Golden, Goncharov, Paulos, Spradlin, Vergu Happy - PowerPoint PPT Presentation

✏ _ / ✏ _ / � ✏ _ / h 12 i Anastasia ¡Volovich ¡ h 13 i h 14 i h 15 i h 61 i Brown ¡University ¡ h 23 i h 34 i h 45 i h 56 i Oxford, ¡September ¡2014 ¡ ArXiv: ¡1305.1617, ¡1401.6446, ¡1406.2055 ¡ ¡Golden, ¡Goncharov, ¡Paulos, ¡Spradlin, ¡Vergu ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Happy ¡Birthday, ¡Andrew! ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡In ¡my ¡talk, ¡I ¡will ¡ ¡ ¡ ¡ • ¡explore ¡ ¡cluster ¡algebra ¡structure ¡of ¡amplitudes ¡in ¡N=4 ¡ Yang-­‑Mills ¡(which ¡we ¡observed ¡experimentally) ¡ • ¡explain ¡how ¡to ¡use ¡it ¡to ¡compute ¡2-­‑loop ¡all-­‑n ¡MHV ¡ amplitudes ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Plan ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ • IntroducWon ¡ ¡ ¡ • Coproduct ¡and ¡amplitudes: ¡funcWons ¡and ¡arguments ¡ • Cluster ¡algebras ¡basics ¡ • Cluster ¡polylogs ¡as ¡amplitudes ¡building ¡blocks ¡ • Conclusion ¡

2-­‑loop ¡6-­‑point ¡MHV ¡amplitude ¡in ¡N=4 ¡SYM ¡ ¡ ¡ ✓ �h 1234 ih 2356 i ◆ � 1 ✓ �h 1246 ih 1345 i ◆ R (2) X = Li 4 4 Li 4 6 h 1236 ih 2345 i h 1234 ih 1456 i cyclic + products of Li k ( � x ) functions of lower weight Goncharov, ¡Spradlin, ¡Vergu, ¡AV ¡ 1. ¡FuncWons: ¡only ¡classical ¡polylogs ¡degree ¡4 ¡appear ¡ Z z Li k ( z ) = Li k − 1 ( t ) d log t Li 1 ( z ) = − log(1 − z ) 0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

2-­‑loop ¡6-­‑point ¡MHV ¡Amplitude ¡ ¡ ¡ ✓ �h 1234 ih 2356 i ◆ � 1 ✓ �h 1246 ih 1345 i ◆ R (2) X = Li 4 4 Li 4 ¡ 6 h 1236 ih 2345 i h 1234 ih 1456 i cyclic + products of Li k ( � x ) functions of lower weight Goncharov, ¡Spradlin, ¡Vergu, ¡AV ¡ 1. FuncWons: ¡only ¡classical ¡polylogs ¡appear ¡ ¡ Z z Li k ( z ) = Li k − 1 ( t ) d log t Li 1 ( z ) = − log(1 − z ) 0 2. Arguments: ¡

KinemaWcs ¡ • KinemaWcs ¡of ¡an ¡n-­‑point ¡amplitude ¡can ¡be ¡ described ¡in ¡terms ¡of ¡n ¡momentum ¡twistors ¡ ¡ Z = ( λ α , x α ˙ α λ α ) xternal four-momenta Hodges ¡ Null ¡momentum ¡ a α ⌘ λ ( a ) λ ( a ) α e ing p µ a 7! ( p a ) α ˙ a ( σ µ ) α ˙ α . α ⌘ p µ ˙ ¡ Momentum ¡conservaWon ¡ writing p a ≡ x a − x a − 1 , [ • Dual ¡conformal ¡objects ¡are ¡raWos ¡of ¡4-­‑brackets ¡ Drummond, ¡Henn, ¡Korchemsky, ¡Sokachev ¡ h ijkl i := det( Z i Z j Z k Z l ), • Amplitudes ¡are ¡funcWons ¡on ¡3(n-­‑5) ¡dim ¡space ¡ ¡ Conf n ( CP 3 ) = Gr (4 , n ) / ( C ∗ ) n

