Further Improvement in Approximating the Maximum - PowerPoint PPT Presentation

Further ¡Improvement ¡in ¡Approximating ¡the ¡ Maximum ¡Duo-­‑Preservation ¡String ¡ Mapping ¡Problem ¡ Brian ¡Brubach ¡ University ¡of ¡Maryland, ¡College ¡Park ¡ 16 th ¡Workshop ¡on ¡Algorithms ¡in ¡BioinformaAcs ¡– ¡WABI ¡2016 ¡

Nicknames ¡ • Maximum ¡Duo-­‑preservaAon ¡String ¡Mapping ¡ problem ¡(MPSM) ¡ – Duo-­‑preservaAon ¡problem ¡ • Minimum ¡Common ¡String ¡ParAAon ¡problem ¡ (MCSP) ¡ – String ¡ParAAon ¡problem ¡ • The ¡aroncyms ¡for ¡tehse ¡plorebms ¡are ¡aslo ¡ hrad ¡to ¡tlel ¡arapt ¡ – Yuor ¡bairn ¡can ¡slove ¡tshee ¡pbroelms ¡

Motivations ¡ • Comparing ¡biological ¡sequences ¡which ¡differ ¡ due ¡to ¡some ¡process ¡of ¡rearrangements ¡ • A ¡Linear ¡Time ¡Approxima.on ¡Algorithm ¡for ¡ the ¡DCJ ¡Distance ¡for ¡Genomes ¡with ¡Bounded ¡ Number ¡of ¡Duplicates ¡ – Rubert, ¡Feijão, ¡Braga, ¡Stoye, ¡MarAnez ¡(WABI ¡‘16) ¡ – UAlizes ¡an ¡approximaAon ¡algorithm ¡for ¡MCSP ¡ • Data ¡compression ¡of ¡similar ¡strings ¡using ¡ rearrangements ¡

Max ¡Duo-­‑preservation ¡String ¡ Mapping ¡Problem ¡(MPSM) ¡ • Input: ¡two ¡strings ¡which ¡are ¡permutaAons ¡of ¡each ¡other ¡ A: ¡ a ¡ b ¡ c ¡ d ¡ d ¡ c ¡ b ¡ a ¡ B: ¡ b ¡ c ¡ a ¡ d ¡ d ¡ c ¡ a ¡ b ¡

Max ¡Duo-­‑preservation ¡String ¡ Mapping ¡Problem ¡(MPSM) ¡ • Input: ¡two ¡strings ¡which ¡are ¡permutaAons ¡of ¡each ¡other ¡ • Goal: ¡a ¡one-­‑to-­‑one ¡mapping ¡that ¡preserves ¡the ¡maximum ¡ number ¡of ¡duos ¡ A: ¡ a ¡ b ¡ c ¡ d ¡ d ¡ c ¡ b ¡ a ¡ B: ¡ b ¡ c ¡ a ¡ d ¡ d ¡ c ¡ a ¡ b ¡

Max ¡Duo-­‑preservation ¡String ¡ Mapping ¡Problem ¡(MPSM) ¡ • Input: ¡two ¡strings ¡which ¡are ¡permutaAons ¡of ¡each ¡other ¡ • Goal: ¡a ¡one-­‑to-­‑one ¡mapping ¡that ¡preserves ¡the ¡maximum ¡ number ¡of ¡duos ¡ • A ¡duo ¡is ¡a ¡pair ¡of ¡consecuAve ¡leYers ¡in ¡a ¡string ¡ A: ¡ a ¡ b ¡ c ¡ d ¡ d ¡ c ¡ b ¡ a ¡ B: ¡ b ¡ c ¡ a ¡ d ¡ d ¡ c ¡ a ¡ b ¡

