Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik Efficient Simulation of Convection Diffusion Equations Mario Ohlberger, Universit¨ at M¨ unster Computational Methods with Applications, Harrachov 2007 mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik Outline • Introduction • General concept for obtaining error control • Higher order DG for conservation laws • DUNE – adaptive and parallel programming • Application: Simulation of PEM fuel cells mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik Basic model problem: convection-diffusion equation ∂ t u + ∇ · F ( u ) − ∆ D ( u ) = 0 . accumulation convection diffusion Special interest: Convection dominated flow ( D ′ < < | F ′ | ). Goal: A posteriori error control and adaptivity! mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik Goal: A posteriori error estimates and adaptivity Situation: u exact solution, u h approximate solution. mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik Goal: A posteriori error estimates and adaptivity Situation: u exact solution, u h approximate solution. First step: A posterirori error estimate. || u − u h || 1 ≤ η ( u h ) . mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik Goal: A posteriori error estimates and adaptivity Situation: u exact solution, u h approximate solution. First step: A posterirori error estimate. || u − u h || 1 ≤ η ( u h ) . Second step: Definition of local error indicators. � η ( u h ) = η j ( u h ) . j mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik Goal: A posteriori error estimates and adaptivity Third step: Equidistribution strategy. Choose local mesh size such that all η j ( u h ) are approximately of the same size, and η ( u h ) ≤ TOL ! mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik Goal: A posteriori error estimates and adaptivity Third step: Equidistribution strategy. Choose local mesh size such that all η j ( u h ) are approximately of the same size, and η ( u h ) ≤ TOL ! This is done by the estimate–mark–adapt algorithm: η j ”estimate” mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik Goal: A posteriori error estimates and adaptivity Third step: Equidistribution strategy Choose local mesh size such that all η j ( u h ) are approximately of the same size, and η ( u h ) ≤ TOL ! This is done by the estimate–mark–adapt algorithm: ”mark” mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik Goal: A posteriori error estimates and adaptivity Third step: Equidistribution strategy Choose local mesh size such that all η j ( u h ) are approximately of the same size, and η ( u h ) ≤ TOL ! This is done by the estimate–mark–adapt algorithm: ”adapt” mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik General concept for obtaining error control ... (The hyperbolic case ( D ≡ 0) !) mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik Analytical framework: Entropy weak solution u is called an entropy weak solution of the conservation law, if u satisfies for all R d × I R + , I R + ): entropy pairs ( S, F S ), and for all φ ∈ C 1 0 (I � � � ( S ( u ) ∂ t φ + F S ( u ) · ∇ φ ) dt dx + S ( u 0 ) φ ( x, 0) dx ≥ 0 . R + R d R d I I I Recall that ( S, F S ) is called an entropy - entropy flux pair, iff S is convex and F ′ S = S ′ f ′ . mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik General concept for obtaining error control Entropy Residual R S ( v ) for any given approximation v : � � � R S ( v ) , φ � := R 2 × R + S ( v ) ∂ t φ + F S ( v ) · ∇ φ + R 2 S ( u 0 ) φ ( · , 0) . I I Fundamental error estimate: [Eymard, Gallou ¨ et, Ghilani, Herbin ’98], [Chainais-Hillairet ’99] Let S ( u ) := | u − κ | be the Kruzkov entropy. Suppose that for v there exist R d × I R + ) and ν v ∈ M (I R d ) independent of κ such that measures µ v ∈ M (I � R S ( v ) , φ � ≥ − ( �| ∂ t φ | + |∇ φ | , µ v � + �| φ ( · , 0) | , ν v � ) . mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik General concept for obtaining error control Entropy Residual R S ( v ) for any given approximation v : � � � R S ( v ) , φ � := R 2 × R + S ( v ) ∂ t φ + F S ( v ) · ∇ φ + R 2 S ( u 0 ) φ ( · , 0) . I I Fundamental error estimate: [Eymard, Gallou ¨ et, Ghilani, Herbin ’98], [Chainais-Hillairet ’99] Let S ( u ) := | u − κ | be the Kruzkov entropy. Suppose that for v there exist R d × I R + ) and ν v ∈ M (I R d ) independent of κ such that measures µ v ∈ M (I � R S ( v ) , φ � ≥ − ( �| ∂ t φ | + |∇ φ | , µ v � + �| φ ( · , 0) | , ν v � ) . Then the following error estimate holds: � || u − v || L 1 ( K ) ≤ T ( ν v ( B R + δ ( x 0 )) + C 1 µ v ( D δ ) + C 2 µ v ( D δ )) . mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik General concept for obtaining error control � || u − v || L 1 ( K ) ≤ T ( ν v ( B R + δ ( x 0 )) + C 1 µ v ( D δ ) + C 2 µ v ( D δ )) . Cone of dependence D δ : t T slope ω K y for details see also x 0 R [Kr¨ oner, Ohlberger ’00] x mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik A posteriori results in this context 1) Hyperbolic conservation laws: 1995 Cockburn, Gau: Finite volume schemes; 2000 Kr¨ oner, Ohlberger: 2000 Gosse, Makridakis: Relaxation schemes; 2003 K¨ uther, Ohlberger: Central staggered schemes; 2006 Ohlberger, Vovelle: Boundary value problems; 2007 Dedner, Makridakis, Ohlberger: Discontinuous Galerkin; mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik A posteriori results in this context 1) Hyperbolic conservation laws: 1995 Cockburn, Gau: Finite volume schemes; 2000 Kr¨ oner, Ohlberger: 2000 Gosse, Makridakis: Relaxation schemes; 2003 K¨ uther, Ohlberger: Central staggered schemes; 2006 Ohlberger, Vovelle: Boundary value problems; 2007 Dedner, Makridakis, Ohlberger: Discontinuous Galerkin; 2) Degenerate parabolic problems: 2001 Ohlberger: Vertex centered FV; 2002 Ohlberger, Rohde: Weakly coupled systems; 2002 Herbin, Ohlberger: Cell centered FV 2004 Ohlberger: Higher order FV; 2004 Chen, Ji: Finite element schemes; mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik A posteriori results in this context 1) Hyperbolic conservation laws: 1995 Cockburn, Gau: Finite volume schemes; 2000 Kr¨ oner, Ohlberger: 2000 Gosse, Makridakis: Relaxation schemes; 2003 K¨ uther, Ohlberger: Central staggered scheme; 2006 Ohlberger, Vovelle: Boundary value problems; 2007 Dedner, Makridakis, Ohlberger: Discontinuous Galerkin; 2) Degenerate parabolic problems: 2001 Ohlberger: Vertex centered FV; 2002 Ohlberger, Rohde: Weakly coupled systems; 2002 Herbin, Ohlberger: Cell centered FV 2004 Ohlberger: Higher order FV; 2004 Chen, Ji: Finite element schemes; mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
Westfälische Institut für Numerische Wilhelms-Universität und Angewandte Münster Mathematik Error control for Discontinuous Galerkin approximations of nonlinear conservation laws [Dedner, Makridakis, Ohlberger ’07] mario.ohlberger@uni-muesnter.de www.uni-muenster.de/math/u/ohlberger
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