2-­‑loop ¡6-­‑point ¡MHV ¡Amplitude ¡ ¡ ¡ ✓ �h 1234 ih 2356 i ◆ � 1 ✓ �h 1246 ih 1345 i ◆ R (2) X = Li 4 4 Li 4 6 h 1236 ih 2345 i h 1234 ih 1456 i ¡ cyclic + products of Li k ( � x ) functions of lower weight Goncharov, ¡Spradlin, ¡Vergu, ¡AV ¡ 1. FuncWons: ¡only ¡classical ¡polylogs ¡appear ¡ ¡ Z z Li k ( z ) = Li k − 1 ( t ) d log t Li 1 ( z ) = − log(1 − z ) 0 2. Arguments: ¡9 ¡out ¡of ¡45 ¡cross-­‑raWos ¡appear ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ X v 1 = h 1246 ih 1345 i v 2 = h 1235 ih 2456 i v 3 = h 1356 ih 2346 i h 1234 ih 1456 i , h 1256 ih 2345 i , h 1236 ih 3456 i , ( p a + p a +1 ) 2 ( p a +3 + p a +4 ) 2 u a = ( p a + p a +1 + p a +2 ) 2 ( p a +2 + p a +3 + p a +4 ) 2 1 = h 1456 ih 2356 i 2 = h 1346 ih 2345 i 3 = h 1236 ih 1245 i x + x + x + h 1256 ih 3456 i , h 1234 ih 3456 i , h 1234 ih 1256 i , 1 = h 1234 ih 2356 i 2 = h 1256 ih 1346 i 3 = h 1245 ih 3456 i v a = 1 x � h 1236 ih 2345 i , x � h 1236 ih 1456 i , x � h 1456 ih 2345 i , − 1 u a u a x ± p a = ( u 1 + u 2 + u 3 − 1 ± ( u 1 + u 2 + u 3 − 1) 2 − 4 u 1 u 2 u 3 ) 2 u 1 u 2 u 3

Natural ¡quesWons ¡ • Why ¡does ¡the ¡remainder ¡funcWon ¡contain ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡only ¡classical ¡polylogs ¡? ¡ • Why ¡do ¡these ¡parWcular ¡arguments ¡appear ¡? ¡ • How ¡to ¡generalize ¡this ¡formula? ¡ h a ( bc )( de )( fg ) i ⌘ h abde ih acfg i � h abfg ih acde i , h ab ( cde ) \ ( fgh ) i ⌘ h acde ih bfgh i � h bcde ih afgh i , ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡I ¡will ¡focus ¡in ¡my ¡talk ¡on ¡2-­‑loops ¡all ¡n. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡For ¡higher ¡loops ¡and ¡NMHV: ¡ ¡see ¡very ¡impressive ¡work ¡by ¡Dixon, ¡ ¡ ¡ Drummond, ¡Duhr, ¡Pennington, ¡von ¡Hippel ¡

Coproduct ¡ δ Goncharov ¡ To ¡every ¡transcendental ¡funcWon ¡degree ¡4 ¡associate ¡ element ¡of ¡ B 2 ∧ B 2 and B 3 ⊗ C ∗ ¡ δ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡coproduct ¡ This ¡is ¡what ¡characterizes ¡the ¡degree ¡4 ¡funcWon ¡ modulo ¡products ¡of ¡lower ¡weight ¡funcWons. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡The ¡first ¡determines ¡funcWon ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡the ¡second ¡arguments. ¡ ¡

Symbol ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡The ¡symbol ¡== ¡an ¡element ¡of ¡the ¡k-­‑fold ¡tensor ¡ product ¡of ¡the ¡mulWplicaWve ¡group ¡of ¡raWonal ¡ funcWons ¡defined ¡recursively ¡ ¡ T k → S ( T k ) = R 1 ⊗ · · · ⊗ R k ¡ X X T i S ( T i dT k = k − 1 d log R i → S ( T k ) = k − 1 ) ⊗ R i ¡ i i ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ log R → R ; log R 1 log R 2 → R 1 ⊗ R 2 + R 2 ⊗ R 1 ; Li 2 ( R ) → − (1 − R ) ⊗ R Symbol ¡trivializes ¡polylog ¡idenWWes ¡ Li 2 ( x ) + Li 2 ( − x ) = 1 2 Li 2 ( x 2 ) − (1 − x ) ⊗ x − (1 + x ) ⊗ ( − x ) = − (1 − x 2 ) ⊗ x = − 1 2 (1 − x 2 ) ⊗ x 2

