Generalized p-angula/ons in higher dimension Luca Lionni - PowerPoint PPT Presentation

Generalized ¡p-­‑angula/ons ¡in ¡ higher ¡dimension ¡ Luca ¡Lionni ¡ Paris-­‑Sud ¡(LPT) ¡& ¡Paris ¡13 ¡(LIPN) ¡ ¡ Aléa ¡– ¡Marseille ¡– ¡23/03/2017 ¡

1 ¡– ¡Mo/va/on ¡and ¡main ¡ideas ¡ ¡ ¡ ¡ 2 ¡– ¡Colored ¡triangula/ons ¡and ¡edge-­‑colored ¡graphs ¡ ¡ ¡ 3 ¡– ¡Generalized ¡p-­‑angula/ons ¡ ¡ ¡ 4 ¡– ¡Quadrangula/ons ¡in ¡4D ¡ ¡ ¡ 5 ¡– ¡Gluings ¡of ¡octahedra ¡

1 ¡– ¡Mo/va/on ¡and ¡main ¡ideas ¡

1 ¡– ¡Mo/va/on ¡and ¡main ¡ideas ¡ Mo/va/on ¡: ¡quantum ¡gravity ¡ Einstein-­‑Hilbert ¡par//on ¡func/on ¡for ¡Euclidean ¡pure ¡gravity ¡in ¡dimension ¡D ¡ Z 2 κ R ) = d D x √ R | g | (2 Λ − 1 λ n D N n D − 2 − an D X Z ( λ , N ) = D [ g ] e − M T connected triangulation # ¡of ¡D ¡simplices ¡ # ¡of ¡D-­‑2 ¡simplices ¡

1 ¡– ¡Mo/va/on ¡and ¡main ¡ideas ¡ Mo/va/on ¡: ¡quantum ¡gravity ¡ Einstein-­‑Hilbert ¡par//on ¡func/on ¡for ¡Euclidean ¡pure ¡gravity ¡in ¡dimension ¡D ¡ Z 2 κ R ) = d D x √ R | g | (2 Λ − 1 λ n D N n D − 2 − an D X Z ( λ , N ) = D [ g ] e − M T connected triangulation Allow ¡topology ¡fluctua/ons ¡-­‑> ¡non-­‑classical ¡

1 ¡– ¡Mo/va/on ¡and ¡main ¡ideas ¡ Mo/va/on ¡: ¡quantum ¡gravity ¡ Einstein-­‑Hilbert ¡par//on ¡func/on ¡for ¡Euclidean ¡pure ¡gravity ¡in ¡dimension ¡D ¡ Z 2 κ R ) = d D x √ R | g | (2 Λ − 1 λ n D N n D − 2 − an D X Z ( λ , N ) = D [ g ] e − M T connected triangulation Allow ¡topology ¡fluctua/ons ¡-­‑> ¡non-­‑classical ¡ • Large ¡N ¡limit ¡ ¡(physical ¡limit ¡of ¡small ¡Newton ¡constant) ¡ ¡: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡configura/ons ¡which ¡maximize ¡ ¡ ¡ ¡ • ¡ ¡ ¡ ¡ ¡: ¡ ¡ ¡ ¡Con/nuum ¡limit ¡ ¡ à ¡ ¡ ¡quantum ¡space-­‑/me ¡ ¡ Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur manque peut-être de mémoire pour ouvrir l'image ou l'image est endommagée. Redémarrez

1 ¡– ¡Mo/va/on ¡and ¡main ¡ideas ¡ D=2 ¡ : ¡ con/nuum ¡limit ¡= ¡Brownian ¡map ¡ ¡ Hausdorff ¡dimension ¡4, ¡homeomorphic ¡to ¡S 2 , ¡ ¡ ¡ Quantum ¡sphere ¡of ¡Liouville ¡quantum ¡gravity ¡ (Miller, ¡Sheffield, ¡2016) ¡ ¡ ¡ Fig ¡: ¡J. ¡Beenelli ¡

1 ¡– ¡Mo/va/on ¡and ¡main ¡ideas ¡ D>2 ¡ : ¡ ¡Basic ¡idea ¡ ¡ Glue ¡building ¡blocks ¡together ¡ • “Quanta ¡of ¡space-­‑/me” ¡