Max ¡Duo-­‑preservation ¡String ¡ Mapping ¡Problem ¡(MPSM) ¡ • Input: ¡two ¡strings ¡which ¡are ¡permutaAons ¡of ¡each ¡other ¡ • Goal: ¡a ¡one-­‑to-­‑one ¡mapping ¡that ¡preserves ¡the ¡maximum ¡ number ¡of ¡duos ¡ • A ¡duo ¡is ¡a ¡pair ¡of ¡consecuAve ¡leYers ¡in ¡a ¡string ¡ • A ¡duo ¡is ¡preserved ¡if ¡it’s ¡leYers ¡are ¡mapped ¡to ¡some ¡idenAcal ¡ duo ¡in ¡the ¡other ¡string ¡ 3 ¡duos ¡preserved ¡ A: ¡ a ¡ b ¡ c ¡ d ¡ d ¡ c ¡ b ¡ a ¡ B: ¡ b ¡ c ¡ a ¡ d ¡ d ¡ c ¡ a ¡ b ¡

Max ¡Duo-­‑preservation ¡String ¡ Mapping ¡Problem ¡(MPSM) ¡ • Complement ¡of ¡the ¡well-­‑studied ¡Minimum ¡Common ¡String ¡ ParAAon ¡problem ¡(MCSP) ¡ 3 ¡duos ¡preserved ¡ A: ¡ a ¡ b ¡ c ¡ d ¡ d ¡ c ¡ b ¡ a ¡ B: ¡ b ¡ c ¡ a ¡ d ¡ d ¡ c ¡ a ¡ b ¡

Max ¡Duo-­‑preservation ¡String ¡ Mapping ¡Problem ¡(MPSM) ¡ • Complement ¡of ¡the ¡well-­‑studied ¡Minimum ¡Common ¡String ¡ ParAAon ¡problem ¡(MCSP) ¡ – Separate ¡the ¡strings ¡into ¡idenAcal ¡parAAons ¡of ¡min ¡cardinality ¡ 5 ¡substrings ¡ 3 ¡duos ¡preserved ¡ A: ¡ a ¡ b ¡ c ¡ d ¡ d ¡ c ¡ b ¡ a ¡ B: ¡ b ¡ c ¡ a ¡ d ¡ d ¡ c ¡ a ¡ b ¡

Max ¡Duo-­‑preservation ¡String ¡ Mapping ¡Problem ¡(MPSM) ¡ • Complement ¡of ¡the ¡well-­‑studied ¡Minimum ¡Common ¡String ¡ ParAAon ¡problem ¡(MCSP) ¡ – Separate ¡the ¡strings ¡into ¡idenAcal ¡parAAons ¡of ¡min ¡cardinality ¡ 5 ¡+ ¡3 ¡= ¡length ¡ 5 ¡substrings ¡ 3 ¡duos ¡preserved ¡ A: ¡ a ¡ b ¡ c ¡ d ¡ d ¡ c ¡ b ¡ a ¡ B: ¡ b ¡ c ¡ a ¡ d ¡ d ¡ c ¡ a ¡ b ¡

Max ¡Duo-­‑preservation ¡String ¡ Mapping ¡Problem ¡(MPSM) ¡ • Complement ¡of ¡the ¡well-­‑studied ¡Minimum ¡Common ¡String ¡ ParAAon ¡problem ¡(MCSP) ¡ – Separate ¡the ¡strings ¡into ¡idenAcal ¡parAAons ¡of ¡min ¡cardinality ¡ • In ¡the ¡ k -­‑MPSM ¡and ¡ k -­‑MCSP ¡problems, ¡each ¡leYer ¡occurs ¡at ¡ most ¡ k ¡Ames ¡in ¡each ¡string ¡ 5 ¡+ ¡3 ¡= ¡length ¡ 5 ¡substrings ¡ 3 ¡duos ¡preserved ¡ A: ¡ a ¡ b ¡ c ¡ d ¡ d ¡ c ¡ b ¡ a ¡ B: ¡ b ¡ c ¡ a ¡ d ¡ d ¡ c ¡ a ¡ b ¡

