Chulan Kwon Myongji University, Korea ckwon@mju.ac.kr - PowerPoint PPT Presentation

Chulan ¡Kwon ¡ Myongji ¡University, ¡ ¡Korea ¡ ckwon@mju.ac.kr ¡ In ¡collabora>on ¡with ¡ Jaegon ¡Um, ¡Uni-­‑Wuerzburg, ¡ ¡Germany ¡ ¡ Jae ¡Dong ¡Noh, ¡University ¡of ¡Seoul, ¡Korea ¡ Hyunggyu ¡Park, ¡KIAS, ¡Korea ¡ I. Feedback ¡control: ¡the ¡exorcism ¡of ¡Maxwell’s ¡demon ¡ II. Post-­‑measurement ¡process ¡ III. Mul>-­‑step ¡feedback ¡control ¡with ¡>me ¡delay ¡ IV. Cold ¡damping ¡ V. Summary ¡

I. ¡Feedback ¡control: ¡the ¡exorcism ¡of ¡a ¡Maxwell’s ¡demon ¡ 1. The ¡paradox ¡of ¡Maxwell’s ¡demon: ¡the ¡viola>on ¡of ¡2 nd ¡law ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡-­‑-­‑ ¡Maxwell ¡(1867), ¡Szilard ¡(1929), ¡Landauer(1961), ¡…. ¡ Szilard ¡engine ¡ ∆ S = − Q T = − k B ln 2 < 0 Incomplete ¡exorcism ¡ Demonic ¡entropy ¡ • ∆ S DM = k B ln 2 , ∆ ( S + S DM ) = 0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡The ¡state ¡of ¡demon? ¡ ¡ Landauer’s ¡principle ¡ • ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ W eraser ≥ k B T ln 2 , Q eraser /T ≥ k B ln 2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Nothing ¡to ¡do ¡with ¡the ¡system’s ¡>me ¡evolu>on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

used ¡ empty ¡ 2. ¡Feedback ¡control ¡ erased ¡ X ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Bit ¡ Hidden ¡ informa>on ¡ process ¡ ¡ ¡ ¡ ¡process ¡ Y = 0 1 erasure ¡ measurement ¡ system ¡ ¡ ¡state ¡ measurement ¡ ¡ ¡ ¡ ¡outcome ¡ X Y memory ¡ ¡ ¡ ¡state ¡ λ ( Y ) feedback ¡ protocol, ¡external ¡field ¡ Post-­‑measurement ¡ → X 0 fixed Y X − observable ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡process ¡ Fluctua6on ¡ h e − ∆ S total i = 1 ∆ S total = ∆ S sys + ∆ S env − ∆ I ¡ ¡theorem ¡ T. ¡Sagawa ¡and ¡M. ¡Ueda, ¡PRL ¡(2012); ¡NJP ¡(2013) ¡ Generalized ¡2 nd ¡law ¡ h ∆ S total i � 0 S. ¡Ito ¡and ¡T. ¡Sagawa, ¡PRL ¡(2013) ¡

II. ¡Fluctua>on ¡theorem ¡for ¡post-­‑measurement ¡process ¡ Schema>c ¡view ¡ X : state of the system (gas) M : microstate of the physical memory device (bit memory in Fig) Y : outcome of measurement for X, coarse-grained state of the device Measurement ¡ M i , Y i M 0 X i i − 1 i + 1 · · · · · · p 0 M i − 2 M i − 1 M i M 0 M 0 M 0 Y i − 2 Y i − 1 Y i 0 ¡ 1 ¡ M Y = measurement ¡ feedback ¡ Y i X : fixed Post-­‑measurement ¡ p 1 X 0 X Y i : fixed M i : resultant memory state in i -th measurement M 0 : unused memory state → Y X 0 : state change with fixed protocol Y , post-measurement process X −

Probability ¡of ¡measurement ¡ 1 (2 πσ ) d/ 2 e − 1 2 σ ( y − q ) 2 ρ ( y | q ) = outcome ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡given ¡ ¡ ¡ y system ¡state ¡ ¡ q  1 − ✏ y = 1 x = 1  Szilard engine  y = 0 x = 1  ✏ ⇢ ( y | x ) = 1 − ✏ y = 0 x = 0 x, y = 0 (LEFT), 1 (RIGHT)   y = 1 x = 0  ✏ Post-­‑measurement ¡process ¡ y : external protocol by ¡feedback ¡control ¡ ¡ p = − γ p ˙ m + f ( x , t ) + g ( y ) + z ( t ) h z i ( t ) z j ( t 0 ) i = 2 γ T δ ( t � t 0 )

