ADJOINT APPROACH TO ACCELERATOR LATTICE DESIGN* T.M. - PowerPoint PPT Presentation

ADJOINT ¡APPROACH ¡ ¡TO ¡ ACCELERATOR ¡LATTICE ¡DESIGN* ¡ ¡ T.M. ¡Antonsen, ¡I. ¡Haber, ¡B. ¡L. ¡Beaudoin ¡ Ins6tute ¡for ¡Research ¡in ¡Electronics ¡and ¡ Applied ¡Physics ¡ University ¡of ¡Maryland ¡ * ¡Supported ¡by ¡US ¡DoE ¡under ¡grant ¡DESC0010301 ¡ ¡ ¡

Op6miza6on ¡of ¡Focusing ¡Magnets ¡in ¡ Accelerator ¡LaNces ¡ ¡ The ¡University ¡of ¡Maryland ¡Electron ¡Ring ¡ UMER ¡is ¡a ¡fully ¡func8onal ¡electron ¡storage ¡ring ¡

UMER ¡Systems ¡and ¡Layout ¡ § ¡167 ¡Magnets, ¡power ¡supplies ¡& ¡ ¡ ¡ ¡ ¡controls. ¡ ¡ ¡ x’=dx/ds ¡ Transverse ¡ Phase ¡space ¡ ¡ ¡ x ¡ x’=dx/ds ¡ Want ¡to ¡avoid ¡ trajectories ¡outside ¡ here ¡ x ¡

Goal: ¡Develop ¡an ¡efficient ¡approach ¡to ¡compu6ng ¡ the ¡parameter ¡gradient ¡of ¡a ¡Figure ¡of ¡Merit ¡ Direct ¡Approach : ¡ ¡ ¡Vary ¡individually ¡strength ¡and ¡posi6on ¡of ¡each ¡magnet ¡ ¡ ¡Evaluate ¡a ¡Figure ¡of ¡Merit ¡(FoM) ¡ ¡Many ¡computa6ons ¡( ¡ ¡≈ ¡Number ¡of ¡parameters) ¡ ¡ ¡ Adjoint ¡Approach : ¡ ¡For ¡a ¡given ¡Figure ¡of ¡Merit, ¡solve ¡a ¡related ¡problem ¡for ¡the ¡ ¡sensi6vity ¡of ¡the ¡FoM ¡to ¡all ¡parameters ¡( ¡single ¡computa6on) ¡ Reciprocity ¡of ¡ Antenna ¡Receiving ¡ and ¡Sending ¡Pa`erns ¡ V ¡ V ¡ Receiving ¡ Sending ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Adjoint ¡Treatment ¡Electron ¡ ¡T. ¡Antonsen, ¡D. ¡Chernin, ¡J. ¡Pe6llo, ¡ Physics ¡of ¡Plasmas ¡26, ¡013109 ¡(2019) ¡ Gun ¡ Parameters : ¡shape ¡of ¡the ¡anode, ¡ ¡ Figure ¡of ¡merit: ¡ RMS ¡beam ¡radius ¡ Problem ¡#1 ¡ A ¡ δ Φ A ( x ) anode ¡ Due ¡to ¡wall ¡displacement ¡ K ¡ Change ¡in ¡Metric ¡–δ FoM , ¡ cathode ¡ ¡e.g. ¡RMS ¡ ¡beam ¡radius ¡ C ¡ Problem ¡#2 ¡ δ E n Calculate ¡and ¡record ¡change ¡in ¡ A ¡ normal ¡E. ¡ Reverse ¡and ¡perturb ¡electron ¡ K ¡ coordinates, ¡ depends ¡on ¡metric ¡ C ¡ Electrons ¡run ¡backwards ¡ ∫ δ FoM ∝ dA δ E n δ Φ A The ¡sensi6vity ¡func6on ¡

Iterates until converged ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ( x − x j ( t )) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Governing ¡Equa6ons ¡ x j δ I j dt ! c j Tj ∫ 0 −∇ 2 Φ = 4 πρ , −∇ 2 A = 4 π Accumulate charge and current density ∑ Equations of motion for N particles j=1,N j j ( x ) = Michelle: Petillo, J; Eppley, K; Panagos, D; et al., IEEE TPS 30, 1238-1264 (2002). ( x − x j ( t )), = −∂ H ∂ x I j dt δ d p j dt Tj ∫ 0 ! ∑ = ∂ H ∂ p j Solve ρ ( x ) = ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ d x j dt !

