Groupoïdes quantiques et logiques tensorielles une introduction Paul-André Melliès Cours de l’Ecole Doctorale de Sciences Mathématiques Paris, Juillet 2008 1
Plan de la séance 1 – Dualités monoidales, 2 – Bicatégorie de monades et homomorphismes, 3 – Bicatégorie de monades et modules, 4 – Fermeture, 5 – Des homomorphismes aux modules. 2
Première partie Dualités monoïdales Dualités et fermetures 3
Exponentiation Soit A un objet dans une catégorie symétrique monoïdale ( C , × , 1 ) . Une exponentiation monoïdale de A est un foncteur C −→ C ( A ⊸ − ) : muni d’une famille ( φ A , B , C ) B , C de bijections indexée par des objets B , C de C : φ A , B , C : Hom ( A ⊗ B , C ) −→ Hom ( B , A ⊸ C ) naturelle en B et C . 4
Catégorie symétrique monoïdale fermée Une catégorie symétrique monoïdale fermée (smcc) est une catégorie symétrique monoïdale ( C , ⊗ , 1 ) munie d’une exponentiation monoïdale A ⊗ B −→ C (1) φ A , B , C B −→ A ⊸ C pour tout objet A . Par le théorème du paramètre, ⊸ définit un bifoncteur C op × C −→ C tel que la famille de bijections ( φ A , B , C ) A , B , C soit naturelle en A , B , et C . On définit le morphisme A ⊗ ( A ⊸ B ) −→ B eval : de la manière suivante: id A ⊸ B −→ A ⊸ B φ − 1 A ⊸ B , A , B A ⊗ ( A ⊸ B ) −→ B 5
Deux structures monoidales fermées sur Cat La structure cartésienne: A × B le produit cartésien des catégories A et B : = les foncteurs et transformations naturelles de A dans B . A = ⇒ B : = La structure maigre : la catégorie A ⊗ B classifie les « foncteurs par composante » A × B C F : −→ définis comme une fonction F : ( A , B ) �→ F ( A , B ) sur les objets, et un foncteur F ( A , − ) : B −→ C F ( − , B ) : A −→ C pour tout objet A de la catégorie A et tout objet B de la catégorie B . les foncteurs et transformations de A dans B . A ⊸ B : = Ce sont les deux seules structures symétriques monoïdales fermées sur Cat . 6
Catégories ∗ -autonomes Tout couple d’objets A , ⊥ dans une catégorie symétrique monoïdale fermée ( C , ⊗ , 1 ) définit un morphisme identité id A ⊸ ⊥ : A ⊸ ⊥ −→ A ⊸ ⊥ que la bijection φ − 1 A ⊸ ⊥ , A , ⊥ transporte en le morphisme eval : A ⊗ ( A ⊸ ⊥ ) −→ ⊥ qui devient en précomposant avec la symétrie: ( A ⊸ ⊥ ) ⊗ A −→ ⊥ que la bijection φ A ⊸ ⊥ , A , ⊥ transporte en un morphisme: A ( A ⊸ ⊥ ) ⊸ ⊥ −→ Un objet ⊥ est dualisant lorsque le morphisme canonique A −→ ( A ⊸ ⊥ ) ⊸ ⊥ est un isomorphisme, pour tout objet A . Une catégorie symétrique monoïdale fermée avec un objet dualisant est ap- pelée catégorie ∗ -autonome. 7
Catégories compactes fermées Une catégorie ∗ -autonome munie d’un isomorphisme m : ⊥ 1 � et d’une famille d’isomorphismes A ⊥ ⊗ B ⊥ ( A ⊗ B ) ⊥ m : � naturelle en A et en B , où A ⊥ A ⊸ ⊥ . : = On demande que ces isomorphismes satisfont les diagrammes de cohérence d’une transformation naturelle monoïdale de la catégorie dans sa catégorie op- posée. 8
� � � � � � � � � � � Diagrammes de coherence ( A ⊥ ⊗ B ⊥ ) ⊗ C ⊥ A ⊥ ⊗ ( B ⊥ ⊗ C ⊥ ) α m ⊗ C ⊥ A ⊥ ⊗ m ( A ⊗ B ) ⊥ ⊗ C ⊥ A ⊥ ⊗ ( B ⊗ C ) ⊥ m m α ⊥ � ( A ⊗ ( B ⊗ C )) ⊥ (( A ⊗ B ) ⊗ C ) ⊥ ρ A ⊥ ⊗ 1 λ A ⊥ 1 ⊗ B ⊥ B ⊥ ρ ⊥ A ⊥ ⊗ m m ⊗ B ⊥ λ ⊥ m � ( A ⊗ 1 ) ⊥ m � ( 1 ⊗ B ) ⊥ A ⊥ ⊗ 1 ⊥ 1 ⊥ ⊗ B ⊥ Version symétrique de catégorie entortillée 9
Objets de Frobenius Un objet de Frobenius F est un monoïde et un comonoïde tel que d m m = = m d d une formulation possible du cobordisme de dimension 2 10
Objets de Frobenius Définition équivalente: un objet de Frobenius F est un monoïde muni d’une forme u : F −→ I telle que le morphisme induit u = m soit l’évaluation d’une paire duale F ⊣ F . 11
Toute ambijonction définit une monade de Frobenius (démonstration graphique) L ⊣ R ⊣ L Illustration: les algèbres de matrice A ⊗ A ∗ . 12
Deuxième partie La bicatégorie Monade ( B ) des monades Monades et foncteurs 13
