Alg` ebres de von Neumann et th´ eorie ergodique des actions de groupes S´ eminaire Tripode, ENS Lyon, Juin 2008. Stefaan Vaes 1/22
Sujet de l’expos´ e 1 Introduction aux • relations d’´ equivalence donn´ ees par des groupes discrets d´ enombrables, et leurs actions sur un espace de • alg` ebres de von probabilit´ e Neumann, • groupe fondamental des facteurs II 1 et relations d’´ equivalence, (sous-groupe de R + , terminologie ‘cadeau’ de von Neumann). 2 Th´ eor` emes de rigidit´ e de Popa. 3 Groupes fondamentaux non-d´ enombrables ≠ R + . 2/22
Th´ eorie mesurable des groupes ◮ Transformations mesurables • de l’intervalle [ 0 , 1 ] e standard ( X , µ) ), (ou un espace de probabilit´ • pr´ eservant la mesure de Lebesgue, • inversible, bimesurable. ◮ Actions de groupes d´ enombrables par de telles transformations. Exemples ◮ Action de Z sur le cercle S 1 , par rotation d’angle α . pour z ∈ S 1 , n ∈ Z . n · z = exp ( in α) z ◮ Action de SL ( 2 , Z ) sur le tore T 2 = R 2 / Z 2 , � � � � � � y a z b a b y pour tout y , z ∈ S 1 . · = y c z d c d z 3/22
Actions ergodiques Toutes les transformations sont bimesurables et pr´ eservent une mesure de probabilit´ e. Ergodicit´ e : ind´ ecomposable ‘en somme de deux’. D´ efinition formelle de l’ergodicit´ e ◮ La transf. T de ( X , µ) est dite ergodique si tout sous-ensemble mesurable globalement T -invariant est de mesure 0 ou 1. ◮ L’action Γ ↷ ( X , µ) est dite ergodique si tout sous-ensemble mesurable globalement Γ -invariant est de mesure 0 ou 1. Exemples Rotation d’angle α est ergodique ssi α/ 2 π est irrationnel. L’action SL ( n , Z ) ↷ T n est ergodique. Soit K un groupe compact et Γ ⊂ K un sous-groupe enombrable dense. Alors, Γ ↷ K est ergodique. d´ 4/22
Trois points de vue diff´ erents On suppose toujours : pr´ eservant la mesure, ergodique, libre : presque tout x ∈ X a un stabilisateur trivial. Une action libre ergodique pr´ eservant la mesure Γ ↷ ( X , µ) . 1 La relation d’´ equivalence orbitale sur X 2 x ∼ y ssi ∃ g ∈ Γ , x = g · y . ebre de von Neumann L ∞ ( X ) ⋊ Γ . L’alg` 3 Trois degr´ es de pr´ ecision, trois types d’isomorphismes : 1 conjugaison 2 ´ equivalence orbitale 3 ´ equivalence von Neumann. Question centrale : de combien diff` erent ces points de vue ? 5/22
Conjugaison vs. ´ equivalence orbitale Les actions libres ergodiques Γ ↷ ( X , µ) et Λ ↷ ( Y , η) sont dites conjugu´ ees, s’il existe ◮ une bijection ∆ : X → Y pr´ eservant la mesure, ◮ un isomorphisme de groupes δ : Γ → Λ tels que ∆ ( g · x ) = δ( g ) · ∆ ( x ) presque partout. orbitalement ´ equivalentes, s’il existe ◮ une bijection ∆ : X → Y pr´ eservant la mesure, telle que ∆ ( Γ · x ) = Λ · ∆ ( x ) presque partout. Th´ eor` eme surprenant Toutes les actions libres ergodiques de tous les groupes suivants sont orbitalement ´ equivalentes. ◮ Groupes ab´ eliens (Dye, 1963). ◮ Groupes moyennables (Ornstein et Weiss, 1980). voir transparent suivant. 6/22