Reference Solution + Two Linearized Solutions ( ) → x j , p j ( ) + δ x j , δ p j ( ) ! x j , p j Two Linearized Solutions [ δ x j ( X ) ( t ), δ p j ( X ) ( t )] ! ρ ( x ) → ρ ( x ) + δρ ( x ) true ! [ δ x j ( Y ) ( t ), δ p j ( Y ) ( t )] ! Φ ( x ) → Φ ( x ) + δ Φ ( x ) adjoint ! Subject to different BC’s Reference ¡Solu6on ¡ Perturba6on ¡ Generalized Green’s Theorem ( ) = − q ( Y ) − δ p j L d 2 x δφ ( X ) n ⋅∇ δφ ( Y ) + ∑ ∫ ∫ δ p j ( X ) ⋅ δ x j ( Y ) ⋅ δ x j ( X ) q d 3 x δ j m ( X ) ⋅ δ A ( Y ) I j 4 π 0 ! j B ( ) ↔ Y ( ) ⎡ ⎤ ! + X ⎣ ⎦ ¡T. ¡Antonsen, ¡D. ¡Chernin, ¡J. ¡Pe6llo, ¡2018 ¡arXiv:1807.07898, ¡ ¡ Physics ¡of ¡Plasmas ¡26, ¡013109 ¡(2019) ¡

Adjoint ¡Rela6on ¡ Beam ¡Par6cles ¡ Simula6on ¡boundary ¡ Z=L ¡ Z=0 ¡ I j ( ) ( Y ) − δ p j L ∑ δ p j ( X ) ⋅ δ x j ( Y ) ⋅ δ x j ( X ) = I 0 ! j Difference ¡of ¡symplec6c ¡ − q ( ) ↔ Y ( ) 4 π I d 2 x δφ ( X ) n ⋅∇ δφ ( Y ) − areas ¡entering ¡and ¡leaving ¡ ∫ ⎡ ⎤ X ⎣ ⎦ ! B Changes ¡in ¡field ¡flux ¡on ¡ boundary ¡

SensiFvity ¡of ¡Beam ¡Radius ¡to ¡ ¡T. ¡Antonsen, ¡D. ¡Chernin, ¡J. ¡ Electrode ¡Shape ¡ Pe6llo, ¡Physics ¡of ¡Plasmas ¡ 26, ¡013109 ¡(2019) ¡ Particles perturbed and run backwards Sensitivity to changes in electrode position Change in symplectic area I j ( ) 0 = − q ε 0 ( Y ) − δ p j d 2 x δφ ( X ) n ⋅∇ δφ ( Y ) + L ∑ ∫ ∫ δ p j ( X ) ⋅ δ x j ( Y ) ⋅ δ x j δ j m ⋅ δ A ( Y ) ( X ) q d 3 x I I ! j B Appropriate choice of Sensitivity to changes I j ( X ) ⋅ x ⊥ j = − λ ∑ 2 perturbed coordinates − λ δ x j 2 δ x ⊥ I ! j

Circular ¡Accelerators-­‑Periodicity ¡ Need ¡to ¡maintain ¡ periodicity ¡of ¡distribu6on, ¡ not ¡individual ¡orbits ¡ z=0, ¡z=L ¡ Pick ¡nonperiodic ¡ adjoint ¡coordinate ¡ perturba6ons ¡to ¡realize ¡ desired ¡FoM ¡ I j ( ) ( Y ) − δ p j L ∑ δ p j ( X ) ⋅ δ x j ( Y ) ⋅ δ x j ( X ) = I 0 j − q ( ) ↔ Y ( ) 4 π I d 2 x δφ ( X ) n ⋅∇ δφ ( Y ) + ( X ) ⋅ δ A ( Y ) + ∫ ∫ ⎡ ⎤ q d 3 x δ j m X ⎣ ⎦ ! B

Progress/Problems ¡-­‑ ¡Circular ¡ Accelerators ¡ 1. Finding ¡a ¡periodic ¡reference ¡solu6on ¡ 2. Construc6ng ¡nonperiodic ¡adjoint ¡solu6on ¡to ¡give ¡desired ¡FoM ¡ 3. Achieved ¡for ¡moment ¡(envelope) ¡Eqs. ¡ a(z ) ¡ z ¡ Hamiltonian ¡System ¡ d 2 a + b + ε 2 dz 2 a ( z ) = k x ( z ) a + K b(z ) ¡ a ! Quadrupole ¡ Emmi`ance ¡ Focusing ¡ WARP: ¡A. ¡Friedman, ¡et ¡al., ¡ IEEE ¡Trans. ¡Plasma ¡Sci. ¡42(5), ¡ Space ¡Charge ¡ 1321 ¡(2014). ¡ ¡