abbacdcd * 67. abcbdcda u 102. abcddbac "' 68. abcbddac * 103. abcddbca ** 33. abbacddc 34. abbcacdd * 104. abcddcab * 69. abcbddca u 70. abccabdd * 35. abbcadcd ** 105. abcddcba Digitized byGoogle

[Francis 1969] [Carter 1991] Signed codes are easy [Cairns Elton 1993] ‣ Every signed Gauss code is consistent with a unique rotation system. j ++---+++--+-+-++---++- c d e abcdefgchaigdjkhbifejk g

[Francis 1969] [Carter 1991] Signed codes are easy [Cairns Elton 1993] ‣ Every signed Gauss code is consistent with a unique rotation system. ‣ A rotation system describes a planar embedding if and only if it satisfies Euler’s formula V – E + F =2. j – e k – + – d ++---+++--+-+-++---++- h – – abcdefgchaigdjkhbifejk + + c f g + + a b + i

[Gauss c. 1850] Parity condition [Tait 1877] ‣ Any matching pair of symbols must be separated by an even number of other symbols abcdefgchaigdjkhbifejk j – e k – + – d h – – + + c f g + + a b + i

[Gauss c. 1850] Parity condition [Tait 1877] ‣ Any matching pair of symbols must be separated by an even number of other symbols abcdefgchaigdjkhbifejk j – e k – + – d h – – + + c f g + + a b + i

[Gauss c. 1850] Parity condition [Tait 1877] ‣ Any matching pair of symbols must be separated by an even number of other symbols abcdefgchaigdjkhbifejk j – e k – + – d h – – + + c f g + + a b + i

[Gauss c. 1850] Parity condition [Tait 1877] ‣ Any matching pair of symbols must be separated by an even number of other symbols abcdefgchaigdjkhbifejk j – e k – + – d h – – + + c f g + + a b + i

Parity proof [Nagy 1927] ‣ Color segments of the curve alternately red and blue . ▹ Red = odd winding number on the right ▹ bLue = odd winding number on the Left ‣ After leaving a vertex along a red segment, you must next enter that vertex along a red segment. j e k d h c f g a b i

Look familiar? j e k d h c f g a b i [Nagy 1927] [Gauss c.1845]

284 NACHLASS. Man kann die möglichen Tracte auch als geschlossene ansehen, und folg- lich aus jedem möglichen durch Vorrückung des Anfangsgliedes andere ab- leiten. Die 2 4 möglichen, welche sich unter den 1 0 5 Tracten für 4 vollstän- dige Knoten befinden, erscheinen in dieser Abhängigkeit so: IV. 1 I. 4 Vlll. 1 39 l. n. 2 III. 4 54. 89 II. 5 15. 105. 73. 33 7. 75. 31. 9. 81. 37 3. 45. o. 91. 46. 48. 56. 100. 76. 40 1 Sehr vereinfacht wird die Registrirung, indem man die Plätze mit o, 1, 2, '3 u. s. w. bezeichnet, und diejenigen Paare von Plätzen, die Einem Knoten Parity condition entsprechen, neben einander setzt. In einem möglichen geschlossenen Ttacte muss jedes Paar aus einer geraden und einer ungeraden Zahl bestehen. Z. B. 0.7 0.3 2.5 2.7 Nr. 48 Nr. 91 u. s. w. ‣ Unfortunately this condition is not sufficient. 4.1 4.1 6.3 6.5 Dieses Criterium hört aber bei Perioden von mehr als 4 Knoten auf, für !: :: !: die Möglichkeit zureichend zu sein; z. B. abcadcedbe oder ist, obgleich dem Criterium genügt ist, unmöglich. !: Ebenso ist unmöglich abcabdecde (oder] Die vollständige lexicographische Aufzählung aller 1 2 0 Tractcombinationen [Gauss c.1850] für 5 Knoten auf der folgenden Seite [, wobei die unmöglichen Tracte durch einen Stem bezeichnet sind.] Digitized byGoogle . J [Tait 1877] abcadcedbe abcabdecde abcadebdec