Symbol ¡ ¡ ¡ B 2 ∧ B 2 ¡ ¡ ¡ • AnWsymmetrize ¡symbol ¡ ¡ ¡ a ⊗ b ⊗ c ⊗ d → ( a ∧ b ) ∧ ( c ∧ d ) ¡ • Theorem. ¡FuncWon ¡is ¡a ¡classical ¡polylog ¡iff ¡this ¡is ¡ zero. ¡[Goncharov] ¡ ¡ This ¡object ¡is ¡an ¡element ¡of ¡Bloch ¡group ¡ B 2 ∧ B 2 ¡

Symbol ¡ ¡ B 3 ⊗ C ∗ • Recall ¡operators ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡which ¡annihilate ¡products ¡ ρ n of ¡lower-­‑weight ¡funcWons. ¡ ρ 1 = id , ρ n ( a 1 ⊗ · · · ⊗ a n ) = ρ n − 1 ( a 1 ⊗ · · · ⊗ a n − 1 ) ⊗ a n − ρ n − 1 ( a 2 ⊗ · · · ⊗ a n ) ⊗ a 1 . • Given ¡a ¡weight ¡4 ¡polylog, ¡use ¡this ¡map ¡as ¡follows ¡ ⌃ δ ( a 1 ⇤ a 2 ⇤ a 3 ⇤ a 4 ) | Λ 2 B 2 = ρ ( a 1 ⇤ a 2 ) ρ ( a 3 ⇤ a 4 ) , ⇤ ⇤ δ ( a 1 ⇤ a 2 ⇤ a 3 ⇤ a 4 ) | B 3 ⊗ C ∗ = ρ ( a 1 ⇤ a 2 ⇤ a 3 ) a 4 � ρ ( a 2 ⇤ a 3 ⇤ a 4 ) a 1 .

Examples ¡ (1 + x ) ⌅ x δ Li 4 ( x ) | Λ 2 B 2 = 0 , � ¡ k = 2 , δ { x } k = ⇥ x δ Li 4 ( x ) | B 3 ⊗ C ∗ = � { � x } 3 ⇤ x, { x } k − 1 k > 2 . Elements of B k are finite linear combinations of { x } k ( y − 1) ⊗ ( x − 1) ⊗ x ⊗ y + ( y − 1) ⊗ ( x − 1) ⊗ y ⊗ x + ( y − 1) ⊗ y ⊗ ( x − 1) ⊗ x − ( xy − 1) ⊗ ( x − 1) ⊗ x ⊗ y − x n y m ( xy − 1) ⊗ ( x − 1) ⊗ y ⊗ x − ( xy − 1) ⊗ x ⊗ ( x − 1) ⊗ x + X Symbol[ Li 2 , 2 ( x, y ) = m 2 ] = ( xy − 1) ⊗ x ⊗ x ⊗ x + ( xy − 1) ⊗ x ⊗ x ⊗ y + n 2 0 <n<m ( xy − 1) ⊗ x ⊗ ( y − 1) ⊗ y + ( xy − 1) ⊗ x ⊗ y ⊗ x + ( xy − 1) ⊗ ( y − 1) ⊗ x ⊗ y + ( xy − 1) ⊗ ( y − 1) ⊗ y ⊗ x − And coproduct: ( xy − 1) ⊗ y ⊗ ( x − 1) ⊗ x + ( xy − 1) ⊗ y ⊗ x ⊗ x + ( xy − 1) ⊗ y ⊗ ( y − 1) ⊗ y. δ Li 2 , 2 ( x, y ) | B 2 ∧ B 2 = { − y } 2 ∧ { − x } 2 − { − xy } 2 ∧ { − x } 2 + { − xy } 2 ∧ { − y } 2 , δ Li 2 , 2 ( x, y ) | B 3 ⊗ C ∗ = { − x } 3 ⊗ y − 2 { − x } 3 ⊗ ( xy − 1) − { − y } 3 ⊗ x + 2 { − y } 3 ⊗ ( xy − 1) ⇢ 1 − x ⇢ 1 − y � � ⇢ � xy ⊗ x + ⊗ y − { xy − 1 } 3 ⊗ y − − ⊗ x xy − 1 xy − 1 1 − xy 3 3 3 ⇢ x (1 − y ) � ⇢ (1 − x ) y � ⊗ y + ⊗ x + { x − 1 } 3 ⊗ x − { y − 1 } 3 ⊗ y − xy − 1 xy − 1 3 3