D>2 ¡ : ¡ ¡Main ¡ideas ¡ Iden/fy ¡configura/ons ¡which ¡maximize ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡at ¡fix ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ • n D − 2 n D

D>2 ¡ : ¡ ¡Main ¡ideas ¡ Iden/fy ¡configura/ons ¡which ¡maximize ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡at ¡fix ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ • n D − 2 n D n D − 2 ≤ D + D ( D − 1) Gurau’s ¡theorem ¡: ¡ ¡ • n D 4 ¡

D>2 ¡ : ¡ ¡Main ¡ideas ¡ Iden/fy ¡configura/ons ¡which ¡maximize ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡at ¡fix ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ • n D − 2 n D n D − 2 ≤ D + D ( D − 1) Gurau’s ¡theorem ¡: ¡ ¡ • n D 4 ¡ n D − 2 = D + a n D In ¡known ¡cases, ¡max. ¡configura/ons ¡verify ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ • ¡ ¡ a ≤ D ( D − 1) with ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡( ¡“ ¡< ¡“ ¡for ¡interes/ng ¡cases ¡) ¡ 4 ¡ ¡ ¡ ¡find ¡the ¡coefficient ¡a ¡? ¡what ¡is ¡their ¡topology ¡? ¡ à ¡

D>2 ¡ : ¡ ¡Main ¡ideas ¡ Iden/fy ¡configura/ons ¡which ¡maximize ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡at ¡fix ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ • n D − 2 n D n D − 2 ≤ D + D ( D − 1) Gurau’s ¡theorem ¡: ¡ ¡ • n D 4 ¡ n D − 2 = D + a n D In ¡known ¡cases, ¡max. ¡configura/ons ¡verify ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ • ¡ ¡ a ≤ D ( D − 1) with ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡( ¡“ ¡< ¡“ ¡for ¡interes/ng ¡cases ¡) ¡ 4 ¡ ¡ ¡ ¡find ¡the ¡coefficient ¡a ¡? ¡what ¡is ¡their ¡topology ¡? ¡ à ¡ Count ¡maximal ¡configura/ons ¡: ¡ ¡genera/ng ¡func/on ¡has ¡a ¡singularity ¡ • ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ à ¡con/nuum ¡limit ¡ à ¡space-­‑/me ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡cri5cal ¡exponent ¡? ¡… ¡Hausdorff ¡dimension ¡? ¡Fractal ¡dimension ¡? ¡Etc. ¡ à

2 ¡– ¡Colored ¡triangula/ons ¡and ¡edge-­‑colored ¡graphs ¡

2 ¡– ¡Colored ¡triangula/ons ¡and ¡edge-­‑colored ¡graphs ¡ Simplicial ¡pseudo-­‑complexes ¡obtained ¡by ¡gluing ¡D-­‑simplices ¡ ¡ Colored ¡faces ¡(D-­‑1 ¡simplices) ¡are ¡glued ¡in ¡a ¡ unique ¡way ¡ : ¡ ¡ with ¡matching ¡colors ¡on ¡their ¡sub-­‑simplices ¡

2 ¡– ¡Colored ¡triangula/ons ¡and ¡edge-­‑colored ¡graphs ¡ 1 2 1 D-­‑simplices ¡are ¡represented ¡by ¡ ¡ (D+1)-­‑valent ¡ver/ces ¡ ¡ The ¡colored ¡faces ¡are ¡dual ¡to ¡colored ¡ 3 edges ¡ ¡ 0 ¡ 3 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

2 ¡– ¡Colored ¡triangula/ons ¡and ¡edge-­‑colored ¡graphs ¡ 1 2 1 D-­‑simplices ¡are ¡represented ¡by ¡ ¡ (D+1)-­‑valent ¡ver/ces ¡ ¡ The ¡colored ¡faces ¡are ¡dual ¡to ¡colored ¡ 3 edges ¡ 0 ¡ Black ¡vertex ¡/ ¡white ¡vertex ¡: ¡opposite ¡ 3 ordering ¡of ¡colors ¡around ¡faces ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