Schnackenberg, ¡1976, ¡master ¡equa>on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Environmental ¡ P [ q ( t ) , 0 < t < ⌧ ; y ] P [ q 0 → q τ ; y ] e ∆ S env = P [ ✏ q ( ⌧ − t ) , 0 < t < ⌧ ; ✏ y ] = entropy ¡produc>on ¡ ¡ ¡ ¡ P [ ✏ q 0 ← ✏ q τ ; ✏ y ] p ✏ : parity operator q τ y trajectory ¡ q ( t ) = ( x ( t ) , p ( t )) q 0 x ✏ q 0 >me-­‑reverse ¡trajectory ¡ ✏ y ✏ q ( ⌧ − t ) = ( x ( ⌧ − t ) , − p ( ⌧ − t )) ✏ q τ ∆ S env = Q anomalous ¡entropy ¡produc>on ¡ g ( − y ) = − g ( y ) T + ∆ S odd ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡due ¡to ¡odd-­‑parity ¡force ¡

e ∆ S tot = ⇢ ( q 0 ) ⇢ ( y | q 0 ) P [ q 0 → q τ ; y ] = P F Total ¡entropy ¡produc>on ¡ P [ ✏ q 0 ← ✏ q τ ; ✏ y ] ⇢ ( q τ , y ) P R Z Z ρ ( q τ , y ) = D q ( t ) ρ ( q 0 ) ρ ( y | q 0 ) P [ q 0 → q τ ; y ] d q 0 = ρ ( q τ ) ρ c ( y | q τ ) Fluctua>on ¡Theorem ¡ P F P R X h e − ∆ S tot i = 1 P F = 1 � ! h ∆ S tot i � 0 q 0 , q ( t ) ∆ S tot = − ln ρ ( q τ ) ρ ( q 0 ) + ∆ S env − ln ρ c ( y | q τ ) ρ ( y | q 0 ) = − ln ρ ( q τ ) ρ ( q 0 ) + ∆ S env − ln ρ c ( y | q τ ) ρ ( y ) ρ ( y ) ρ ( y | q 0 ) = ∆ S sys + ∆ S env − ∆ I I ( y : q 0 ) = ln ρ ( y , q 0 ) ρ ( q 0 ) ρ ( y ) = ln ρ ( q 0 | y ) = ln ρ ( y | q 0 ) ¡ ¡ ¡ ¡Mutual ¡ ρ ( q 0 ) ρ ( y ) informa>on ¡ I ( y : q τ ) = ρ c ( y | q τ ) ρ ( y )

x − 1 ≥ ln x → ln x ≥ 1 − 1 x dy P ( Y | X ) P ( X ) ln P ( Y | X ) Z Z dx P ( Y ) ✓ ◆ Z Z P ( Y ) � dy P ( Y | X ) P ( X ) 1 � = 0 , h I i � 0 dx P ( Y | X ) Entropy of joint probability P ( X, Y ) = the volume of X ∪ Y mutual information = the volume of X ∩ Y more ¡correla>on, ¡more ¡informa>on ¡ Less ¡correla>on, ¡less ¡informa>on ¡ X X Y Y ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡lower ¡entropy ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡higher ¡entropy ¡ higher ¡mutual ¡informa>on ¡ lower ¡mutual ¡informa>on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡at ¡measurement ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡in ¡post-­‑measurement ¡ Entropy is increased by the amount | ∆ I | = − ∆ I

