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Cooperative Game Theory Outline Introduction Relationship between - PowerPoint PPT Presentation

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Cooperative Game Theory Jennifer Wilson Cooperative Game Theory Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative Jennifer Wilson GameTheory A Survey of Different Solution Department of Natural

  1. Cooperative Game A Three-Person Zero-Sum Game Theory [Rapoport, 1970] Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Example Cooperative Games Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution Player 3: A Player 3: B Concepts Player 2 Player 2 A B A B A Small Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imputations and the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . . . . . . (1 , − 2 , 1) . . . . . . ( − 4 , 1 , 3) . . . . . . A . . . . . . ( − 2 , − 1 , 3) . . . . . . (2 , − 4 , 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Player 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Player 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Glove Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B . . . . . . (3 , 1 , − 4) . . . . . . ( − 5 , 10 , − 5) . . . . . . B . . . . . . ( − 6 , 12 , − 6) . . . . . . (3 , − 1 , − 2) . . . . . . Divide the Dollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dominance Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  2. Cooperative Game A Three-Person Zero-Sum Game Theory [Rapoport, 1970] Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Example Cooperative Games Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution Concepts Player 3: A Player 3: B A Small Market Imputations and the Player 2 Player 2 Core A B A B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Glove Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 , − 2 , 1) − . → . . . . . . ( − 4 , 1 , 3 ) . . . . . . . . . . . . ( − 2 , − 1 , 3 ) ← . . − . . . . (2 , − 4 , 2) . . . . . . A . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Divide the Dollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Player 1 . . . . . .  . . . . . . � . . . . . . Player 1 . . . . . . � . . . . . .  . . . . . . Dominance Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Other Solution . . . . . . (3 , 1 , − 4) − . . → . . . . ( − 5 , 10 , − 5) . . . . . . . . . . . . ( − 6 , 12 , − 6) − → . . . . . . (3 , − 1 , − 2) . . . . . . B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  3. Cooperative Game A Three-Person Zero-Sum Game Theory [Rapoport, 1970] Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Example Cooperative Games Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution Player 3: A Player 3: B Concepts Player 2 Player 2 A B A B A Small Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Player 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Other Solution Concepts Shapley Value Player 2 & 3 Definition AA AB BA BB River Cleanup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shapley-Shubik Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . . . . . . (1 , − 1) . . . . . . ( − 2 , 2) . . . . . . ( − 4 , 4) . . . . . . (2 , − 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Player 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UN Security Council . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B . . . . . . . (3 , − 3) . . . . . . . ( − 6 , 6) . . . . . . . ( − 5 , 5) . . . . . . . (3 , − 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multichoice Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  4. Cooperative Game A Three-Person Zero-Sum Game Theory [Rapoport, 1970] Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Example Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative Player 2 & 3 Player 2 & 3 GameTheory AA AB BA BB AA AB BA BB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  5. Cooperative Game A Three-Person Zero-Sum Game Theory [Rapoport, 1970] Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Example Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative Player 2 & 3 Player 2 & 3 GameTheory AA AB BA BB AA AB BA BB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council So ν (1) = − 4 and ν (2 , 3) = 4. Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  6. Cooperative Game A Three-Person Zero-Sum Game Theory [Rapoport, 1970] Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Example Cooperative GameTheory A Survey of Player 1 & 3 Player 1 & 3 Different Solution AA AB BA BB AA AB BA BB q 1 − q Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 , − 2) . . . . . . ( − 1 , 1) . . . . . . ( − 1 , 1) . . . . . . (12 , − 12) . . . . . . . A p . . . . . . . (2 , − 2) . . . . . . . ( − 1 , 1) . . . . . . . ( − 1 , 1) . . (12 , − 12) . . . . . . . . . . . . A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Small Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Player 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Player 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imputations and the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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The Glove Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  7. Cooperative Game A Three-Person Zero-Sum Game Theory [Rapoport, 1970] Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Example Cooperative GameTheory A Survey of Player 1 & 3 Player 1 & 3 Different Solution AA AB BA BB AA AB BA BB q 1 − q Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 , − 2) . . . . . . ( − 1 , 1) . . . . . . ( − 1 , 1) . . . . . . (12 , − 12) . . . . . . . A p . . . . . . . (2 , − 2) . . . . . . . ( − 1 , 1) . . . . . . . ( − 1 , 1) . . (12 , − 12) . . . . . . . . . . . . A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Small Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Player 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Player 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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The Glove Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Solving, gives p = 5 6 and q = 1 Shapley Value 2 . Definition So ν (2) = − 1 . 5 and ν (1 , 3) = 1 . 5. River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  8. Cooperative Game A Three-Person Zero-Sum Game Theory [Rapoport, 1970] Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Example Cooperative GameTheory A Survey of Player 1 & 3 Player 1 & 3 Different Solution AA AB BA BB AA AB BA BB q 1 − q Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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A Small Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Player 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Player 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imputations and the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 , − 1) . . . . . . ( − 4 , 4) . . . . . (10 , − 10) . . . . . . . ( − 1 , 1) . . . . . . B 1 − p . . . . . . (1 , − 1) . . . . . . ( − 4 , 4) . . . . . (10 , − 10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( − 1 , 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Glove Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Solving, gives p = 5 6 and q = 1 Shapley Value 2 . Definition So ν (2) = − 1 . 5 and ν (1 , 3) = 1 . 5. River Cleanup Shapley-Shubik Power Index Similarly ν (3) = − 4 . 48 and ν (1 , 2) = 4 . 48 . UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  9. Cooperative Game A Three-Person Zero-Sum Game Theory [Rapoport, 1970] Jennifer Wilson Outline Introduction Example Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Summary: Cooperative GameTheory ν (1) = − 4 , ν (2) = − 1 . 5 , ν (3) = − 4 . 48 , A Survey of Different Solution ν (2 , 3) = 4 , ν (1 , 2) = 4 . 48 and ν (1 , 3) = 1 . 5 . Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  10. Cooperative Game A Three-Person Zero-Sum Game Theory [Rapoport, 1970] Jennifer Wilson Outline Introduction Example Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Summary: Cooperative GameTheory ν (1) = − 4 , ν (2) = − 1 . 5 , ν (3) = − 4 . 48 , A Survey of Different Solution ν (2 , 3) = 4 , ν (1 , 2) = 4 . 48 and ν (1 , 3) = 1 . 5 . Concepts A Small Market Imputations and the Core It’s advantageous to form a coalition. The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  11. Cooperative Game A Three-Person Zero-Sum Game Theory [Rapoport, 1970] Jennifer Wilson Outline Introduction Example Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Summary: Cooperative GameTheory ν (1) = − 4 , ν (2) = − 1 . 5 , ν (3) = − 4 . 48 , A Survey of Different Solution ν (2 , 3) = 4 , ν (1 , 2) = 4 . 48 and ν (1 , 3) = 1 . 5 . Concepts A Small Market Imputations and the Core It’s advantageous to form a coalition. The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Which coalitions should form? Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  12. Cooperative Game A Three-Person Zero-Sum Game Theory [Rapoport, 1970] Jennifer Wilson Outline Introduction Example Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Summary: Cooperative GameTheory ν (1) = − 4 , ν (2) = − 1 . 5 , ν (3) = − 4 . 48 , A Survey of Different Solution ν (2 , 3) = 4 , ν (1 , 2) = 4 . 48 and ν (1 , 3) = 1 . 5 . Concepts A Small Market Imputations and the Core It’s advantageous to form a coalition. The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Which coalitions should form? Concepts Shapley Value Player 1 versus Players 2 & 3: ( − 4 , 1 , 3) Definition Player 2 versus Players 1 & 3: ( − 0 . 58 , 1 . 5 , 2 . 08) River Cleanup Shapley-Shubik Power Index Player 3 versus Players 1 & 2: ( − 0 . 56 , 5 . 04 , − 4 . 48) UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  13. Cooperative Game A Three-Person Zero-Sum Game Theory [Rapoport, 1970] Jennifer Wilson Outline Introduction Example Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Summary: Cooperative GameTheory ν (1) = − 4 , ν (2) = − 1 . 5 , ν (3) = − 4 . 48 , A Survey of Different Solution ν (2 , 3) = 4 , ν (1 , 2) = 4 . 48 and ν (1 , 3) = 1 . 5 . Concepts A Small Market Imputations and the Core It’s advantageous to form a coalition. The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Which coalitions should form? Concepts Shapley Value Player 1 versus Players 2 & 3: ( − 4 , 1 , 3) Definition Player 2 versus Players 1 & 3: ( − 0 . 58 , 1 . 5 , 2 . 08) River Cleanup Shapley-Shubik Power Index Player 3 versus Players 1 & 2: ( − 0 . 56 , 5 . 04 , − 4 . 48) UN Security Council Multichoice Games Extensions of What should each player receive from the game? Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  14. Cooperative Game Assumptions Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games ◮ Players may communicate and form coalitions with one Cooperative GameTheory another. A Survey of Different Solution Concepts ◮ Players may make sidepayments to each other. A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  15. Cooperative Game Assumptions Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games ◮ Players may communicate and form coalitions with one Cooperative GameTheory another. A Survey of Different Solution Concepts ◮ Players may make sidepayments to each other. A Small Market Imputations and the Core ◮ Utility is transferable between players. The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  16. Cooperative Game Assumptions Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games ◮ Players may communicate and form coalitions with one Cooperative GameTheory another. A Survey of Different Solution Concepts ◮ Players may make sidepayments to each other. A Small Market Imputations and the Core ◮ Utility is transferable between players. The Glove Market ◮ Players’ utility values are comparable . Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  17. Cooperative Game Assumptions Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games ◮ Players may communicate and form coalitions with one Cooperative GameTheory another. A Survey of Different Solution Concepts ◮ Players may make sidepayments to each other. A Small Market Imputations and the Core ◮ Utility is transferable between players. The Glove Market ◮ Players’ utility values are comparable . Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value We will look at transferable utitility (TU) games. Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  18. Cooperative Game Characteristic Function Form Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games The characteristic function ν of a game is a function that Cooperative GameTheory assigns a value for each coalition (subset) of players. A Survey of Different Solution Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  19. Cooperative Game Characteristic Function Form Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games The characteristic function ν of a game is a function that Cooperative GameTheory assigns a value for each coalition (subset) of players. A Survey of Different Solution Concepts If the game is constant-sum then A Small Market Imputations and the Core ◮ ν ( ∅ ) = 0 The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  20. Cooperative Game Characteristic Function Form Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games The characteristic function ν of a game is a function that Cooperative GameTheory assigns a value for each coalition (subset) of players. A Survey of Different Solution Concepts If the game is constant-sum then A Small Market Imputations and the Core ◮ ν ( ∅ ) = 0 The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations ◮ ν ( N ) = K Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  21. Cooperative Game Characteristic Function Form Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games The characteristic function ν of a game is a function that Cooperative GameTheory assigns a value for each coalition (subset) of players. A Survey of Different Solution Concepts If the game is constant-sum then A Small Market Imputations and the Core ◮ ν ( ∅ ) = 0 The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations ◮ ν ( N ) = K Other Solution Concepts ◮ ν ( S ) + ν ( N \ S ) = K Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  22. Cooperative Game Cooperative Games Theory Jennifer Wilson Outline Definition Introduction A cooperative game is a set N of players, with a function Relationship between Non-cooperative and ν : 2 N → ℜ such that ν ( ∅ ) = 0 . Cooperative Games Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  23. Cooperative Game Cooperative Games Theory Jennifer Wilson Outline Definition Introduction A cooperative game is a set N of players, with a function Relationship between Non-cooperative and ν : 2 N → ℜ such that ν ( ∅ ) = 0 . Cooperative Games Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution Concepts Definition A Small Market A cooperative game is called superadditive if Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar ν ( S ∪ T ) ≥ ν ( S ) + ν ( T ) for all S ∩ T = ∅ . Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  24. Cooperative Game Cooperative Games Theory Jennifer Wilson Outline Definition Introduction A cooperative game is a set N of players, with a function Relationship between Non-cooperative and ν : 2 N → ℜ such that ν ( ∅ ) = 0 . Cooperative Games Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution Concepts Definition A Small Market A cooperative game is called superadditive if Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar ν ( S ∪ T ) ≥ ν ( S ) + ν ( T ) for all S ∩ T = ∅ . Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Every normal form game can be put in characteristic Definition River Cleanup (cooperative) form. Shapley-Shubik Power Index UN Security Council There are cooperative games that do not correspond to any Multichoice Games Extensions of normal form games. Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  25. Cooperative Game Cooperative Games Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and In non-cooperative game theory, the goals are to Cooperative Games Cooperative ◮ determine the optimal strategies for each player, and to GameTheory A Survey of ◮ find the equilibria of the game when the players play Different Solution Concepts their optimal strategies. A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  26. Cooperative Game Cooperative Games Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and In non-cooperative game theory, the goals are to Cooperative Games Cooperative ◮ determine the optimal strategies for each player, and to GameTheory A Survey of ◮ find the equilibria of the game when the players play Different Solution Concepts their optimal strategies. A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar In cooperative game theory the goals are to Dominance Relations Other Solution Concepts ◮ determine which coalitions should form, and to Shapley Value ◮ decide how each player should be rewarded. Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  27. Cooperative Game The Bankruptcy Game [O’Neill, 1982] Theory Jennifer Wilson Example Outline A small company goes bankrupt owing money to three Introduction creditors. It owns $10 , 000 to creditor A , $20 , 000 to creditor Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games B and $30 , 000 to creditor C . If the company has a total of Cooperative GameTheory $36 , 000 in assets, how should the money be divided? A Survey of Different Solution Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  28. Cooperative Game The Bankruptcy Game [O’Neill, 1982] Theory Jennifer Wilson Example Outline A small company goes bankrupt owing money to three Introduction creditors. It owns $10 , 000 to creditor A , $20 , 000 to creditor Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games B and $30 , 000 to creditor C . If the company has a total of Cooperative GameTheory $36 , 000 in assets, how should the money be divided? A Survey of Different Solution Concepts A Small Market v ( A ) = 0 v ( B ) = 0 v ( C ) = 6 Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  29. Cooperative Game The Bankruptcy Game [O’Neill, 1982] Theory Jennifer Wilson Example Outline A small company goes bankrupt owing money to three Introduction creditors. It owns $10 , 000 to creditor A , $20 , 000 to creditor Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games B and $30 , 000 to creditor C . If the company has a total of Cooperative GameTheory $36 , 000 in assets, how should the money be divided? A Survey of Different Solution Concepts A Small Market v ( A ) = 0 v ( B ) = 0 v ( C ) = 6 Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations v ( A , B ) = 6 v ( A , C ) = 16 v ( B , C ) = 26 and v ( A , B , C ) = 36 Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  30. Cooperative Game The Bankruptcy Game [O’Neill, 1982] Theory Jennifer Wilson Example Outline A small company goes bankrupt owing money to three Introduction creditors. It owns $10 , 000 to creditor A , $20 , 000 to creditor Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games B and $30 , 000 to creditor C . If the company has a total of Cooperative GameTheory $36 , 000 in assets, how should the money be divided? A Survey of Different Solution Concepts A Small Market v ( A ) = 0 v ( B ) = 0 v ( C ) = 6 Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations v ( A , B ) = 6 v ( A , C ) = 16 v ( B , C ) = 26 and v ( A , B , C ) = 36 Other Solution Concepts Shapley Value What are the minimum requirements for a settlement? Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  31. Cooperative Game The Bankruptcy Game [O’Neill, 1982] Theory Jennifer Wilson Example Outline A small company goes bankrupt owing money to three Introduction creditors. It owns $10 , 000 to creditor A , $20 , 000 to creditor Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games B and $30 , 000 to creditor C . If the company has a total of Cooperative GameTheory $36 , 000 in assets, how should the money be divided? A Survey of Different Solution Concepts A Small Market v ( A ) = 0 v ( B ) = 0 v ( C ) = 6 Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations v ( A , B ) = 6 v ( A , C ) = 16 v ( B , C ) = 26 and v ( A , B , C ) = 36 Other Solution Concepts Shapley Value What are the minimum requirements for a settlement? Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Let x 1 , x 2 and x 3 be the payments offered to each creditor. Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  32. Cooperative Game The Bankruptcy Game [O’Neill, 1982] Theory Jennifer Wilson Example Outline A small company goes bankrupt owing money to three Introduction creditors. It owns $10 , 000 to creditor A , $20 , 000 to creditor Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games B and $30 , 000 to creditor C . If the company has a total of Cooperative GameTheory $36 , 000 in assets, how should the money be divided? A Survey of Different Solution Concepts A Small Market v ( A ) = 0 v ( B ) = 0 v ( C ) = 6 Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations v ( A , B ) = 6 v ( A , C ) = 16 v ( B , C ) = 26 and v ( A , B , C ) = 36 Other Solution Concepts Shapley Value What are the minimum requirements for a settlement? Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Let x 1 , x 2 and x 3 be the payments offered to each creditor. Index UN Security Council Multichoice Games x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 x 3 ≥ 6 and x 1 + x 2 + x 3 = 36 Extensions of Cooperative Game Theory Definitions . Examples Extensions of the Shapley Value

  33. Cooperative Game The Bankruptcy Game [O’Neill, 1982] Theory A small company goes bankrupt owing money to three Jennifer Wilson creditors. It owns $10 , 000 to creditor A , $20 , 000 to creditor Outline B and $30 , 000 to creditor C . If the company has a total of Introduction $36 , 000 in assets, how should the money be divided? Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory v ( A ) = 0 v ( B ) = 0 v ( C ) = 6 A Survey of Different Solution Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  34. Cooperative Game The Bankruptcy Game [O’Neill, 1982] Theory A small company goes bankrupt owing money to three Jennifer Wilson creditors. It owns $10 , 000 to creditor A , $20 , 000 to creditor Outline B and $30 , 000 to creditor C . If the company has a total of Introduction $36 , 000 in assets, how should the money be divided? Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory v ( A ) = 0 v ( B ) = 0 v ( C ) = 6 A Survey of Different Solution Concepts A Small Market v ( A , B ) = 6 v ( A , C ) = 16 v ( B , C ) = 26 and v ( A , B , C ) = 36 Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 x 3 ≥ 6 and x 1 + x 2 + x 3 = 36 Other Solution Concepts Shapley Value . Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  35. Cooperative Game The Bankruptcy Game [O’Neill, 1982] Theory A small company goes bankrupt owing money to three Jennifer Wilson creditors. It owns $10 , 000 to creditor A , $20 , 000 to creditor Outline B and $30 , 000 to creditor C . If the company has a total of Introduction $36 , 000 in assets, how should the money be divided? Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory v ( A ) = 0 v ( B ) = 0 v ( C ) = 6 A Survey of Different Solution Concepts A Small Market v ( A , B ) = 6 v ( A , C ) = 16 v ( B , C ) = 26 and v ( A , B , C ) = 36 Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 x 3 ≥ 6 and x 1 + x 2 + x 3 = 36 Other Solution Concepts Shapley Value . Definition River Cleanup What additional requirements should there be? Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  36. Cooperative Game The Bankruptcy Game [O’Neill, 1982] Theory A small company goes bankrupt owing money to three Jennifer Wilson creditors. It owns $10 , 000 to creditor A , $20 , 000 to creditor Outline B and $30 , 000 to creditor C . If the company has a total of Introduction $36 , 000 in assets, how should the money be divided? Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory v ( A ) = 0 v ( B ) = 0 v ( C ) = 6 A Survey of Different Solution Concepts A Small Market v ( A , B ) = 6 v ( A , C ) = 16 v ( B , C ) = 26 and v ( A , B , C ) = 36 Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 x 3 ≥ 6 and x 1 + x 2 + x 3 = 36 Other Solution Concepts Shapley Value . Definition River Cleanup What additional requirements should there be? Shapley-Shubik Power Index UN Security Council x 1 + x 2 ≥ 6 x 1 + x 3 ≥ 16 x 2 + x 3 ≥ 26 Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  37. Cooperative Game The Bankruptcy Game [O’Neill, 1982] Theory A small company goes bankrupt owing money to three Jennifer Wilson creditors. It owns $10 , 000 to creditor A , $20 , 000 to creditor Outline B and $30 , 000 to creditor C . If the company has a total of Introduction $36 , 000 in assets, how should the money be divided? Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory v ( A ) = 0 v ( B ) = 0 v ( C ) = 6 A Survey of Different Solution Concepts A Small Market v ( A , B ) = 6 v ( A , C ) = 16 v ( B , C ) = 26 and v ( A , B , C ) = 36 Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 x 3 ≥ 6 and x 1 + x 2 + x 3 = 36 Other Solution Concepts Shapley Value . Definition River Cleanup What additional requirements should there be? Shapley-Shubik Power Index UN Security Council x 1 + x 2 ≥ 6 x 1 + x 3 ≥ 16 x 2 + x 3 ≥ 26 Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples x 3 ≤ 30 x 2 ≤ 20 x 1 ≤ 10 Extensions of the Shapley Value

  38. Cooperative Game Graphing on the Simplex Theory The 2-dimensional simplex Jennifer Wilson { ( x 1 , x 2 , x 3 ) | x 1 + x 2 + x 3 = 1 , x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , and x 3 ≥ 0 . } . Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0 , 0 , 1) . . . . . . Relationship between . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . Non-cooperative and . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cooperative Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0 , 0 , 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cooperative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GameTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Survey of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 2 . . . . . . . x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0 , 1 , 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Different Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 , 0 , 0) . . . . . . • . . Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 , 0 , 0) (0 , 1 , 0) . . . . . . . . . . . . . . . . x 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Small Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  39. Cooperative Game Graphing on the Simplex Theory The 2-dimensional simplex Jennifer Wilson { ( x 1 , x 2 , x 3 ) | x 1 + x 2 + x 3 = 1 , x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , and x 3 ≥ 0 . } . Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0 , 0 , 1) . . . . . . Relationship between . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . Non-cooperative and . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cooperative Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0 , 0 , 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cooperative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GameTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Survey of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 2 . . . . . . . x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0 , 1 , 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Different Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 , 0 , 0) • . . . . . . . . Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 , 0 , 0) (0 , 1 , 0) . . . . . . . . . . . . . . . . x 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Small Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Possible “solutions” of the Bankrupcy Game. Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shapley Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 3 = 30 / 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ...... . . . . . . . . . . . . . . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . ......... ........ . . . . . . . Definition . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... . . . . . . . x 1 = 10 / 36 . . . . . . . . . . . . . . .......... ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... . . . . . . . . River Cleanup . . . . . . . . . . . . . . . .......... ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . Shapley-Shubik Power . . . . . . . . . . . . . . ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... . . . . . . . . . . . . x 2 = 20 / 36 . . . . . . . . . . . . . . ......... ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . Index . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . UN Security Council . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 3 = 6 / 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multichoice Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  40. Cooperative Game Imputations Theory Jennifer Wilson Outline Definition Introduction Given a cooperative game ν on n players, an imputation is a Relationship between Non-cooperative and payoff vector Cooperative Games Cooperative GameTheory x 1 , x 2 , . . . , x n A Survey of Different Solution Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  41. Cooperative Game Imputations Theory Jennifer Wilson Outline Definition Introduction Given a cooperative game ν on n players, an imputation is a Relationship between Non-cooperative and payoff vector Cooperative Games Cooperative GameTheory x 1 , x 2 , . . . , x n A Survey of Different Solution such that Concepts x i ≥ ν ( i ) A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  42. Cooperative Game Imputations Theory Jennifer Wilson Outline Definition Introduction Given a cooperative game ν on n players, an imputation is a Relationship between Non-cooperative and payoff vector Cooperative Games Cooperative GameTheory x 1 , x 2 , . . . , x n A Survey of Different Solution such that Concepts x i ≥ ν ( i ) individual rationality A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  43. Cooperative Game Imputations Theory Jennifer Wilson Outline Definition Introduction Given a cooperative game ν on n players, an imputation is a Relationship between Non-cooperative and payoff vector Cooperative Games Cooperative GameTheory x 1 , x 2 , . . . , x n A Survey of Different Solution such that Concepts x i ≥ ν ( i ) individual rationality A Small Market Imputations and the Core The Glove Market and Divide the Dollar � Dominance Relations x i = ν ( N ) Other Solution Concepts i Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  44. Cooperative Game Imputations Theory Jennifer Wilson Outline Definition Introduction Given a cooperative game ν on n players, an imputation is a Relationship between Non-cooperative and payoff vector Cooperative Games Cooperative GameTheory x 1 , x 2 , . . . , x n A Survey of Different Solution such that Concepts x i ≥ ν ( i ) individual rationality A Small Market Imputations and the Core The Glove Market and Divide the Dollar � Dominance Relations x i = ν ( N ) collective rationality . Other Solution Concepts i Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  45. Cooperative Game Imputations Theory Jennifer Wilson Outline Definition Introduction Given a cooperative game ν on n players, an imputation is a Relationship between Non-cooperative and payoff vector Cooperative Games Cooperative GameTheory x 1 , x 2 , . . . , x n A Survey of Different Solution such that Concepts x i ≥ ν ( i ) individual rationality A Small Market Imputations and the Core The Glove Market and Divide the Dollar � Dominance Relations x i = ν ( N ) collective rationality . Other Solution Concepts i Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power If � i ν ( i ) = ν ( N ), then x i = ν ( i ). Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  46. Cooperative Game Imputations Theory Jennifer Wilson Outline Definition Introduction Given a cooperative game ν on n players, an imputation is a Relationship between Non-cooperative and payoff vector Cooperative Games Cooperative GameTheory x 1 , x 2 , . . . , x n A Survey of Different Solution such that Concepts x i ≥ ν ( i ) individual rationality A Small Market Imputations and the Core The Glove Market and Divide the Dollar � Dominance Relations x i = ν ( N ) collective rationality . Other Solution Concepts i Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power If � i ν ( i ) = ν ( N ), then x i = ν ( i ). Index UN Security Council These games are called inessential . Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  47. Cooperative Game Imputations Theory Jennifer Wilson Outline Definition Introduction Given a cooperative game ν on n players, an imputation is a Relationship between Non-cooperative and payoff vector Cooperative Games Cooperative GameTheory x 1 , x 2 , . . . , x n A Survey of Different Solution such that Concepts x i ≥ ν ( i ) individual rationality A Small Market Imputations and the Core The Glove Market and Divide the Dollar � Dominance Relations x i = ν ( N ) collective rationality . Other Solution Concepts i Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power If � i ν ( i ) = ν ( N ), then x i = ν ( i ). Index UN Security Council These games are called inessential . Multichoice Games Extensions of Cooperative Game We will assume ν is essential. Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  48. Cooperative Game The Core Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory Definition A Survey of Different Solution The core is the set of imputations such that Concepts A Small Market Imputations and the � Core x i ≥ v ( S ) for every S ⊂ N . The Glove Market Divide the Dollar i ∈ S Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  49. Cooperative Game The Glove Market Theory Jennifer Wilson Outline Example Introduction Relationship between Non-cooperative and A market consists of people with left-handed glove and Cooperative Games Cooperative people with right-handed gloves (but not both). The value of GameTheory A Survey of a coalition is the number of complete pairs of gloves it has. Different Solution Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  50. Cooperative Game The Glove Market Theory Jennifer Wilson Outline Example Introduction Relationship between Non-cooperative and A market consists of people with left-handed glove and Cooperative Games Cooperative people with right-handed gloves (but not both). The value of GameTheory A Survey of a coalition is the number of complete pairs of gloves it has. Different Solution Concepts A Small Market We will look at the case when A 1 and A 2 have left-handed Imputations and the Core glove and B 1 , B 2 and B 3 have right-handed gloves. The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  51. Cooperative Game The Glove Market Theory Jennifer Wilson Outline Example Introduction Relationship between Non-cooperative and A market consists of people with left-handed glove and Cooperative Games Cooperative people with right-handed gloves (but not both). The value of GameTheory A Survey of a coalition is the number of complete pairs of gloves it has. Different Solution Concepts A Small Market We will look at the case when A 1 and A 2 have left-handed Imputations and the Core glove and B 1 , B 2 and B 3 have right-handed gloves. The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution ν ( A i ) = ν ( B j ) = 0 ν ( A 1 , A 2 ) = ν ( B i , B j ) = 0 ν ( A i , B i ) = 1 Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  52. Cooperative Game The Glove Market Theory Jennifer Wilson Outline Example Introduction Relationship between Non-cooperative and A market consists of people with left-handed glove and Cooperative Games Cooperative people with right-handed gloves (but not both). The value of GameTheory A Survey of a coalition is the number of complete pairs of gloves it has. Different Solution Concepts A Small Market We will look at the case when A 1 and A 2 have left-handed Imputations and the Core glove and B 1 , B 2 and B 3 have right-handed gloves. The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution ν ( A i ) = ν ( B j ) = 0 ν ( A 1 , A 2 ) = ν ( B i , B j ) = 0 ν ( A i , B i ) = 1 Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power ν ( A i , B i 1 , B i 2 ) = 1 . . . Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  53. Cooperative Game The Glove Market Theory Jennifer Wilson Let ( x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , y 3 ) be the payoff vector. Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  54. Cooperative Game The Glove Market Theory Jennifer Wilson Let ( x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , y 3 ) be the payoff vector. Outline It is an imputation if Introduction Relationship between Non-cooperative and x i ≥ 0 , y j ≥ 0 y 2 ≥ 0 x 1 + x 2 + y 1 + y 2 + y 3 = 2 . Cooperative Games Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  55. Cooperative Game The Glove Market Theory Jennifer Wilson Let ( x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , y 3 ) be the payoff vector. Outline It is an imputation if Introduction Relationship between Non-cooperative and x i ≥ 0 , y j ≥ 0 y 2 ≥ 0 x 1 + x 2 + y 1 + y 2 + y 3 = 2 . Cooperative Games Cooperative GameTheory The payoff vector is in the core if A Survey of Different Solution Concepts A Small Market x 1 + y 1 ≥ 1 x 2 + y 2 ≥ 1 . . . Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  56. Cooperative Game The Glove Market Theory Jennifer Wilson Let ( x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , y 3 ) be the payoff vector. Outline It is an imputation if Introduction Relationship between Non-cooperative and x i ≥ 0 , y j ≥ 0 y 2 ≥ 0 x 1 + x 2 + y 1 + y 2 + y 3 = 2 . Cooperative Games Cooperative GameTheory The payoff vector is in the core if A Survey of Different Solution Concepts A Small Market x 1 + y 1 ≥ 1 x 2 + y 2 ≥ 1 . . . Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar But Dominance Relations Other Solution ( x 1 + y 1 ) + ( x 2 + y 2 ) ≥ 1 + 1 = 2 . Concepts Shapley Value Hence Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index ( x 1 + y 1 ) = ( x 2 + y 2 ) = 1 and y 3 = 0 . UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  57. Cooperative Game The Glove Market Theory Jennifer Wilson Let ( x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , y 3 ) be the payoff vector. Outline It is an imputation if Introduction Relationship between Non-cooperative and x i ≥ 0 , y j ≥ 0 y 2 ≥ 0 x 1 + x 2 + y 1 + y 2 + y 3 = 2 . Cooperative Games Cooperative GameTheory The payoff vector is in the core if A Survey of Different Solution Concepts A Small Market x 1 + y 1 ≥ 1 x 2 + y 2 ≥ 1 . . . Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar But Dominance Relations Other Solution ( x 1 + y 1 ) + ( x 2 + y 2 ) ≥ 1 + 1 = 2 . Concepts Shapley Value Hence Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index ( x 1 + y 1 ) = ( x 2 + y 2 ) = 1 and y 3 = 0 . UN Security Council Multichoice Games Extensions of So y 1 = y 2 = y 3 = 0, and x 1 = x 2 = 1. Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  58. Cooperative Game The Glove Market Theory Jennifer Wilson Let ( x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , y 3 ) be the payoff vector. Outline It is an imputation if Introduction Relationship between Non-cooperative and x i ≥ 0 , y j ≥ 0 y 2 ≥ 0 x 1 + x 2 + y 1 + y 2 + y 3 = 2 . Cooperative Games Cooperative GameTheory The payoff vector is in the core if A Survey of Different Solution Concepts A Small Market x 1 + y 1 ≥ 1 x 2 + y 2 ≥ 1 . . . Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar But Dominance Relations Other Solution ( x 1 + y 1 ) + ( x 2 + y 2 ) ≥ 1 + 1 = 2 . Concepts Shapley Value Hence Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index ( x 1 + y 1 ) = ( x 2 + y 2 ) = 1 and y 3 = 0 . UN Security Council Multichoice Games Extensions of So y 1 = y 2 = y 3 = 0, and x 1 = x 2 = 1. Cooperative Game Theory The core consists of the single point (1 , 1 , 0 , 0 , 0). Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  59. Cooperative Game Divide the Dollar Theory [ Von Neumann & Morgenstern, 1947] Jennifer Wilson Outline Example Introduction Three players are given a dollar to divide amongst them. Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games The decision is to be made by majority rule. Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  60. Cooperative Game Divide the Dollar Theory [ Von Neumann & Morgenstern, 1947] Jennifer Wilson Outline Example Introduction Three players are given a dollar to divide amongst them. Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games The decision is to be made by majority rule. Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution ν (1) = ν (2) = ν (3) = 0 . Concepts A Small Market ν (1 , 2) = ν (1 , 3) = ν (2 , 3) = ν (1 , 2 , 3) = 1 . Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  61. Cooperative Game Divide the Dollar Theory [ Von Neumann & Morgenstern, 1947] Jennifer Wilson Outline Example Introduction Three players are given a dollar to divide amongst them. Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games The decision is to be made by majority rule. Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution ν (1) = ν (2) = ν (3) = 0 . Concepts A Small Market ν (1 , 2) = ν (1 , 3) = ν (2 , 3) = ν (1 , 2 , 3) = 1 . Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 x 3 ≥ 0 x 1 + x 2 + x 3 = 1 Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  62. Cooperative Game Divide the Dollar Theory [ Von Neumann & Morgenstern, 1947] Jennifer Wilson Outline Example Introduction Three players are given a dollar to divide amongst them. Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games The decision is to be made by majority rule. Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution ν (1) = ν (2) = ν (3) = 0 . Concepts A Small Market ν (1 , 2) = ν (1 , 3) = ν (2 , 3) = ν (1 , 2 , 3) = 1 . Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 x 3 ≥ 0 x 1 + x 2 + x 3 = 1 Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index x 1 + x 2 ≥ 1 x 1 + x 3 ≥ 1 x 2 + x 3 ≥ 1 . UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  63. Cooperative Game Divide the Dollar Theory [ Von Neumann & Morgenstern, 1947] Jennifer Wilson Outline Example Introduction Three players are given a dollar to divide amongst them. Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games The decision is to be made by majority rule. Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution ν (1) = ν (2) = ν (3) = 0 . Concepts A Small Market ν (1 , 2) = ν (1 , 3) = ν (2 , 3) = ν (1 , 2 , 3) = 1 . Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 x 3 ≥ 0 x 1 + x 2 + x 3 = 1 Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index x 1 + x 2 ≥ 1 x 1 + x 3 ≥ 1 x 2 + x 3 ≥ 1 . UN Security Council Multichoice Games This is impossible. Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  64. Cooperative Game Divide the Dollar Theory [ Von Neumann & Morgenstern, 1947] Jennifer Wilson Outline Example Introduction Three players are given a dollar to divide amongst them. Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games The decision is to be made by majority rule. Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution ν (1) = ν (2) = ν (3) = 0 . Concepts A Small Market ν (1 , 2) = ν (1 , 3) = ν (2 , 3) = ν (1 , 2 , 3) = 1 . Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 x 3 ≥ 0 x 1 + x 2 + x 3 = 1 Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index x 1 + x 2 ≥ 1 x 1 + x 3 ≥ 1 x 2 + x 3 ≥ 1 . UN Security Council Multichoice Games This is impossible. Extensions of Cooperative Game Theory Hence the core is empty. Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  65. Cooperative Game Divide the Dollar Theory [ Von Neumann & Morgenstern, 1947] Jennifer Wilson Outline Example Introduction Three players are given a dollar to divide amongst them. Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games The decision is to be made by majority rule. Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution ν (1) = ν (2) = ν (3) = 0 . Concepts A Small Market ν (1 , 2) = ν (1 , 3) = ν (2 , 3) = ν (1 , 2 , 3) = 1 . Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 x 3 ≥ 0 x 1 + x 2 + x 3 = 1 Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index x 1 + x 2 ≥ 1 x 1 + x 3 ≥ 1 x 2 + x 3 ≥ 1 . UN Security Council Multichoice Games This is impossible. Extensions of Cooperative Game Theory Hence the core is empty. Definitions Examples All constant-sum games have empty cores. Extensions of the Shapley Value

  66. Cooperative Game Divide the Dollar Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory Problem: If Players 1 and 2 agree to a (0.50, 0.50, 0) split, A Survey of Different Solution Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  67. Cooperative Game Divide the Dollar Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory Problem: If Players 1 and 2 agree to a (0.50, 0.50, 0) split, A Survey of Different Solution Player 3 can offer Player 1 a (0 . 60 , 0 , 0 . 40) split. Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  68. Cooperative Game Divide the Dollar Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory Problem: If Players 1 and 2 agree to a (0.50, 0.50, 0) split, A Survey of Different Solution Player 3 can offer Player 1 a (0 . 60 , 0 , 0 . 40) split. Concepts A Small Market Player 2 can retaliate by offering Player 3 a (0 , 0 . 50 , 0 . 50) Imputations and the Core split. The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  69. Cooperative Game Divide the Dollar Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory Problem: If Players 1 and 2 agree to a (0.50, 0.50, 0) split, A Survey of Different Solution Player 3 can offer Player 1 a (0 . 60 , 0 , 0 . 40) split. Concepts A Small Market Player 2 can retaliate by offering Player 3 a (0 , 0 . 50 , 0 . 50) Imputations and the Core split. The Glove Market Divide the Dollar Player 1 can offer.... Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  70. Cooperative Game Dominance Relations Theory [Von Neumann and Morgenstern, 1947] Jennifer Wilson Outline Definition Introduction Imputation x is dominated by imputation y through coalition Relationship between Non-cooperative and S if Cooperative Games Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  71. Cooperative Game Dominance Relations Theory [Von Neumann and Morgenstern, 1947] Jennifer Wilson Outline Definition Introduction Imputation x is dominated by imputation y through coalition Relationship between Non-cooperative and S if Cooperative Games Cooperative GameTheory ◮ y i > x i for every i ∈ S A Survey of Different Solution ◮ ν ( S ) ≥ � i ∈ S y i . Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  72. Cooperative Game Dominance Relations Theory [Von Neumann and Morgenstern, 1947] Jennifer Wilson Outline Definition Introduction Imputation x is dominated by imputation y through coalition Relationship between Non-cooperative and S if Cooperative Games Cooperative GameTheory ◮ y i > x i for every i ∈ S A Survey of Different Solution ◮ ν ( S ) ≥ � i ∈ S y i . Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Consider the two imputations: Dominance Relations Other Solution Concepts x = (0 . 50 , 0 . 50 , 0) and y = (0 . 60 , 0 , 0 . 40) . Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  73. Cooperative Game Dominance Relations Theory [Von Neumann and Morgenstern, 1947] Jennifer Wilson Outline Definition Introduction Imputation x is dominated by imputation y through coalition Relationship between Non-cooperative and S if Cooperative Games Cooperative GameTheory ◮ y i > x i for every i ∈ S A Survey of Different Solution ◮ ν ( S ) ≥ � i ∈ S y i . Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Consider the two imputations: Dominance Relations Other Solution Concepts x = (0 . 50 , 0 . 50 , 0) and y = (0 . 60 , 0 , 0 . 40) . Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index Players 1 and 3 can ’force’ player 2 to accept y . UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  74. Cooperative Game Dominance Relations Theory [Von Neumann and Morgenstern, 1947] Jennifer Wilson Outline Definition Introduction Imputation x is dominated by imputation y through coalition Relationship between Non-cooperative and S if Cooperative Games Cooperative GameTheory ◮ y i > x i for every i ∈ S A Survey of Different Solution ◮ ν ( S ) ≥ � i ∈ S y i . Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Consider the two imputations: Dominance Relations Other Solution Concepts x = (0 . 50 , 0 . 50 , 0) and y = (0 . 60 , 0 , 0 . 40) . Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index Players 1 and 3 can ’force’ player 2 to accept y . UN Security Council Multichoice Games Extensions of So (0 . 50 , 0 , 50 , 0) is dominated by (0 . 60 , 0 , 0 . 40) through Cooperative Game Theory S = { 1 , 3 } Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  75. Cooperative Game Dominance Relations Theory [Von Neumann and Morgenstern, 1947] Jennifer Wilson Outline Definition Introduction Imputation x is dominated by imputation y through coalition Relationship between Non-cooperative and S if Cooperative Games Cooperative GameTheory ◮ y i > x i for every i ∈ S A Survey of Different Solution ◮ ν ( S ) ≥ � i ∈ S y i . Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Consider the two imputations: Dominance Relations Other Solution Concepts x = (0 . 50 , 0 . 50 , 0) and y = (0 . 60 , 0 , 0 . 40) . Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index Players 1 and 3 can ’force’ player 2 to accept y . UN Security Council Multichoice Games Extensions of So (0 . 50 , 0 , 50 , 0) is dominated by (0 . 60 , 0 , 0 . 40) through Cooperative Game Theory S = { 1 , 3 } which is dominated by (0 , 0 . 50 , 0 . 50) through Definitions Examples coalition S = { 2 , 3 } which is dominated by ... Extensions of the Shapley Value

  76. Cooperative Game Dominance Relations Theory Jennifer Wilson The core consists of all undominated imputations. Outline Proof. Introduction Suppose x is dominated by y through the coalition S . Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  77. Cooperative Game Dominance Relations Theory Jennifer Wilson The core consists of all undominated imputations. Outline Proof. Introduction Suppose x is dominated by y through the coalition S . Then Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory � � y i ≤ ν ( S ) x i < A Survey of Different Solution i ∈ S i ∈ S Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  78. Cooperative Game Dominance Relations Theory Jennifer Wilson The core consists of all undominated imputations. Outline Proof. Introduction Suppose x is dominated by y through the coalition S . Then Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory � � y i ≤ ν ( S ) x i < A Survey of Different Solution i ∈ S i ∈ S Concepts A Small Market hence x is not in the core. Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  79. Cooperative Game Dominance Relations Theory Jennifer Wilson The core consists of all undominated imputations. Outline Proof. Introduction Suppose x is dominated by y through the coalition S . Then Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory � � y i ≤ ν ( S ) x i < A Survey of Different Solution i ∈ S i ∈ S Concepts A Small Market hence x is not in the core. Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Suppose x is an imputation that is not in the core and Other Solution Concepts � i ∈ S x i < ν ( S ). Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  80. Cooperative Game Dominance Relations Theory Jennifer Wilson The core consists of all undominated imputations. Outline Proof. Introduction Suppose x is dominated by y through the coalition S . Then Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory � � y i ≤ ν ( S ) x i < A Survey of Different Solution i ∈ S i ∈ S Concepts A Small Market hence x is not in the core. Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Suppose x is an imputation that is not in the core and Other Solution Concepts � i ∈ S x i < ν ( S ). Shapley Value Let Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power 1 Index � x i + | S | [ ν ( S ) − � i ∈ S x i ] if i ∈ S UN Security Council y i = 1 | N \ S | [ ν ( N ) − ( ν ( S ) + � ν ( i ) + ∈ S ν ( i ))] if i / ∈ S . Multichoice Games i / Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  81. Cooperative Game Dominance Relations Theory Jennifer Wilson The core consists of all undominated imputations. Outline Proof. Introduction Suppose x is dominated by y through the coalition S . Then Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory � � y i ≤ ν ( S ) x i < A Survey of Different Solution i ∈ S i ∈ S Concepts A Small Market hence x is not in the core. Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Suppose x is an imputation that is not in the core and Other Solution Concepts � i ∈ S x i < ν ( S ). Shapley Value Let Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power 1 Index � x i + | S | [ ν ( S ) − � i ∈ S x i ] if i ∈ S UN Security Council y i = 1 | N \ S | [ ν ( N ) − ( ν ( S ) + � ν ( i ) + ∈ S ν ( i ))] if i / ∈ S . Multichoice Games i / Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  82. Cooperative Game Dominance Relations Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and 1 Cooperative Games | S | [ ν ( S ) − � � x i + i ∈ S x i ] if i ∈ S Cooperative y i = GameTheory 1 ν ( i ) + | N \ S | [ ν ( N ) − ( ν ( S ) + � ∈ S ν ( i ))] if i / ∈ S . A Survey of i / Different Solution Concepts Claim: A Small Market Imputations and the Core ◮ y i > x i for all i ∈ S The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  83. Cooperative Game Dominance Relations Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and 1 Cooperative Games | S | [ ν ( S ) − � � x i + i ∈ S x i ] if i ∈ S Cooperative y i = GameTheory 1 ν ( i ) + | N \ S | [ ν ( N ) − ( ν ( S ) + � ∈ S ν ( i ))] if i / ∈ S . A Survey of i / Different Solution Concepts Claim: A Small Market Imputations and the Core ◮ y i > x i for all i ∈ S The Glove Market Divide the Dollar ◮ ν ( S ) ≥ � i ∈ S y i Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  84. Cooperative Game Dominance Relations Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and 1 Cooperative Games | S | [ ν ( S ) − � � x i + i ∈ S x i ] if i ∈ S Cooperative y i = GameTheory 1 ν ( i ) + | N \ S | [ ν ( N ) − ( ν ( S ) + � ∈ S ν ( i ))] if i / ∈ S . A Survey of i / Different Solution Concepts Claim: A Small Market Imputations and the Core ◮ y i > x i for all i ∈ S The Glove Market Divide the Dollar ◮ ν ( S ) ≥ � i ∈ S y i Dominance Relations Other Solution Concepts ◮ y is an imputation Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  85. Cooperative Game Dominance Relations Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and 