� � � La bicatégorie Monade ( B ) – les 0 -cellules sont les monades ( A , s ) de la bicatégorie B – les 1 -cellules � ( B , t ) ( f , ˜ f ) : ( A , s ) sont des paires constitué d’une 1-cellule f A B : −→ et d’une 2-cellule ˜ f : f ⊗ s ⇒ t ⊗ f : A −→ B Diagrammatiquement: f A B ˜ f s t ⇒ � B A f 14
� � � � � � � � � � � � � � � � � � La bicatégorie Monade ( B ) satisfaisant les égalités suivantes: f f A B A B = ˜ η ⇒ η ⇒ s f ⇒ t t id id id f f � B � B A A f f A B A B � � ������������ � � ������������ � � s t � ˜ s � f ⇒ � � � � � � � � � µ ⇒ = A B f t ˜ µ ⇒ A s f ⇒ t � � � � � � � � � � � � � � � ˜ � � f ⇒ � � � � � � t t � � � s � � � � � � � � � � f � B A B A f 15
Formulation alternative en diagrammes de corde f t f t t f t f = = f s s s s f f f 16
� � � Les 2-cellules de la bicatégorie Monade ( B ) – les 2 -cellules θ : f ⇒ g : s −→ t sont des 2-cellules θ : f ⇒ t ⊗ g : A −→ B faisant commuter le diagramme de 2-cellules ˜ f � t ⊗ t ⊗ g θ f ⊗ s t ⊗ f µ θ g ˜ µ � t ⊗ t ⊗ g � t ⊗ g t ⊗ g ⊗ s Forme réduite 17
Formulation alternative en diagrammes de corde g t g t t = s f f s Forme réduite 18
� � � Les 2-cellules de la bicatégorie Monade ( B ) – les 2 -cellules θ : f ⇒ g : s −→ t sont des 2-cellules θ : f ⊗ s ⇒ t ⊗ g : A −→ B faisant commuter le diagramme de 2-cellules ˜ f � t ⊗ t ⊗ g θ f ⊗ s ⊗ s t ⊗ f ⊗ s µ θ g ˜ µ � t ⊗ t ⊗ g � t ⊗ g t ⊗ g ⊗ s Forme non réduite 19
Formulation alternative en diagrammes de corde g t g t = s s f s s f Forme non réduite 20
Passage de la forme réduite à la forme non réduite (et vice versa) g g t t g g t t = = s s f f f f 21
Première équation t g g g g t t t = = = s f s s f f f s 22
Deuxième équation g t g g t t = = f f f 23
Propriété de la forme non réduite g t g g t t = = s s s f f s f s s 24
Exemple de la bicatégorie Span Dans la bicatégorie Monade ( Span ) – les 0-cellules sont les petites catégories, – les 1-cellules provenant d’une fonction sont les foncteurs, – les 2-cellules sont les transformations naturelles. Deux formulations possibles (réduite, non réduite) des transformations naturelles. 25
� � � Variante: la bicatégorie ( Monade ( B op )) op – les 0 -cellules sont les monades ( A , s ) de la bicatégorie B – les 1 -cellules � ( B , t ) ( f , ˜ f ) : ( A , s ) sont des paires constitué d’une 1-cellule f A B : −→ et d’une 2-cellule ˜ f : t ⊗ f ⇒ f ⊗ s : A −→ B Diagrammatiquement: f A B ˜ f s t ⇐ � B A f 26
� � � Les 2-cellules de la bicatégorie ( Monade ( B op )) op – les 2 -cellules θ : f ⇒ g : s −→ t sont des 2-cellules θ : t ⊗ f ⇒ g ⊗ s : A −→ B faisant commuter le diagramme de 2-cellules ˜ f θ � g ⊗ s ⊗ s t ⊗ t ⊗ f t ⊗ f ⊗ s µ θ g ˜ µ � g ⊗ s ⊗ s � g ⊗ s t ⊗ g ⊗ s 27
Troisième partie La bicatégorie Module ( B ) des modules de monades Modules algébriques, modules catégoriques 28
Principe de représentation Toute monade (au sens bicatégorique) t : A −→ A induit une monade (au sens catégorique) B ( X , t ) : B ( X , A ) −→ B ( X , A ) définie par post-composition f f � A � A t � A X �→ X et cela pour toute 0 -cellule X de la bicatégorie B . Exercice. Vérifier que B ( X , t ) définit bien une monade sur B ( X , A ) . 29
Principe de représentation (dual) Dualement, toute monade (au sens bicatégorique) t : A −→ A induit une monade (au sens catégorique) B ( t , X ) : B ( A , X ) −→ B ( A , X ) définie par pré-composition cette fois-ci: f f � X t � A � X �→ A A cela pour toute 0 -cellule X de la bicatégorie B . Exercice. Montrer que B ( t , X ) = B op ( X op , t op ) . 30
� � Principe de représentation (mixte) Toute paire de monades (au sens bicatégorique) s : A −→ A t : B −→ B induit une monade (au sens catégorique) B ( s , t ) : B ( A , B ) −→ B ( A , B ) définie par pré- et post- composition: f � B A f � B �→ A s t A B cela pour toute 0 -cellule X de la bicatégorie B . 31
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