2 ¡– ¡Colored ¡triangula/ons ¡and ¡edge-­‑colored ¡graphs ¡ A ¡color-­‑ i ¡ edge ¡encodes ¡the ¡gluing ¡of ¡two ¡color-­‑ i ¡ ¡“faces” ¡(D-­‑1 ¡ simplices) ¡in ¡the ¡ unique ¡ possible ¡way ¡ 1 1 2 2 1 1 3 0 0 3 3

2 ¡– ¡Colored ¡triangula/ons ¡and ¡edge-­‑colored ¡graphs ¡ 3D ¡triangula/on ¡ with ¡boundary ¡: ¡ An ¡octahedron, ¡ or ¡bipyramid… ¡ ¡

2 ¡– ¡Colored ¡triangula/ons ¡and ¡edge-­‑colored ¡graphs ¡ 0 0 3 0 2 1 2 3 1 1 3 0 2 0 2 1 3 0 0

2 ¡– ¡Colored ¡triangula/ons ¡and ¡edge-­‑colored ¡graphs ¡ 0 0 3 0 2 1 2 3 1 1 3 0 2 0 2 1 3 0 0

2 ¡– ¡Colored ¡triangula/ons ¡and ¡edge-­‑colored ¡graphs ¡ 0 0 3 2 3 2 0 0 1 1 1 1 0 0 3 2 2 3 0 0

2 ¡– ¡Colored ¡triangula/ons ¡and ¡edge-­‑colored ¡graphs ¡ 3 2 3 2 0 1 1 0 0 1 1 0 3 2 2 3 D-­‑dimensional ¡colored ¡ Regular ¡bipar/te ¡(D+1)-­‑edge-­‑ triangula/on ¡of ¡an ¡orientable ¡ colored ¡graph ¡ pseudo-­‑manifold ¡ ( ¡Pezzana, ¡Ferri, ¡Gagliardi, ¡Casali, ¡Grasselli, ¡Cristofori… ¡‘74 ¡un/l ¡now ¡) ¡

2 ¡– ¡Colored ¡triangula/ons ¡and ¡edge-­‑colored ¡graphs ¡ Dic,onary ¡: ¡ ¡ 3 2 3 2 ¡ ¡triangula,on ¡ ¡<-­‑> ¡ ¡ ¡dual ¡graph ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 0 1 1 0 0 1 1 0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡D-­‑simplex ¡ ¡ ¡ ¡<-­‑> ¡ ¡ ¡vertex ¡ ¡ ¡(D-­‑1) ¡simplex ¡ ¡ ¡<-­‑> ¡ ¡ ¡ ¡edge ¡ 3 ¡ 2 2 3 (D-­‑2) ¡simplex ¡ ¡ ¡ ¡<-­‑> ¡ ¡ ¡ ¡two-­‑colored ¡cycle ¡ ¡ (D-­‑k) ¡simplex ¡ ¡ ¡ ¡<-­‑> ¡ ¡ ¡ ¡sub-­‑graph ¡with ¡k ¡colors ¡only ¡ ¡ ¡

2 ¡– ¡Colored ¡triangula/ons ¡and ¡edge-­‑colored ¡graphs ¡ Dic,onary ¡: ¡ ¡ 3 2 3 2 ¡ ¡triangula,on ¡ ¡<-­‑> ¡ ¡ ¡dual ¡graph ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 0 1 1 0 0 1 1 0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡D-­‑simplex ¡ ¡ ¡ ¡<-­‑> ¡ ¡ ¡vertex ¡ ¡ ¡(D-­‑1) ¡simplex ¡ ¡ ¡<-­‑> ¡ ¡ ¡ ¡edge ¡ 3 ¡ 2 2 3 (D-­‑2) ¡simplex ¡ ¡ ¡ ¡<-­‑> ¡ ¡ ¡ ¡two-­‑colored ¡cycle ¡ ¡ Edges ¡of ¡the ¡ (D-­‑k) ¡simplex ¡ ¡ ¡ ¡<-­‑> ¡ ¡ ¡ ¡sub-­‑graph ¡with ¡k ¡colors ¡only ¡ triangula/on ¡ ¡ ¡