285 GEOHETBJA. SITUS. 1. aabbccddee 31. abbccaddee 61. abcaddecbe 91. abcdbceade• ccdeed ceeda 2. adeed deebc 32. 62. 92. cddcee ddaee ebced edaec• 3. 33. 63. 93. cddeec edcea ddeea ebdec* 4. 34. 64. 94. cdecde deade eecbd eeadc 5. 35. 65. 95. cdeedc eecda deeda eedbc 6. 36. 66. 96. 7. aabccbddee 37. abbcdacdee 67. abccbaddee 97. abcddabcee abtec bdeed aceed adeed 8. 98. 38. 68 . ddbee aedce ddaee aecbe 9. 39. 69. 99. ddeeb aeecd ddeea aeebc 10. 40. 70. 100. debde ebaee dcaee deade 11. 41. 71. 101. deedb dceea detda cbeea 12. 42. 72. 102. 13. aabcdbcdee ceabe deace 73. abccdabdee 43 . 103. bceed abeed ceeba deeca 14. 44. 74. 104. ebaec bedce ecaed aedbe 15. 45. 75. 105. beecd ecdea aeebd ebcea 16. 46. 76. 106. dcbee eeacd eeabc dbaee 17. 47. 77. 107. dceeb eedca dbua eecba 18. 48. 78. 108. debce 109. abcdeabcde 49. abcabcddee deabe 19. 79. abedc deecb cdeed deeba 20. 50. 110. 80. ecbed ddcee ebaed adcbe 21. 51. 81. 111. ebdea ecdeb ddsec addc• 22. 52. 82. 112. cbade eebcd eeabd 23. decde* 83. 113. 53. eedcb cbeda deedc eedba 24. 54. 84. 114. 25. abbaccddee 55. abcadcbdee 85. abcdbadcee cdabe* 115. cdeba cdeed cbeed adeec 116. 26. 56. 86. ebadc ddcee cedbe* 87 . aecde 27. 57. 117. ebcda ddeec ceebd aeedc 28. 118. 58. 88. edabc decde dbcee cdaee 29. 119. 59. 89. edcba cdeea deedc dbeec 30. 60. 90. 120. Digitized byGoogle

The solution [Trude Guermonprez, Western Regional Archives, State Archives of North Carolina]