III. ¡Mul>-­‑step ¡feedback ¡control ¡with ¡>me ¡delay ¡ Measurement at time t i : y i Process in time delay δ : q i → q 0 i by previous protocol y i � 1 Feedback process in time interval ∆ : q 0 i → q i +1 by new protocol y i q 0 q 0 q 0 q i q i +1 i +1 · · · i i � 1 y i − 1 y i − 1 y i y i · · · ∆ ∆ δ δ · · · P [ q 0 i � 1 → q i , ∆ ; y i � 1 ] ρ ( y i | q i ) P [ q i → q 0 i , δ ; y i � 1 ] P [ q 0 i → q i +1 , ∆ ; y i ] ρ ( y i +1 | q i ) · · · process between t i and t i +1 Joint PDF at measurement i Z Z ρ ( q i , y i − 1 ) = d q 0 D [ q 0 i � 1 → q i ] ρ ( q 0 i � 1 ) P [ q 0 i � 1 → q i , ∆ ; y i � 1 ] i � 1 Joint PDF after measurement i ρ ( q i , y i − 1 , y i ) = ρ ( q i , y i − 1 ) ρ ( y i | q i ) Joint PDF before measurement i + 1 Z Z ρ ( q i +1 , y i , y i − 1 ) = D [ q i → q i +1 ] ρ ( q i , y i − 1 , y i ) d q i × P [ q i → q 0 i , ∆ ; y i � 1 ] P [ q 0 i → q i +1 , ∆ ; y i ]

Total ¡entropy ¡produc>on ¡ e ∆ S tot = P F P R = ρ ( q i , y i − 1 , y i ) P [ q i → q 0 i , � ; y i � 1 ] P [ q 0 i → q i +1 , ∆ ; y i ] P [ ✏ q i → ✏ q 0 i , � ; y i � 1 ] P [ ✏ q 0 i → ✏ q i +1 , ∆ ; ✏ y i ] ρ ( q i +1 , y i − 1 , y i ) Fluctua>on ¡theorem ¡ P F · P R X h e − ∆ S tot i = 1 P F = 1 * q Generalized ¡2 nd ¡law ¡ h ∆ S tot i � 0 ∆ S tot = − ln ρ ( q i , y i − 1 , y i ) ρ ( q i +1 , y i − 1 , y i ) + ∆ S env, δ + ∆ S env, ∆ = ∆ S sys − ∆ I ( q : y i − 1 , y i ) + ∆ S env

IV. ¡Cold ¡damping ¡ Kim ¡& ¡Qian, ¡PRL, ¡2007; ¡Jourdan ¡et ¡al, ¡ ¡Nanotechnology, ¡2007; ¡ Ito ¡& ¡Sano, ¡PRE, ¡2011 ¡ y ¡ E ¡ feedback ¡ E = − γ 0 y g = − γ 0 y q , v ¡ v ¡ measure ¡ v = � γ v � γ 0 y + ξ ( t ) , h ξ ( t ) ξ ( t 0 ) i = 2 γ T δ ( t � t 0 ) , ˙ f ( x ) = 0 , m = 1 v 0 v i y i − 1 v 0 v i +1 y i · · · i � 1 y i − 1 i · · · y i ∆ ∆ δ δ step i u = v + γ 0 u = − γ u + ξ γ y ˙

Joint PDF at i � 1 / 2  a i c i − b 2 2 ( a i v 2 i − b i v i y i − 1 + c i y 2 e − 1 i i − 1 ) ρ ( v i , y i − 1 ) = 2 π c i Temperature at i T i = a i c i − b 2 i 1 2 σ ( y − v i ) 2 2 πσ e − 1 Measurement probability ρ ( y i | v i ) = √ Propagator for v i → v 0 i → v i +1 � 1 / 2 � 1 / 2  A δ  A ∆ A δ e � A ∆ i � e � γδ u i ) 2 ( u i +1 � e � γ ∆ u 0 2 ( u 0 i ) P ( v i → v 0 e � i → v i +1 ) = 2 π 2 π where u i = v i + γ 0 i + γ 0 γ y i � 1 , u i +1 = v i +1 + γ 0 γ y i � 1 , u 0 i = v 0 γ y i A δ = β (1 − e − 2 γδ ) − 1 , A ∆ = β (1 − e − 2 γ ∆ ) − 1 β = T − 1 inverse temperature of heat bath Joint PDF for v i , y i � 1 , v 0 i , v i +1 , y i : Gaussian with 5 variables P ( v i , y i � 1 , v 0 i , v i +1 , y i ) = ρ ( v i , y i � 1 ) ρ ( y i | v i ) P ( v i → v 0 i → v i +1 )