Groupes moyennables Repr´ esentation unitaire d’un groupe Γ : π : Γ → op´ erateurs sur un espace de Hilbert ◮ π( g ) est un op´ erateur unitaire pour tout g ∈ Γ , ◮ π( gh ) = π( g )π( h ) pour tout g , h ∈ Γ . Repr´ esentation r´ eguli` ere de Γ : erateurs sur ℓ 2 ( Γ ) : λ : Γ → op´ λ g e h = e gh est la base orthonormale canonique de ℓ 2 ( Γ ) . ( e g ) g ∈ Γ o` u esentation unitaire π : Vecteurs presque-invariants d’une repr´ Suite ξ n de vecteurs de norme 1 v´ erifiant � π( g )ξ n − ξ n � → 0 pour tout g ∈ Γ . Exemple. La repr´ esentation r´ eguli` ere de Z a 1 √ ξ n = 2 n + 1 χ [ − n , n ] comme suite de vecteurs presque-invariants. 7/22
Moyennabilit´ e vs. propri´ et´ e (T) D´ efinition Un groupe d´ enombrable Γ ◮ est dit moyennable si sa repr´ esentation r´ eguli` ere admet une suite de vecteurs presque-invariants. ◮ a la propri´ et´ e (T) de Kazhdan si toute repr´ esentation unitaire ayant une suite de vecteurs presque-invariants, doit avoir un vecteur invariant non-nul. moyennable et propri´ et´ e (T) = groupe fini. Groupes moyennables : ◮ groupes ab´ eliens, groupes r´ esolubles, ◮ stable par extension/sous-groupe/limite directe, mais il y en a plus. Groupes avec la propri´ et´ e (T) : ◮ SL ( n , Z ) pour n ≥ 3, r´ eseau d’un groupe de Lie simple de rang ≥ 2, ◮ certains groupes al´ eatoires ` a la Gromov. 8/22
Th´ eor` eme de superrigidit´ e orbitale de Popa Rappel : toutes les actions libres ergodiques de tous les groupes moyennables sont orbitalement ´ equivalentes. Construction de l’action Bernoulli de Γ ( X , µ) = [ 0 , 1 ] Γ Espace de probabilit´ e avec mesure produit, Γ ↷ ( X , µ) ( g · x ) h = x g − 1 h . Action par d´ ecalage Th´ eor` eme (Popa, 2005) Soit Γ un groupe avec la propri´ et´ e (T) (et sans sous-groupe fini distingu´ e). Si l’action Bernoulli Γ ↷ X = [ 0 , 1 ] Γ est orbitalement ´ equivalente avec l’action libre ergodique Λ ↷ ( Y , η) , alors Γ ≅ Λ et les actions sont conjugu´ ees. La relation d’´ equivalence orbitale se souvient enti` erement du groupe et de son action. 9/22
Un peu plus sur la rigidit´ e orbitale Survol tr` es rapide : ◮ Travail fondateur de Zimmer (1980) : p.ex. les groupes SL ( n , Z ) n’admettent pas d’actions orbitalement ´ equivalentes pour des valeurs diff´ erentes de n . ◮ Superrigidit´ e de Furman (1999) : p.ex. SL ( n , Z ) ↷ T n , n impaire, v´ erifie la superrigidit´ e orbitale. ut et invariants ℓ 2 de Gaboriau (1999-2001) : ◮ Coˆ p.ex. les groupes libres F n n’admettent pas d’actions orbitalement ´ equivalentes pour des valeurs diff´ erentes de n . ◮ Beaucoup plus : Monod-Shalom, Kida, Ioana, ... Mais c’est grand temps de se tourner vers les alg` ebres de von Neumann. 10/22