Two ways to smooth a crossing ‣ Maintain orientation (but disconnect the curve), or ‣ Maintain connection (but reverse part of the curve) 273 273 273 273 GEOMB'l'B.IA SITUS. GEOMB'l'B.IA SITUS. GEOMB'l'B.IA SITUS. GEOMB'l'B.IA SITUS. [ 3.] [ 3.] [ 3.] [ 3.] Interessant wird es in Beziehung auf diesen Gegenstand sein, zu unter- Interessant wird es in Beziehung auf diesen Gegenstand sein, zu unter- Interessant wird es in Beziehung auf diesen Gegenstand sein, zu unter- Interessant wird es in Beziehung auf diesen Gegenstand sein, zu unter- · . . .. · . . .. · . . .. · . . .. suchen 1) die Resultate des Durchschneidens der Knoten, in so fem man suchen 1) die Resultate des Durchschneidens der Knoten, in so fem man suchen 1) die Resultate des Durchschneidens der Knoten, in so fem man suchen 1) die Resultate des Durchschneidens der Knoten, in so fem man X X X X .. .. # .. .. # # # ... . ... . ... . ... . . •' . •' . •' . •' statt: ·x statt: ·x statt: ·x · statt: ·x . · . · . · . . . . . setzt: setzt: setzt: setzt: ··· ··· ··· ··· ....... ....... ....... ....... " " " " .. .. .. .. Zählt man dann für Zählt man dann für Zählt man dann für Zählt man dann für wodurch dann lauter getrennte Grenzlinien entstehen. wodurch dann lauter getrennte Grenzlinien entstehen. wodurch dann lauter getrennte Grenzlinien entstehen. wodurch dann lauter getrennte Grenzlinien entstehen. [Gauss c.1840] [Dehn 1936] jede Grenzlinie, die [die] +Seite innen hat, + 1 , und iur jede, die die jede Grenzlinie, die [die] +Seite innen hat, + 1 , und iur jede, die die jede Grenzlinie, die [die] +Seite innen hat, + 1 , und iur jede, die die jede Grenzlinie, die [die] +Seite innen hat, + 1 , und iur jede, die die -Seite innen hat, -1, so ist das Aggregat X 360° die ganze Amplitudo. -Seite innen hat, -1, so ist das Aggregat X 360° die ganze Amplitudo. -Seite innen hat, -1, so ist das Aggregat X 360° die ganze Amplitudo. -Seite innen hat, -1, so ist das Aggregat X 360° die ganze Amplitudo. Vielleicht ist es fruchtbar, die Sache gleich anfangs noch allgemeiner an- Vielleicht ist es fruchtbar, die Sache gleich anfangs noch allgemeiner an- Vielleicht ist es fruchtbar, die Sache gleich anfangs noch allgemeiner an- Vielleicht ist es fruchtbar, die Sache gleich anfangs noch allgemeiner an- zugreifen und mehrere Linien zugleich zu betrachten, deren jede in sich selbst zugreifen und mehrere Linien zugleich zu betrachten, deren jede in sich selbst zugreifen und mehrere Linien zugleich zu betrachten, deren jede in sich selbst zugreifen und mehrere Linien zugleich zu betrachten, deren jede in sich selbst zurückkehrt, sich selbst und die andem schneidet. zurückkehrt, sich selbst und die andem schneidet. zurückkehrt, sich selbst und die andem schneidet. zurückkehrt, sich selbst und die andem schneidet. [ 4.] [ 4.] [ 4.] [ 4.] Das Vorhergehende ist richtig, verträgt aber grosse Vereinfachung. Indem Das Vorhergehende ist richtig, verträgt aber grosse Vereinfachung. Indem Das Vorhergehende ist richtig, verträgt aber grosse Vereinfachung. Indem Das Vorhergehende ist richtig, verträgt aber grosse Vereinfachung. Indem man die Linie durcb die erwähnte Schneidung der Knoten in eine Anzahl in man die Linie durcb die erwähnte Schneidung der Knoten in eine Anzahl in man die Linie durcb die erwähnte Schneidung der Knoten in eine Anzahl in man die Linie durcb die erwähnte Schneidung der Knoten in eine Anzahl in sich zurückkehrender Linien theilt, die weder sich selbst noch einander schnei- sich zurückkehrender Linien theilt, die weder sich selbst noch einander schnei- sich zurückkehrender Linien theilt, die weder sich selbst noch einander schnei- sich zurückkehrender Linien theilt, die weder sich selbst noch einander schnei- den, braucht man nur anzugeben, gegen wie viele (J.L) Linien der unendliche den, braucht man nur anzugeben, gegen wie viele (J.L) Linien der unendliche den, braucht man nur anzugeben, gegen wie viele (J.L) Linien der unendliche den, braucht man nur anzugeben, gegen wie viele (J.L) Linien der unendliche Raum auf der -Seite und gegen wie viele (") auf der +Seite liegt; man Raum auf der -Seite und gegen wie viele (") auf der +Seite liegt; man Raum auf der -Seite und gegen wie viele (") auf der +Seite liegt; man Raum auf der -Seite und gegen wie viele (") auf der +Seite liegt; man hat dann die Amplitudo hat dann die Amplitudo hat dann die Amplitudo hat dann die Amplitudo = (!-'- ") 360°. = (!-'- ") 360°. = (!-'- ") 360°. = (!-'- ") 360°. Die Angabe ist aber leicht; da sogar die Relation jedes Punkts angegeben Die Angabe ist aber leicht; da sogar die Relation jedes Punkts angegeben Die Angabe ist aber leicht; da sogar die Relation jedes Punkts angegeben Die Angabe ist aber leicht; da sogar die Relation jedes Punkts angegeben werden kann. Es seien nemlich die Linien a, b, c, d etc. und werden kann. Es seien nemlich die Linien a, b, c, d etc. und werden kann. Es seien nemlich die Linien a, b, c, d etc. und werden kann. Es seien nemlich die Linien a, b, c, d etc. und + 1 + 1 + 1 + 1 0 0 0 0 8(11) - 8(11) - 8(11) - 8 ( 11) - 8(11) - 8 ( 11) - 8 ( 11) - 8 ( 11) - Ba - Ba - ' Ba - äb -- Ba - ' ' äb -- ' äb -- ' äb -- ' ' ' je nachdem a auf der + oder -Seite von b liegt, und so die übrigen. je nachdem a auf der + oder -Seite von b liegt, und so die übrigen. je nachdem a auf der + oder -Seite von b liegt, und so die übrigen. je nachdem a auf der + oder -Seite von b liegt, und so die übrigen. Man Man Man Man hat dann, wenn in der ursprünglichen Figur der Knoten vorkommt : hat dann, wenn in der ursprünglichen Figur der Knoten vorkommt : hat dann, wenn in der ursprünglichen Figur der Knoten vorkommt : hat dann, wenn in der ursprünglichen Figur der Knoten vorkommt : :r !I :r :r !I :r !I !I n n n n a, a, a, a, (y)- (.x) = ay + (y)- (.x) = ay + (y)- (.x) = ay + (y)- (.x) = ay + a.x, a.x, a.x, a.x, vm. vm. vm. vm. Digitized byGoogle Digitized byGoogle Digitized byGoogle Digitized byGoogle

