Einstein-Podolsky-Rosen steering provides the advantage in - PowerPoint PPT Presentation

Einstein-­‑Podolsky-­‑Rosen ¡steering ¡provides ¡ the ¡advantage ¡in ¡entanglement-­‑assisted ¡ subchannel ¡discrimina:on ¡with ¡one-­‑way ¡ measurements ¡ ¡ Marco ¡Piani ¡ Joint ¡work ¡with ¡John ¡Watrous, ¡arXiv:1406.0530, ¡PRL ¡to ¡appear ¡ ¡ QIP ¡2015, ¡Sydney ¡

“All ¡entangled ¡states ¡are ¡special, ¡ but ¡some ¡are ¡more ¡special ¡than ¡others” ¡ George ¡Qrwell, ¡ Entanglement ¡farm ¡

Goals: ¡ ¡ To ¡understand ¡quantum ¡correlaQons ¡ • To ¡facilitate ¡their ¡exploitaQon ¡ • How: ¡ ¡ OperaQonal ¡characterizaQon ¡ considering ¡their ¡usefulness ¡in ¡the ¡discriminaQon ¡ of ¡physical ¡processes ¡

or ¡ iniQal ¡state ¡ physical ¡process ¡/ ¡ transformaQon ¡ final ¡state ¡

We ¡will ¡consider ¡channel ¡with ¡ ˆ Λ [ˆ ρ ] subchannels ¡(a.k.a. ¡instrument) ¡ X ˆ Λ = Λ a Λ 0 [ˆ ρ ] a ˆ ρ Λ 0 Λ 1 [ˆ ρ ] Λ 1 Λ 2 Λ 2 [ˆ ρ ] Λ a : ¡ sub channel, ¡i.e. ¡completely ¡posiQve ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ trace-­‑non-­‑increasing ¡linear ¡map ¡

Includes ¡standard ¡channel ¡discriminaQon ¡ X ˆ Λ a = p a ˆ Λ = Λ a Λ a a Λ = 1 Λ 0 + 1 ˆ ˆ ˆ E.g.: ¡ Λ 1 2 2 but ¡is ¡more ¡general... ¡

EXAMPLE: ¡ “Branches” ¡of ¡the ¡ amplitude ¡damping ¡channel ¡ ˆ Λ = Λ 0 + Λ 1 ρ K † Λ i [ˆ ρ ] = K i ˆ i p K 0 = | 0 ih 0 | + 1 � γ | 1 ih 1 | K 1 = p γ | 0 ih 1 |

Task: ¡ minimum-­‑error ¡subchannel ¡discrimina:on ¡ Which ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡? ¡ Λ a transformaQon/ evoluQon ¡ { Λ a } a (instrument) ¡

a iniQal ¡state ¡ transformaQon/ evoluQon ¡ { Λ a } a ˆ ρ (instrument) ¡

p ( b, a | ρ ) = Tr( Q b Λ a [ ρ ]) b a iniQal ¡state ¡ transformaQon/ measurement ¡ evoluQon ¡ { Λ a } a { Q b } b ˆ ρ (instrument) ¡ (POVM) ¡

Want ¡to ¡opQmize ¡the ¡ probability ¡of ¡guessing ¡correctly ¡ ¡ X p corr ( { Λ a } a , { Q b } b , ˆ ρ ) = p ( b, a | ˆ ρ ) δ a,b a,b X = Tr( Q a Λ a [ˆ ρ ]) a same ¡ index ¡

OpQmal ¡probability ¡of ¡guessing ¡with ¡given ¡input ¡ p corr ( { Λ a } a , ρ ) := max { Q b } b p corr ( { Λ a } a , { Q b } b , ρ ) OpQmal ¡probability ¡of ¡guessing ¡with ¡opQmal ¡input ¡ N o ¡E ntanglement ¡ p NE corr ( { Λ a } a ) := max p corr ( { Λ a } a , ρ ) ρ

probe ¡ a ncilla ¡ (a.k.a. ¡Bob, ¡ (a.k.a. ¡ A lice, ¡ a.k.a. ¡Mario) ¡ a.k.a. ¡Luigi) ¡ ¡

entangled ¡probe ¡and ¡ancilla ¡ X ρ ent ˆ AB 6 = p ( λ )ˆ σ A ( λ ) ⌦ ˆ σ B ( λ ) λ σ sep separable/unentangled ¡ ˆ AB