1 Cooperative Games | S | [ ν ( S ) − � � x i + i ∈ S x i ] if i ∈ S Cooperative y i = GameTheory 1 ν ( i ) + | N \ S | [ ν ( N ) − ( ν ( S ) + � ∈ S ν ( i ))] if i / ∈ S . A Survey of i / Different Solution Concepts Claim: A Small Market Imputations and the Core ◮ y i > x i for all i ∈ S The Glove Market Divide the Dollar ◮ ν ( S ) ≥ � i ∈ S y i Dominance Relations Other Solution Concepts ◮ y is an imputation Shapley Value ◮ y i ≥ ν ( i ) for all i Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  86. Cooperative Game Dominance Relations Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and 1 Cooperative Games | S | [ ν ( S ) − � � x i + i ∈ S x i ] if i ∈ S Cooperative y i = GameTheory 1 ν ( i ) + | N \ S | [ ν ( N ) − ( ν ( S ) + � ∈ S ν ( i ))] if i / ∈ S . A Survey of i / Different Solution Concepts Claim: A Small Market Imputations and the Core ◮ y i > x i for all i ∈ S The Glove Market Divide the Dollar ◮ ν ( S ) ≥ � i ∈ S y i Dominance Relations Other Solution Concepts ◮ y is an imputation Shapley Value ◮ y i ≥ ν ( i ) for all i Definition River Cleanup ◮ � i y i = ν ( N ) Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  87. Cooperative Game Dominance Relations Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and 1 Cooperative Games | S | [ ν ( S ) − � � x i + i ∈ S x i ] if i ∈ S Cooperative y i = GameTheory 1 ν ( i ) + | N \ S | [ ν ( N ) − ( ν ( S ) + � ∈ S ν ( i ))] if i / ∈ S . A Survey of i / Different Solution Concepts Claim: A Small Market Imputations and the Core ◮ y i > x i for all i ∈ S The Glove Market Divide the Dollar ◮ ν ( S ) ≥ � i ∈ S y i Dominance Relations Other Solution Concepts ◮ y is an imputation Shapley Value ◮ y i ≥ ν ( i ) for all i Definition River Cleanup ◮ � i y i = ν ( N ) Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Hence y is an imputation that dominates x . Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  88. Cooperative Game Stable Sets Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory Definition A Survey of A stable set is a set I of imputations such that Different Solution Concepts ◮ no imputation in I is dominated by any other A Small Market Imputations and the Core imputation in I The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  89. Cooperative Game Stable Sets Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory Definition A Survey of A stable set is a set I of imputations such that Different Solution Concepts ◮ no imputation in I is dominated by any other A Small Market Imputations and the Core imputation in I internally stable The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  90. Cooperative Game Stable Sets Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory Definition A Survey of A stable set is a set I of imputations such that Different Solution Concepts ◮ no imputation in I is dominated by any other A Small Market Imputations and the Core imputation in I internally stable The Glove Market Divide the Dollar ◮ every imputation not in I is dominated by some Dominance Relations Other Solution imputation in I . Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  91. Cooperative Game Stable Sets Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory Definition A Survey of A stable set is a set I of imputations such that Different Solution Concepts ◮ no imputation in I is dominated by any other A Small Market Imputations and the Core imputation in I internally stable The Glove Market Divide the Dollar ◮ every imputation not in I is dominated by some Dominance Relations Other Solution imputation in I . externally stable Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  92. Cooperative Game Stable Sets and Divide the Dollar Theory Examples: Jennifer Wilson I 1 = { (0 . 50 , 0 . 50 , 0) , (0 . 50 , 0 , 0 . 50) , (0 , 0 . 50 , 0 . 50) } Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  93. Cooperative Game Stable Sets and Divide the Dollar Theory Examples: Jennifer Wilson I 1 = { (0 . 50 , 0 . 50 , 0) , (0 . 50 , 0 , 0 . 50) , (0 , 0 . 50 , 0 . 50) } Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and I 2 = { 0 . 7 , x , 0 . 3 − x | 0 ≤ x ≤ 0 . 7 } Cooperative Games Cooperative GameTheory A Survey of Different Solution Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  94. Cooperative Game Stable Sets and Divide the Dollar Theory Examples: Jennifer Wilson I 1 = { (0 . 50 , 0 . 50 , 0) , (0 . 50 , 0 , 0 . 50) , (0 , 0 . 50 , 0 . 50) } Outline Introduction Relationship between Non-cooperative and I 2 = { 0 . 7 , x , 0 . 3 − x | 0 ≤ x ≤ 0 . 7 } Cooperative Games Cooperative GameTheory C=(0,0,1) A Survey of . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Different Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Small Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . • . . . . . . (1/2,0,1/2) . . . . . . . . . . . . . . (0,1/2,1/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imputations and the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Glove Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Divide the Dollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . Dominance Relations A=(1,0,0) (1/2,1/2,0) B=(0,1,0) Other Solution Concepts Shapley Value Definition C=(0,0,1) River Cleanup . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shapley-Shubik Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UN Security Council . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multichoice Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extensions of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cooperative Game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . Definitions A=(1,0,0) { 0 . 7 , x 2 , 0 . 3 − x 2 } B=(0,1,0) Examples Extensions of the Shapley Value

  95. Cooperative Game Other Solution concepts Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between ◮ Bargaining Set Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative ◮ Kernel GameTheory A Survey of ◮ Nucleolus Different Solution Concepts ◮ Shapley Value A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  96. Cooperative Game Other Solution concepts Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between ◮ Bargaining Set Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative ◮ Kernel GameTheory A Survey of ◮ Nucleolus Different Solution Concepts ◮ Shapley Value A Small Market Imputations and the Core Several solution concepts are based on the idea of the The Glove Market Divide the Dollar “excess” of an imputation. Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  97. Cooperative Game Other Solution concepts Theory Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between ◮ Bargaining Set Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative ◮ Kernel GameTheory A Survey of ◮ Nucleolus Different Solution Concepts ◮ Shapley Value A Small Market Imputations and the Core Several solution concepts are based on the idea of the The Glove Market Divide the Dollar “excess” of an imputation. Dominance Relations Other Solution Concepts � Shapley Value e ( x , S ) = ν ( S ) − x i Definition River Cleanup i ∈ S Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

  98. Cooperative Game The Shapley Value Theory [Shapley, 1953] Jennifer Wilson Outline Introduction Relationship between Given a cooperative game ν on N players, there exists a Non-cooperative and Cooperative Games Cooperative unique map φ : N → ℜ which assigns to each player i a GameTheory value φ i ( v ) satisfying A Survey of Different Solution Concepts A Small Market Imputations and the Core The Glove Market Divide the Dollar Dominance Relations Other Solution Concepts Shapley Value Definition River Cleanup Shapley-Shubik Power Index UN Security Council Multichoice Games Extensions of Cooperative Game Theory Definitions Examples Extensions of the Shapley Value

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