Untangling [Dehn 1936] Reverse every substring bounded by matching symbols abcdefgchaigdjkhbifejk j – e k – + – d h – – + + c f g + + a b + i

Untangling [Dehn 1936] Reverse every substring bounded by matching symbols abcdefgchaigdjkhbifejk ahcgfedcba igdjkhbifejk j – e k – + – d h – – + + c f g + + a b + i

Untangling [Dehn 1936] Reverse every substring bounded by matching symbols abcdefgchaigdjkhbifejk ahcgfedcba igdjkhbifejk j – e k – + – d h – – + + c f g + + a b + i

Untangling [Dehn 1936] Reverse every substring bounded by matching symbols abcdefgchaigdjkhbifejk ahcgfedcba igdjkhbifejk j ahcgfedc bhkjdgiab ifejk – e k – + – d h – – + + c f g + + a b + i

Untangling [Dehn 1936] Reverse every substring bounded by matching symbols abcdefgchaigdjkhbifejk ahcgfedcba igdjkhbifejk j ahcgfedc bhkjdgiab ifejk – e k ah cdefgc bhkjdgiabifejk – + ahc djkhbcgfed giabifejk – d h ahcdjkhbcgf efibaigde jk – – + + ahcdjkhbcg fef ibaigdejk c f g + + ahcdjkhbc giabifefg dejk a b + a hkjdch bcgiabifefgdejk i ahkjdchbcg ibai fefgdejk ahk jedgfefiabigcbhcdj k ah kjdchbcgibaifefgdejk

Untangling [Dehn 1936] Reverse every substring bounded by matching symbols abcdefgchaigdjkhbifejk ahcgfedcba igdjkhbifejk j ahcgfedc bhkjdgiab ifejk e k ah cdefgc bhkjdgiabifejk ahc djkhbcgfed giabifejk d h ahcdjkhbcgf efibaigde jk ahcdjkhbcg fef ibaigdejk c f g ahcdjkhbc giabifefg dejk a b a hkjdch bcgiabifefgdejk i ahkjdchbcg ibai fefgdejk ahk jedgfefiabigcbhcdj k ah kjdchbcgibaifefgdejk

Untangling condition [Dehn 1936] The untangled code must be consistent with a 
 weakly simple closed curve j j – e e k k – + – d d h h – – + + c c f f g g + + a a b b + i i abcdefgchaigdjkhbifejk ahkjdchbcgibaifefgdejk

Untangling condition [Dehn 1936] The Gauss diagram of the untangled code must be planar a k h j e k j d g d c f h e b f c i g a i b ahkjdchbcgibaifefgdejk

Untangling condition [Dehn 1936] The Gauss diagram of the untangled code must be planar a k a k h j h j e k e k j d j d g d g d c f c f h e h e b f b f c i c i g a g a i b b i ahkjdchbcgibaifefgdejk

Untangling condition [Dehn 1936] The Gauss diagram of the untangled code must be planar a k h j j e k e j d k g d d h c f h c e f g b a f b c i i g a b i

Untangling condition [Dehn 1936] The Gauss diagram of the untangled code must be planar ▹ “Baum-Zwiebel Figur”

[Dehn 1936] Untangling condition [Rosenstiehl 1976] The interlacement graph of the untangled code 
 must be bipartite a k h j a i b e k j d g e g d c f d f k h e b f c j h c i g a i b ahkjdchbcgibaifefgdejk

[Dehn 1936] Untangling condition [Rosenstiehl 1976] The interlacement graph of the untangled code 
 must be bipartite a k h j a i b e k j d g e g d c f d f k h e b f c j h c i g a b i ahkjdchbcgibaifefgdejk

[Dehn 1936] Untangling condition [Rosenstiehl 1976] The interlacement graph of the untangled code 
 must be bipartite a k h j e k j d e a b h g d c f h e f g d i j k c b f c i g a b i ahkjdchbcgibaifefgdejk

These two conditions suffice! [Dehn 1936] A string is the unsigned Gauss code of a planar curve 
 if and only if it satisfies both 
 Gauss’ parity condition and Dehn’s untangling condition.