OpQmal ¡probability ¡of ¡guessing ¡with ¡opQmal ¡input, ¡ including ¡the ¡possibility ¡of ¡using ¡entanglement ¡ E ntanglement ¡ p E ancilla A p NE corr ( { Λ a } a ) := max corr ( { Λ a ⊗ id A } a ) ancilla ¡does ¡ not ¡evolve ¡

There ¡are ¡evoluQons ¡that ¡are ¡ be>er ¡disQnguished ¡by ¡ the ¡use ¡of ¡entanglement ¡ p E corr ( { Λ a } a ) > p NE corr ( { Λ a } a ) [Kitaev, ¡Russ. ¡Math. ¡Surv. ¡’97; ¡Paulsen, ¡ Completely ¡bounded ¡maps ¡and ¡ opeator ¡algebras, ¡ ‘02; ¡many ¡others…] ¡ ¡

There ¡are ¡evoluQons ¡that ¡are ¡ be>er ¡disQnguished ¡by ¡ the ¡use ¡of ¡entanglement ¡ p E corr ( { Λ a } a ) > p NE corr ( { Λ a } a ) [Kitaev, ¡Russ. ¡Math. ¡Surv. ¡’97; ¡Paulsen, ¡ Completely ¡bounded ¡maps ¡and ¡ opeator ¡algebras, ¡ ‘02; ¡many ¡others…] ¡ ¡ REMARK: ¡ The ¡classical ¡correlaQons ¡of ¡ unentangled ¡states ¡are ¡ useless ! ¡

There ¡are ¡evoluQons ¡that ¡are ¡ be>er ¡disQnguished ¡by ¡ the ¡use ¡of ¡entanglement ¡ MOREOVER ¡ For ¡ any ¡probe-­‑ancilla ¡entangled ¡state, ¡there ¡is ¡a ¡choice ¡ of ¡evoluQons ¡that ¡are ¡bejer ¡disQnguished ¡using ¡that ¡ entangled ¡state ¡ ρ ent ρ ent > p NE ρ ent p corr ( { Λ a (ˆ AB ) } a , ˆ AB ) corr ( { Λ a (ˆ AB ) } a ) [P. ¡and ¡Watrous, ¡PRL ¡‘09] ¡

There ¡are ¡evoluQons ¡that ¡are ¡ be>er ¡disQnguished ¡by ¡ the ¡use ¡of ¡entanglement ¡ MOREOVER ¡ For ¡ any ¡probe-­‑ancilla ¡entangled ¡state, ¡there ¡is ¡a ¡choice ¡ of ¡evoluQons ¡that ¡are ¡bejer ¡disQnguished ¡using ¡that ¡ entangled ¡state ¡ Every ¡entangled ¡state ¡is ¡useful ¡for ¡(sub)channel ¡ discrimina:on ¡

resource! ¡

the ¡only ¡resource? ¡ resource? ¡

RESOURCE!!! ¡ [Majhews, ¡P. ¡and ¡Watrous, ¡PRA ¡’10] ¡

Does ¡every ¡entangled ¡state ¡ stay ¡useful ¡in ¡this ¡scenario? ¡

MAIN ¡RESULTS ¡ If ¡measurements ¡are ¡restricted ¡to ¡one-­‑way ¡LOCC, ¡ only ¡ steerable ¡states ¡can ¡remain ¡useful ¡ If ¡measurements ¡are ¡restricted ¡to ¡one-­‑way ¡LOCC, ¡ all ¡steerable ¡states ¡do ¡remain ¡useful! ¡ Steerable? ¡ The ¡usefulness ¡of ¡a ¡probe-­‑ancilla ¡state ¡in ¡ one-­‑way-­‑LOCC ¡subchannel ¡discriminaQon ¡ quan:fies ¡ its ¡steerability ¡

Einstein ¡ Podolsky ¡ Rosen ¡ [see ¡above, ¡Phys. ¡Rev. ¡‘35] ¡ Schroedinger ¡ [Schroedinger, ¡Proc. ¡Camb. ¡Phil. ¡Soc. ¡’35, ¡’36] ¡