Alg` ebres de von Neumann eressants : M n ( C ) , B ( H ) , L ∞ ( X ) . Les exemples inint´ Topologie faible sur B ( H ) induite par T ֏ � ξ, T η � . Alg` ebre de von Neumann d’un groupe ere sur ℓ 2 ( Γ ) . Soit Γ un groupe d´ enombrable et g ֏ λ g sa rep. r´ eguli` ◮ span { λ g | g ∈ Γ } est l’alg` ebre de groupe, not´ ee C Γ . ◮ D´ efinir L ( Γ ) comme l’adh´ erence faible de C Γ . D´ efinition : une alg` ebre de von Neumann est une sous-alg` ebre ee de B ( H ) . involutive faiblement ferm´ emement difficile : quand L ( Γ ) ≅ L ( Λ ) ? Probl` eme extrˆ • (Connes, 1975) Tous les L ( Γ ) pour Γ moyennable et ICC, sont isomorphes. eme ouvert) Est-ce que L ( F n ) ≅ L ( F m ) ? • (Probl` • (Conjecture de Connes) e (T) et L ( Γ ) ≅ L ( Λ ) , alors Γ ≅ Λ (virtuellement). Si Γ a la propri´ et´ 11/22
Facteurs de type II 1 Facteur M : alg` ebre de vN. ind´ ecomposable ‘en somme de deux’. Condition ´ equivalente : le centre de M est trivial. Remplace l’hypoth` ese de l’ergodicit´ e. τ : M → C , τ( 1 ) = 1, τ( xy ) = τ( yx ) . Trace sur M : Remplace l’hypoth` ese ‘pr´ eservant la mesure de proba.’ D´ efinition Un facteur de type II 1 est un facteur qui admet une trace τ , mais qui a M n ( C ) . est non-isomorphe ` Exemple : L ( Γ ) admet toujours une trace, donn´ ee par τ(λ g ) = δ g , e , et est factoriel ssi Γ a des classes de conjugaison infinies (ICC). Crucial pour nous : Pour Γ ↷ ( X , µ) libre ergodique, on construit le facteur II 1 L ∞ ( X ) ⋊ Γ . (Le group-measure-space-construction de Murray et von Neumann) 12/22
Group-measure-space-construction (M-vN 1943) Soit Γ ↷ ( X , µ) une action libre ergodique pr´ eservant µ . e L ∞ ( X ) ⋊ Γ est engendr´ Le facteur II 1 not´ e par ebre L ∞ ( X ) , ◮ la sous-alg` ◮ la sous-alg` ebre L ( Γ ) ∋ λ g , et, pour F ∈ L ∞ ( X ) et g ∈ Γ , λ ∗ g F λ g = F g o` u F g ( x ) = F ( g · x ) . Soit Γ ↷ ( X , µ) et Λ ↷ ( Y , η) . Nous ´ etudions Relation d’´ equiv. orbitale vs. alg` ebre de von Neumann. Th´ eor` eme (Singer 1955, Feldman-Moore 1977) Un isomorphisme L ∞ ( X ) → L ∞ ( Y ) : F ֏ F ◦ ∆ − 1 etend en isomorphisme L ∞ ( X ) ⋊ Γ → L ∞ ( Y ) ⋊ Λ s’´ ssi ∆ est une ´ equivalence orbitale (c-` a-d, ∆ ( Γ · x ) = Λ · ∆ ( x ) p.p.). Equivalence orbitale = isomorphisme L ∞ ( X ) ⋊ Γ ≅ L ∞ ( Y ) ⋊ Λ ´ envoyant L ∞ ( X ) sur L ∞ ( Y ) . 13/22
Distinguer des facteurs de type II 1 Extrˆ emement difficile ` a d´ emontrer que deux facteurs II 1 sont non-isomorphes. Tous les L ( Λ ) avec Λ moyennable ICC et tous les L ∞ ( X ) ⋊ Γ avec Γ moyennable et Γ ↷ ( X , µ) action libre ergodique, sont isomorphes. Premi` ere id´ ee : trouver des invariants ! Murray et von Neumann : ◮ un invariant qualitatif : propri´ e ( Γ ), et´ ◮ un invariant quantitatif : groupe fondamental F ( M ) : = { τ( p )/τ( q ) | pMp ≅ qMq } . Murray et von Neumann d´ emontraient en 1943 que L ( S ∞ ) �≅ L ( F 2 ) , et ... c’´ etait tout, jusqu’aux ann´ ees 1960. Aujourd’hui : les facteurs II 1 sont non-classifiables dans tous les sens du mot ! 14/22
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