A ¡SPARSE-‑GRAPH-‑CODED ¡FILTER ¡BANK ¡APPROACH ¡ TO ¡MINIMUM-‑RATE ¡SPECTRUM-‑BLIND ¡SAMPLING ¡ ¡ Orhan ¡Ocal, ¡Xiao ¡Li ¡and ¡Kannan ¡Ramchandran ¡ UC ¡Berkeley ICASSP ¡2016 ¡ SHANGHAI
Outline • Problem ¡statement ¡and ¡prior ¡work ¡ • Our ¡contribution ¡ • Sparse-‑graph-‑coded ¡filter ¡bank ¡ • Signal ¡recovery ¡as ¡decoding ¡on ¡sparse ¡graph ¡codes ¡ • Numerical ¡validation 2
Signal ¡model • Complex ¡valued ¡ example • Band ¡limited ¡ • Sparse ¡frequency ¡support 3
Sampling ¡signals ¡with ¡sparse ¡spectra 4
Sampling ¡signals ¡with ¡sparse ¡spectra Nyquist ¡rate ¡ f M ¡works 4
Sampling ¡signals ¡with ¡sparse ¡spectra Nyquist ¡rate ¡ f M ¡works Landau ¡[1967] ¡ • Know ¡the ¡frequency ¡support ¡ • Sample ¡at ¡rate ¡ f L (Landau ¡rate) 4
Sampling ¡signals ¡with ¡sparse ¡spectra Nyquist ¡rate ¡ f M ¡works Landau ¡[1967] ¡ • Know ¡the ¡frequency ¡support ¡ • Sample ¡at ¡rate ¡ f L (Landau ¡rate) Sampling ¡not ¡knowing ¡the ¡frequency ¡support ¡(spectrum-‑blind) 4
Some ¡prior ¡work ¡on ¡spectrum-‑blind ¡sampling • Feng ¡and ¡Bresler ¡[1996] ¡ • Semi-‑blind ¡sampling ¡at ¡rate ¡ f L 5
Some ¡prior ¡work ¡on ¡spectrum-‑blind ¡sampling • Feng ¡and ¡Bresler ¡[1996] ¡ • Semi-‑blind ¡sampling ¡at ¡rate ¡ f L • Lu ¡and ¡Do ¡[2008] ¡ • 2 f L ¡is ¡necessary ¡and ¡sufficient ¡for ¡adversarial ¡setting 5
Some ¡prior ¡work ¡on ¡spectrum-‑blind ¡sampling • Feng ¡and ¡Bresler ¡[1996] ¡ • Semi-‑blind ¡sampling ¡at ¡rate ¡ f L • Lu ¡and ¡Do ¡[2008] ¡ • 2 f L ¡is ¡necessary ¡and ¡sufficient ¡for ¡adversarial ¡setting • Mishali ¡and ¡Eldar ¡[2009] ¡ • Compressive ¡sensing ¡framework ¡ • Constructive ¡scheme ¡cannot ¡match ¡ 2 f L 5
Our ¡contributions Coding ¡theory Sampling ¡theory Our ¡approach • Minimum-‑rate ¡ spectrum-‑blind ¡sampling ¡ • Coding ¡theory ¡ and ¡sampling ¡theory ¡ • Capacity-‑approaching ¡codes ¡for ¡erasure ¡channels ¡ ¡ • Filter ¡banks ¡that ¡approach ¡Landau ¡rate ¡for ¡sampling 6
Main ¡result 7
Main ¡result Remarks ¡ • Under ¡genericity ¡assumptions ¡ f s = f L • Computational ¡cost ¡ O(f L ) ¡ independent ¡of ¡ f M • First ¡work ¡to ¡achieve ¡this ¡ • Can ¡be ¡extended ¡to ¡handle ¡sampling ¡noise 7
Filter ¡bank ¡for ¡sampling 8
Filter ¡bank ¡for ¡sampling 8
Filter ¡bank ¡for ¡sampling • Sample ¡the ¡signal ¡at ¡rate ¡ B 8
Filter ¡bank ¡for ¡sampling • Sample ¡the ¡signal ¡at ¡rate ¡ B • Filter ¡and ¡then ¡sample ¡at ¡rate ¡ B H(f) 8
Filter ¡bank ¡for ¡sampling • Sample ¡the ¡signal ¡at ¡rate ¡ B • Filter ¡and ¡then ¡sample ¡at ¡rate ¡ B H(f) 8
Filter ¡bank ¡for ¡sampling • Sample ¡the ¡signal ¡at ¡rate ¡ B • Filter ¡and ¡then ¡sample ¡at ¡rate ¡ B H(f) 8
Filter ¡bank ¡for ¡sampling • Sample ¡the ¡signal ¡at ¡rate ¡ B • Filter ¡and ¡then ¡sample ¡at ¡rate ¡ B H(f) 8
Filter ¡bank ¡for ¡sampling Aggregate ¡sampling ¡rate: , ¡Nyquist ¡rate ¡for ¡ x(t) 9
‘Sparse-‑graph-‑coded’ ¡filter ¡bank m ¡filters ¡ N ¡bands 10
‘Sparse-‑graph-‑coded’ ¡filter ¡bank m ¡filters ¡ N ¡bands 10
‘Sparse-‑graph-‑coded’ ¡filter ¡bank m ¡filters ¡ N ¡bands where matrix 10
Example ¡— ¡sparse ¡graph ¡underlying ¡the ¡measurements A B C D E F 11
Example ¡— ¡sparse ¡graph ¡underlying ¡the ¡measurements A B C D E F 11
Example ¡— ¡sparse ¡graph ¡underlying ¡the ¡measurements A B C D E Sparse ¡bipartite ¡graph F 11
` A B C D E F 12
` A B visual ¡cleaning ¡for ¡presentation: ¡ C remove ¡edges ¡that ¡connect ¡to ¡non-‑active ¡bands D E F 12