Decoding Algorithm

Algorithm [Nagy 1927] + [Dehn 1936] + [Rosenstiehl 1976] 1. Build a 4-regular graph G from the input code. 2. Alternately direct the edges of G forward and backward 3. Find an Euler tour of G (or fail) 4. Extract an untangled code from the Euler tour 5. Build the interlacement graph of the untangled code 6. Find a bipartition of the interlacement graph (or fail) 7. Embed the untangled Gauss diagram into the plane 8. Contract the arcs of the embedded Gauss diagram

Three examples abab abcadcedbe abcadcbd

Build 4-regular graph from code abab abcadcedbe abcadcbd a a b e b a b d c d c ‣ O( n ) time by brute force

Alternate directions abab abcadcedbe abcadcbd a a b e b a b d c d c ‣ O( n ) time by brute force

Alternate directions [Nagy 1927] abab abcadcedbe abcadcbd a a b e b a b d c d c Gauss’ parity condition holds if and only if 
 every vertex in G has in-degree 2 and out-degree 2

Alternate directions [Nagy 1927] abab abcadcedbe abcadcbd a a b e b a b d c d c Gauss’ parity condition holds if and only if 
 every vertex in G has in-degree 2 and out-degree 2

[Euler 1736] Euler tour [Hierholzer 1873] [Good 1946] abcadcedbe abcadcbd a a b 3 4 e b 3 4 1 5 1 5 6 2 2 9 7 8 d c 7 d c 6 ‣ O( n ) time via depth-first search [Hierholzer 1873]

Untangled code abcadcedbe abcadcbd adebacdbce adbacbcd a a b 3 4 e b 3 4 1 5 1 5 6 2 2 9 7 8 d c 7 d c 6 ‣ O( n ) time by brute force

Interlacement graph abcadcedbe abcadcbd adebacdbce adbacbcd a a b e b d c d c ‣ O( n ²) time by brute force

Bipartition abcadcedbe abcadcbd adebacdbce adbacbcd a a b e b d c d c ‣ O( n ²) time by whatever-first search

Bipartition abcadcedbe abcadcbd adebacdbce adbacbcd a a b e b d c d c ‣ O( n ²) time by whatever-first search

Embed the Gauss diagram abcadcbd adbacbcd a d a b d c b b d c a c ‣ O( n ) time by brute force

Contract diagram arcs [Dehn 1936] abcadcbd adbacbcd d a d d c a c b b a c b ‣ O(1) time per edge = O( n ) time total ‣ The final curve is consistent with the original Gauss code!

Contract diagram arcs [Dehn 1936] abcadcbd adbacbcd d a d d c a c b b a c b ‣ O(1) time per edge = O( n ) time total ‣ The final curve is consistent with the original Gauss code!

Algorithm summary 1. Build a 4-regular graph G from the input code 2. Alternately direct the edges of G forward and backward 3. Find an Euler tour of G (or fail) 4. Extract an untangled code from the Euler tour 5. Build the interlacement graph of the untangled code 6. Find a bipartition of the interlacement graph (or fail) 7. Embed the untangled Gauss diagram into the plane 8. Contract the arcs of the embedded Gauss diagram ‣ The entire algorithm runs in O( n ²) time. ‣ Testing Dehn’s untangling condition is the bottleneck, 
 but there are faster algorithms for that.

Pile of twin stacks algorithm [Rosenstiehl Tarjan 1984] Classifies each arc of the Gauss diagram as “left” (inside) or “right” (outside) in O( n ) time, without explicitly building the interlacement graph. T [ i ] t [ i ] i Pile of twin stacks Operations Interleaves found [ 12 | • ] 0 a 12 new pair, push left [ 6 | • ] , [ 12 | • ] 1 h 6 new pair, push left [ 6,12 | 21 ] 2 k 21 meld, push right ka , kh a k h j [ 6,12 | 20,21 ] 3 j 20 push right jh e [ 6,12 | 18,20,21 ] 4 d 18 push right dh k [ 6,12 | 8,18,20,21 ] 5 c 8 push right ch j d [ 12 | 8,18,20,21 ] 6 h 1 pop left [ 11,12 | 8,18,20,21 ] 7 b 11 push left bc g d [ 11,12 | 18,20,21 ] 8 c 5 pop right [ 11,12 | 17,18,20,21 ] 9 g 17 push right gb c f [ 11,12 | 13,17,18,20,21 ] 10 13 i push right ib [ 12 | 13,17,18,20,21 ] 11 7 b pop left h e 12 0 [ • | 13,17,18,20,21 ] a pop left b f 13 10 [ • | 17,18,20,21 ] i pop right 14 16 [ 16 | • ] , [ • | 17,18,20,21 ] f new pair, push left c i 15 19 [ 19 | 16,17,18,20,21 ] ef , eg e swap top pair, meld, push right g a i b 16 14 [ 19 | 17,18,20,21 ] f pop right 17 9 [ 19 | 18,20,21 ] g pop right ahkjdchbcgibaifefgdejk [ 19 | 20,21 ] 18 d 4 pop right [ • | 20,21 ] 19 e 15 pop left [ • | 21 ] 20 j 3 pop right 21 k 2 ? pop right, pop empty pair