STEERING ¡ Alice ¡controls ¡the ¡ condi:onal ¡states ¡of ¡Bob ¡through ¡her ¡ choice ¡of ¡measurements ¡ POVM ¡ element ¡ ρ B a | x = Tr A ( M A a | x ρ AB ) outcome ¡of ¡ choice ¡of ¡ measurement ¡ measurement ¡

EXAMPLE ¡OF ¡STEERING ¡ | ψ − i = | 0 i | 1 i � | 1 i | 0 i ρ AB = | ψ − ih ψ − | AB p ˆ 2 M A a | 0 2 {| 0 ih 0 | , | 1 ih 1 |} ⇢ 1 � 2 | 1 ih 1 | , 1 ρ B a | 0 2 2 | 0 ih 0 | M A ensembles ¡ a | 1 2 {| + ih + | , | �ih� |} ⇢ 1 � 2 | �ih� | , 1 ρ B a | 1 2 2 | + ih + | assemblage ¡

When ¡is ¡steering ¡ really ¡quantum? ¡ (“spooky ¡acQon ¡at ¡a ¡distance”) ¡ Can ¡we ¡or ¡can ¡we ¡not ¡imagine ¡that ¡ ¡ B ¡was ¡in ¡some ¡pre-­‑exisQng ¡ local ¡hidden ¡state ? ¡ ¡

Local ¡hidden ¡state ¡model ¡ label ¡of ¡hidden ¡state ¡ σ B ( λ ) } { p ( λ ) , ˆ probability ¡ hidden ¡state ¡ distribuQon ¡on ¡ hidden ¡states ¡ condiQonal ¡ probability ¡ ρ B X = p ( a | x, λ ) p ( λ )ˆ σ ( λ ) a | x λ [Wiseman, ¡Jones, ¡Doherty, ¡PRL ¡‘07] ¡ ¡ ¡

Local ¡hidden ¡state ¡model ¡ label ¡of ¡hidden ¡state ¡ σ B ( λ ) } { p ( λ ) , ˆ probability ¡ hidden ¡state ¡ distribuQon ¡on ¡ hidden ¡states ¡ U n S teerable ¡(assemblage) ¡ ρ B, US X = p ( a | x, λ ) p ( λ )ˆ σ ( λ ) a | x λ X D ( a | x, λ ) p 0 ( λ )ˆ σ 0 ( λ ) = λ : determinisQc ¡ det. strat. strategy/response ¡ [Wiseman, ¡Jones, ¡Doherty, ¡PRL ¡‘07] ¡ ¡ ¡

Not ¡unsteerable ¡= ¡steerable ¡ A ¡biparQte ¡state ¡is ¡steerable ¡if ¡it ¡can ¡generate ¡ steerable ¡assemblages ¡via ¡local ¡measurements; ¡ otherwise ¡unsteerable ¡

All ¡unentangled ¡states ¡are ¡unsteerable , ¡and ¡all ¡ unsteerable ¡assemblages ¡can ¡be ¡seen ¡as ¡originaQng ¡ from ¡some ¡unentangled ¡state: ¡ steering ¡ entanglement ¡ Also ¡some ¡entangled ¡states ¡are ¡unsteerable!!! ¡ steering ¡ entanglement ¡ [Wiseman, ¡Jones, ¡Doherty, ¡PRL ¡‘07] ¡ ¡ ¡

A ¡hierarchy ¡for ¡ biparQte ¡correlaQons ¡

A ¡hierarchy ¡for ¡ biparQte ¡correlaQons ¡

A ¡hierarchy ¡for ¡ biparQte ¡correlaQons ¡

A ¡hierarchy ¡for ¡ biparQte ¡correlaQons ¡

The ¡border ¡we ¡characterize ¡ operaQonally ¡

{ N B { Λ a } a x } x ? ¡ ρ AB p B → A ˆ corr ( { Λ a } , ρ AB ) > p NE corr ( { Λ a } ) x { Q B → A { M A } b b | x } b,x b

In ¡order ¡to ¡have ¡ p B → A corr ( { Λ a } , ρ AB ) > p NE corr ( { Λ a } ) it ¡must ¡be ¡that ¡ ¡ { M A b | x } b,x creates ¡steerable ¡assemblage ¡ (otherwise ¡some ¡separable ¡state ¡would ¡have ¡performed ¡ as ¡well, ¡and ¡no ¡bejer ¡than ¡w/o ¡correlaQons) ¡