` A B visual ¡cleaning ¡for ¡presentation: ¡ C remove ¡edges ¡that ¡connect ¡to ¡non-‑active ¡bands D E F 12
Example ¡— ¡peeling Measurement ¡classification ¡ A zero-‑ton: ¡ ¡ ¡ ¡ no ¡signal ¡ B single-‑ton: ¡ no ¡aliasing ¡ C multi-‑ton: ¡ ¡ aliasing D E F 13
Example ¡— ¡peeling Measurement ¡classification ¡ A zero-‑ton: ¡ ¡ ¡ ¡ no ¡signal ¡ B single-‑ton: ¡ no ¡aliasing ¡ C multi-‑ton: ¡ ¡ aliasing D E F 13
Example ¡— ¡peeling Measurement ¡classification ¡ A zero-‑ton: ¡ ¡ ¡ ¡ no ¡signal ¡ B single-‑ton: ¡ no ¡aliasing ¡ C multi-‑ton: ¡ ¡ aliasing D E F 13
Example ¡— ¡peeling Measurement ¡classification ¡ A zero-‑ton: ¡ ¡ ¡ ¡ no ¡signal ¡ B single-‑ton: ¡ no ¡aliasing ¡ C multi-‑ton: ¡ ¡ aliasing D E F 13
Example ¡— ¡peeling bands channels Measurement ¡classification ¡ zero-‑ton: ¡ ¡ ¡ ¡ no ¡signal ¡ A single-‑ton: ¡ no ¡aliasing ¡ B multi-‑ton: ¡ ¡ aliasing C Assume ¡a ¡ mechanism : ¡ D identifies ¡which ¡channels ¡have ¡ E no ¡aliasing ¡(here ¡B ¡and ¡F) ¡and ¡ maps ¡them ¡to ¡which ¡bands ¡they ¡ F came ¡from ¡(here ¡1 ¡and ¡4 ¡resp.) 14
Example ¡— ¡peeling bands channels mechanism : ¡ identifies ¡which ¡channels ¡have ¡ A no ¡aliasing ¡and ¡maps ¡them ¡to ¡ which ¡bands ¡they ¡came ¡from ¡ B output: C channel ¡B: ¡(red, ¡index ¡= ¡1) ¡ D channel ¡F: ¡(blue, ¡index ¡= ¡4) E F 15
Example ¡— ¡peeling bands channels mechanism : ¡ identifies ¡which ¡channels ¡have ¡ A no ¡aliasing ¡and ¡maps ¡them ¡to ¡ which ¡bands ¡they ¡came ¡from ¡ B output: C channel ¡B: ¡(red, ¡index ¡= ¡1) ¡ D channel ¡F: ¡(blue, ¡index ¡= ¡4) E peel ¡from ¡channels ¡they ¡alias ¡into! F 16
Example ¡— ¡peeling bands channels mechanism : ¡ identifies ¡which ¡channels ¡have ¡ A no ¡aliasing ¡and ¡maps ¡them ¡to ¡ which ¡bands ¡they ¡came ¡from B C D E F 17
Example ¡— ¡peeling bands channels mechanism : ¡ identifies ¡which ¡channels ¡have ¡ A no ¡aliasing ¡and ¡maps ¡them ¡to ¡ which ¡bands ¡they ¡came ¡from ¡ B output: C channel ¡D: ¡(green, ¡index ¡= ¡8) ¡ D channel ¡E: ¡(cyan, ¡index ¡= ¡5) E F 18
Example ¡— ¡peeling bands channels mechanism : ¡ identifies ¡which ¡channels ¡have ¡ A no ¡aliasing ¡and ¡maps ¡them ¡to ¡ which ¡bands ¡they ¡came ¡from ¡ B output: C channel ¡D: ¡(green, ¡index ¡= ¡8) ¡ D channel ¡E: ¡(cyan, ¡index ¡= ¡5) E peel ¡from ¡channels ¡they ¡alias ¡into! F 19
Example ¡— ¡peeling bands channels mechanism : ¡ identifies ¡which ¡channels ¡have ¡ A no ¡aliasing ¡and ¡maps ¡them ¡to ¡ which ¡bands ¡they ¡came ¡from B signal ¡is ¡completely ¡recovered! C D E F 20
Construction ¡of ¡the ¡sparse-‑graph ¡code bands channels • Designed ¡through ¡ capacity-‑ approaching ¡sparse-‑graph ¡codes ¡ • Connect ¡each ¡ band ¡to ¡ channels ¡at ¡ random ¡according ¡to ¡a ¡carefully ¡ chosen ¡degree ¡distribution ¡ • Asymptotically, ¡ number ¡of ¡channels ¡ equals ¡to ¡ number ¡of ¡active ¡bands 21
Peeling ¡in ¡discrete-‑time ¡domain frequency ¡domain time ¡domain A B perform ¡the ¡peeling ¡on C discrete-‑time ¡samples D E F discrete ¡index ¡ n continuous ¡index ¡ f 22
Realizing ¡the ¡ mechanism Identify ¡which ¡channels ¡have ¡no ¡aliasing ¡and ¡map ¡them ¡to ¡bands same ¡magnitude ¡response ‘stairs’ ¡phase ¡response magnitude phase ¡stairs phase f M f M 0 0 identifies ¡blue ¡band 23
Sketch ¡of ¡proof Number ¡of ¡bands ¡N 24
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