Pile of twin stacks algorithm [Rosenstiehl Tarjan 1984] Classifies each arc of the Gauss diagram as “left” (inside) or “right” (outside) in O( n ) time, without explicitly building the interlacement graph. T [ i ] t [ i ] i Pile of twin stacks Operations Interleaves found [ 12 | • ] 0 a 12 new pair, push left [ 6 | • ] , [ 12 | • ] 1 h 6 new pair, push left [ 6,12 | 21 ] 2 k 21 meld, push right ka , kh a k h j [ 6,12 | 20,21 ] 3 j 20 push right jh e [ 6,12 | 18,20,21 ] 4 d 18 push right dh k [ 6,12 | 8,18,20,21 ] 5 c 8 push right ch j d [ 12 | 8,18,20,21 ] 6 h 1 pop left [ 11,12 | 8,18,20,21 ] 7 b 11 push left bc g d [ 11,12 | 18,20,21 ] 8 c 5 pop right [ 11,12 | 17,18,20,21 ] 9 g 17 push right gb c f [ 11,12 | 13,17,18,20,21 ] 10 13 i push right ib [ 12 | 13,17,18,20,21 ] 11 7 b pop left h e 12 0 [ • | 13,17,18,20,21 ] a pop left b f 13 10 [ • | 17,18,20,21 ] i pop right 14 16 [ 16 | • ] , [ • | 17,18,20,21 ] f new pair, push left c i 15 19 [ 19 | 16,17,18,20,21 ] ef , eg e swap top pair, meld, push right g a i b 16 14 [ 19 | 17,18,20,21 ] f pop right 17 9 [ 19 | 18,20,21 ] g pop right ahkjdchbcgibaifefgdejk [ 19 | 20,21 ] 18 d 4 pop right [ • | 20,21 ] 19 e 15 pop left [ • | 21 ] 20 j 3 pop right 21 k 2 ? pop right, pop empty pair

Pile of twin stacks algorithm [Rosenstiehl Tarjan 1984] Classifies each arc of the Gauss diagram as “left” (inside) or “right” (outside) in O( n ) time, without explicitly building the interlacement graph. T [ i ] t [ i ] i Pile of twin stacks Operations Interleaves found [ 12 | • ] 0 a 12 new pair, push left [ 6 | • ] , [ 12 | • ] 1 h 6 new pair, push left [ 6,12 | 21 ] 2 k 21 meld, push right ka , kh a k h j [ 6,12 | 20,21 ] 3 j 20 push right jh e [ 6,12 | 18,20,21 ] 4 d 18 push right dh k [ 6,12 | 8,18,20,21 ] 5 c 8 push right ch j d [ 12 | 8,18,20,21 ] 6 h 1 pop left [ 11,12 | 8,18,20,21 ] 7 b 11 push left bc g d [ 11,12 | 18,20,21 ] 8 c 5 pop right [ 11,12 | 17,18,20,21 ] 9 g 17 push right gb c f [ 11,12 | 13,17,18,20,21 ] 10 13 i push right ib [ 12 | 13,17,18,20,21 ] 11 7 b pop left h e 12 0 [ • | 13,17,18,20,21 ] a pop left b f 13 10 [ • | 17,18,20,21 ] i pop right 14 16 [ 16 | • ] , [ • | 17,18,20,21 ] f new pair, push left c i 15 19 [ 19 | 16,17,18,20,21 ] ef , eg e swap top pair, meld, push right g a i b 16 14 [ 19 | 17,18,20,21 ] f pop right 17 9 [ 19 | 18,20,21 ] g pop right ahkjdchbcgibaifefgdejk [ 19 | 20,21 ] 18 d 4 pop right [ • | 20,21 ] 19 e 15 pop left [ • | 21 ] 20 j 3 pop right 21 k 2 ? pop right, pop empty pair