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Hardness ¡ • 2-­‑MCSP ¡is ¡NP-­‑hard ¡and ¡APX-­‑hard ¡ – Goldstein, ¡Kolman, ¡and ¡Zheng ¡(2004) ¡ – Implies ¡Duo-­‑preservaAon ¡is ¡also ¡NP-­‑hard ¡ • 2-­‑MPSM ¡is ¡APX-­‑hard ¡ – Boria, ¡Kurpisz, ¡Leppänen, ¡and ¡Mastrolilli ¡(2014) ¡

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Duo ¡Mapping ¡and ¡ConFlicts ¡ • Consider ¡a ¡biparAte ¡graph ¡on ¡duos ¡ – Add ¡edges ¡between ¡idenAcal ¡duos ¡ – Max ¡matching ¡is ¡upper ¡bound ¡on ¡max ¡duo-­‑preservaAon ¡ ta ¡ at ¡ tc ¡ ct ¡ aa ¡ t ¡ c ¡ t ¡ A: ¡ a ¡ a ¡ a ¡ t ¡ B: ¡ a ¡ t ¡ a ¡ a ¡ c ¡ at ¡ at ¡ ta ¡ aa ¡ tc ¡

Duo ¡Mapping ¡and ¡ConFlicts ¡ • Consider ¡a ¡biparAte ¡graph ¡on ¡duos ¡ – Add ¡edges ¡between ¡idenAcal ¡duos ¡ – Max ¡matching ¡is ¡upper ¡bound ¡on ¡max ¡duo-­‑preservaAon ¡ • Two ¡types ¡of ¡conflicts: ¡ ta ¡ at ¡ tc ¡ ct ¡ aa ¡ t ¡ c ¡ t ¡ A: ¡ a ¡ a ¡ a ¡ t ¡ B: ¡ a ¡ t ¡ a ¡ a ¡ c ¡ at ¡ at ¡ ta ¡ aa ¡ tc ¡

Duo ¡Mapping ¡and ¡ConFlicts ¡ • Consider ¡a ¡biparAte ¡graph ¡on ¡duos ¡ – Add ¡edges ¡between ¡idenAcal ¡duos ¡ – Max ¡matching ¡is ¡upper ¡bound ¡on ¡max ¡duo-­‑preservaAon ¡ • Two ¡types ¡of ¡conflicts: ¡ – Type ¡1: ¡two ¡edges ¡to ¡the ¡same ¡duo ¡ ta ¡ at ¡ tc ¡ ct ¡ aa ¡ t ¡ c ¡ t ¡ A: ¡ a ¡ a ¡ a ¡ t ¡ B: ¡ a ¡ t ¡ a ¡ a ¡ c ¡ at ¡ at ¡ ta ¡ aa ¡ tc ¡

Duo ¡Mapping ¡and ¡ConFlicts ¡ • Consider ¡a ¡biparAte ¡graph ¡on ¡duos ¡ – Add ¡edges ¡between ¡idenAcal ¡duos ¡ – Max ¡matching ¡is ¡upper ¡bound ¡on ¡max ¡duo-­‑preservaAon ¡ • Two ¡types ¡of ¡conflicts: ¡ – Type ¡1: ¡two ¡edges ¡to ¡the ¡same ¡duo ¡ – Type ¡2: ¡from ¡consecuAve ¡duos ¡to ¡non-­‑consecuAve ¡duos ¡ ta ¡ at ¡ tc ¡ ct ¡ aa ¡ t ¡ c ¡ t ¡ A: ¡ a ¡ a ¡ a ¡ t ¡ B: ¡ a ¡ t ¡ a ¡ a ¡ c ¡ at ¡ at ¡ ta ¡ aa ¡ tc ¡

Main ¡Contributions ¡ • New ¡way ¡to ¡construct ¡a ¡duo ¡matching ¡ – First ¡find ¡weighted ¡matching ¡on ¡triplets ¡ – Translate ¡to ¡a ¡fracAonal ¡duo ¡matching ¡ – Gives ¡a ¡Aghter ¡upper ¡bound ¡ • New ¡method ¡for ¡resolving ¡conflicts ¡ – Based ¡on ¡local ¡graph ¡structures ¡