ITTMs α -Recursion α -Random Higher Computability and Randomness Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin 10 mai 2017 Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random Defined by a model Classical Computability Abstract Definition Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random relcomp DefbyMod ITTM ClassComp HigherComp DefAbstr α -rec Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random 1|1 → 1|0 → 0|0 → 1 2 1|0 → H Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random Étendre la calculabilité Notions dérivées de la Notions d’aléatoires calculabilité classique : induites : modifiée en Calculabilité relative Aléatoire relatif Définition par un Modèle de Calcul définie par ITTM−Random ITTMs ITTM−ML random... modifiée en Calculabilité classique modifiée en Pi11 Random Higher Computability Pi11−ML random... définie par Définition abstraite Alpha−random Alpha−Recursion Alpha−ML random... modifiée en Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random Plan de l’exposé Notions dérivées de la Notions d’aléatoires calculabilité classique : induites : modifiée en Calculabilité relative Aléatoire relatif Définition par un Modèle de Calcul définie par ITTM−Random ITTMs ITTM−ML random... modifiée en Calculabilité classique modifiée en Pi11 Random Higher Computability Pi11−ML random... définie par Définition abstraite Alpha−random Alpha−Recursion Alpha−ML random... modifiée en Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random Première étape Notions dérivées de la Notions d’aléatoires calculabilité classique : induites : modifiée en Calculabilité relative Aléatoire relatif Définition par un Modèle de Calcul définie par ITTM−Random ITTMs ITTM−ML random... modifiée en Calculabilité classique modifiée en Pi11 Random Higher Computability Pi11−ML random... définie par Définition abstraite Alpha−random Alpha−Recursion Alpha−ML random... modifiée en Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random Infinite Time Turing Machine Définition (Turing Machine) A Turing Machine is an abstract model of computation, with : a finite quantity of states, an inifinite tape as memory, with a reading head, some transitions between states. Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random Infinite Time Turing Machine Définition (Turing Machine) A Turing Machine is an abstract model of computation, with : a finite quantity of states, an inifinite tape as memory, with a reading head, some transitions between states. Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 0 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 1 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 2 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 3 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 4 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 5 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 6 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 7 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 8 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 9 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 10 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 11 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 12 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 13 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 14 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 15 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 16 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state q 17 . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random A computation in state H . A Turing Machine’s Clock : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random Plan de l’exposé Notions dérivées de la Notions d’aléatoires calculabilité classique : induites : modifiée en Calculabilité relative Aléatoire relatif Définition par un Modèle de Calcul définie par ITTM−Random ITTMs ITTM−ML random... modifiée en Calculabilité classique modifiée en Pi11 Random Higher Computability Pi11−ML random... définie par Définition abstraite Alpha−random Alpha−Recursion Alpha−ML random... modifiée en Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random Hardware Clock The Hardware Clock of all Turing Machines (compactified) : Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random New Hardware Clock What if we consider instead : or even more ticks ? Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random Ordinals Ordinals Définition An ordinal is a set α such that 1 α is transitive : ∀ x ∈ α, ∀ y ∈ x , y ∈ α 2 ( α, ∈ ) is a well ordering. Some ordinals are successors, some ordinals are limits. Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random Ordinals Behaviour Question What is the behaviour at a limit stage ? Answer The current state become the “limit” state, each cell become the liminf of its previous values. Cellule 0 was : 1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,. . . → now it is 1. Cellule 1 was : 1,1,1,0,1,0,1,1,0,0,1,. . . → now it is 0. Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random Ordinals Links between Définability and Computability Is the behaviour original as far as we go through the ordinals ? What can these machines compute ? What’s all that for ? Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
ITTMs α -Recursion α -Random Ordinals Links between Définability and Computability Is the behaviour original as far as we go through the ordinals ? No, no machine would stop if it reach a certain ordinal, λ , no machine would stabilize if it reach another ordinal, ζ , and all machine will loop if it reaches a third ordinal ordinal, Σ . What can these machines compute ? For example, the Halting Problem can be written on a tape ; however, only countably many strings are writable ; we will see soon a caracterization of what can be computed. What’s all that for ? The ordinals λ , ζ and Σ have interesting properties. A new notion helps us understand the previous one. Paul-Elliot Anglès d’Auriac Benoît Monin Higher Computability and Randomness
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