Pile of twin stacks algorithm [Rosenstiehl Tarjan 1984] Classifies each arc of the Gauss diagram as “left” (inside) or “right” (outside) in O( n ) time, without explicitly building the interlacement graph. T [ i ] t [ i ] i Pile of twin stacks Operations Interleaves found [ 12 | • ] 0 a 12 new pair, push left [ 6 | • ] , [ 12 | • ] 1 h 6 new pair, push left [ 6,12 | 21 ] 2 k 21 meld, push right ka , kh a k h j [ 6,12 | 20,21 ] 3 j 20 push right jh e [ 6,12 | 18,20,21 ] 4 d 18 push right dh k [ 6,12 | 8,18,20,21 ] 5 c 8 push right ch j d [ 12 | 8,18,20,21 ] 6 h 1 pop left [ 11,12 | 8,18,20,21 ] 7 b 11 push left bc g d [ 11,12 | 18,20,21 ] 8 c 5 pop right [ 11,12 | 17,18,20,21 ] 9 g 17 push right gb c f [ 11,12 | 13,17,18,20,21 ] 10 13 i push right ib [ 12 | 13,17,18,20,21 ] 11 7 b pop left h e 12 0 [ • | 13,17,18,20,21 ] a pop left b f 13 10 [ • | 17,18,20,21 ] i pop right 14 16 [ 16 | • ] , [ • | 17,18,20,21 ] f new pair, push left c i 15 19 [ 19 | 16,17,18,20,21 ] ef , eg e swap top pair, meld, push right g a i b 16 14 [ 19 | 17,18,20,21 ] f pop right 17 9 [ 19 | 18,20,21 ] g pop right ahkjdchbcgibaifefgdejk [ 19 | 20,21 ] 18 d 4 pop right [ • | 20,21 ] 19 e 15 pop left [ • | 21 ] 20 j 3 pop right 21 k 2 ? pop right, pop empty pair

Other characterizations ‣ [Tait 1877] ‣ [Nagy 1927] ‣ [Treybig 1968] ‣ [Marx 1967, 1969] ‣ [Bouchet 1972] ‣ [Lovász Marx 1976] ‣ [Rosenstiehl 1976] ‣ [Read Rosenstiehl 1976] ‣ [Dowker Thistlethwaite 1983] ‣ [Chaves Weber 1994] ‣ [Cairns Elton 1996] ‣ [de Fraysseix, Ossona de Mendez 1999] ‣ [Burckel 2001] ‣ [Grinblat Lopatkin 2017]

Extensions and Open Problems

Extensions and Open Problems

Multiple curves [Dehn 1936] ‣ “Gauss paragraphs” ‣ Need two additional parity conditions ▹ Each “sentence” has even length ▹ For any two symbols that appear in the same two “sentences”, the substrings they delimit have even total length ‣ The algorithm is essentially unchanged f a e h abcdef•abghedig•hfci g i d b c

[Wu 1955, 1985] [Liu 1978, 1988] Left-Right Planarity Test [de Fraysseix, Rosenstiehl 1982, 1985] [Xu 1989] [Cai Han Tarjan 1993] [de Fraysseix, Ossona de Mendez, Rosenstiehl 2006]

[Wu 1955, 1985] [Liu 1978, 1988] Left-Right Planarity Test [de Fraysseix, Rosenstiehl 1982, 1985] [Xu 1989] [Cai Han Tarjan 1993] [de Fraysseix, Ossona de Mendez, Rosenstiehl 2006] ‣ Fix a depth-first search tree of G . 
 [Wiener 1873] [Trémaux c.1882]

[Wu 1955, 1985] [Liu 1978, 1988] Left-Right Planarity Test [de Fraysseix, Rosenstiehl 1982, 1985] [Xu 1989] [Cai Han Tarjan 1993] [de Fraysseix, Ossona de Mendez, Rosenstiehl 2006] ‣ Fix a depth-first search tree of G . 
 [Wiener 1873] [Trémaux c.1882] ‣ Each non-tree edge defines a directed fundamental cycle.

[Wu 1955, 1985] [Liu 1978, 1988] Left-Right Planarity Test [de Fraysseix, Rosenstiehl 1982, 1985] [Xu 1989] [Cai Han Tarjan 1993] [de Fraysseix, Ossona de Mendez, Rosenstiehl 2006] ‣ Fix a depth-first search tree of G . 
 [Wiener 1873] [Trémaux c.1882] ‣ Each non-tree edge defines a directed fundamental cycle. ‣ G is planar iff the interlacement graph of these fundamental cycles is bipartite.

Open problem ‣ How quickly can we recognize Gauss codes of curves in more complicated surfaces? [Dehn 1936] ▹ Signed codes are still easy! (Does V – E + F = 2–2 g ?) ▹ Only existing algorithm for unsigned codes: Try all 2 n signings! [Chas 2007] g =3, abcdefghiejabcdghifj A representative of the conjugacy class of a t

Open problems 92 s. LINS, B. RICHTER AND H. SHANK AEQ MATH ‣ How quickly can we recognize Gauss codes of curves in It is easily checked that all 4[E[ corners get matched, each with exactly one other more complicated surfaces? [Dehn 1936] We now describe the vertices of the graph G Fix a triple (el, r/i, tr]) This corner determines a unique sequence of distinct corners (el, r/i, a]),. , (e~,, r/'p, try,) by demanding that (e;, q~, try) and e~+l, t/~+l, a;+x) are matched, for t = 1, . ,p, the indices are read modulo p There is a vertex of G mcldent precisely with the halves r/i, ‣ ...of null-homologous curves...? r/i, , ~/~ We repeat this construction as often as necessary to get every half incident with some vertex The faces are obtained by the dual construction, so (e~, ~, cry) and (el+ 1, r/~+ 1, try+ ~) ▹ = has a checkerboard coloring = has an Alexander numbering = “ lacet ” 
 are matched Thus, an embedding of G is specified Clearly, we have arranged the [Lins Richter Shank 1987] [Crapo Rosenstiehl 2001] [Lins, Oliveira-Lima, Silva 2008] matching of corners to ensure that 1I is the left-right path of G and that K{e} = {e} exactly when e has cycle character, as required Q E D For a given H, there is now an obvious algorithm to determine the surface S of least connectivity in which FI arises as a left-right path try each of the 2 ILl choices for K and pick one that gives the smallest rank for j2 + j + JK + KJ Is there an algorithm to determine S whose running time is bounded by a polynomial in IEI 9 In the next section, Theorem 4 6 is considered in the case where S is either the sphere or the projective plane In these cases, simple necessary and sufficient conditions can be given; so we can efficiently test whether or not H arises in either the sphere or the projective plane 5. The sphere and the projective plane In order to show that H arises in a specified surface, the hard part is to find K so that AA ° has the correct rank We show now how to do this for the sphere and the projective plane Let H be the gwen cyclic sequence The mterla~ement graph H = H(H) IS defined as follows The vertex set is the symbol set E of H Two symbols, e and £ are joined by an edge of H if and only if (e,f, e, )c) is a subsequence of H, i e, if and only if e ~ Jf Let E(H) denote the edge-set of H 6e As well, Let Kbe a subset of E In H, Kylelds the coboundary 3K= ~ (EK K determines a hnear transformation g 2 e --, 2 e defined by Rx = K c~ x Define A =A(K) byA = J+RandletA ° = A +I. THEOREM 5 1 Let H, E, H, J, K and A be as above Then the following are equwalent (l) (e, AA°J) = (Je, Je)(Jf, Jf), and (2) (t) (e, Jf) = 0 tmphes (Je, Jf? = (Je, JeXJf Jf), and (it) {efeE(H), (Je, Jf) = (Je, Je)(JfJf}} = 6K

Open problems ‣ How quickly can we recognize Gauss codes of curves in more complicated surfaces? [Dehn 1936] ‣ ...of null-homologous curves...? ▹ = has a checkerboard coloring = has an Alexander numbering = “ lacet ” 
 [Lins Richter Shank 1987] [Crapo Rosenstiehl 2001] [Lins, Oliveira-Lima, Silva 2008] ‣ ...of contractible curves...? ▹ = continuously deformable to a point — Come back tomorrow!

Open problems ‣ How quickly can we recognize Gauss codes of curves in more complicated surfaces? [Dehn 1936] ‣ ...of null-homologous curves...? ▹ = has a checkerboard coloring = has an Alexander numbering = “ lacet ” 
 [Lins Richter Shank 1987] [Crapo Rosenstiehl 2001] [Lins, Oliveira-Lima, Silva 2008] ‣ ...of contractible curves...? ▹ = continuously deformable to a point — Come back tomorrow! ‣ ...of curves in minimal position...?