Whoa! Lots of TLAs (Three LeSer Acronyms): will I - PowerPoint PPT Presentation

Nonlinearity ¡meets ¡Quantum ¡Mechanics: ¡ Intrinsic ¡Localized ¡Modes ¡(ILMs) ¡in ¡a ¡Bose-­‑Einstein ¡Condensate ¡(BEC) ¡ trapped ¡in ¡an ¡Op@cal ¡LaAce ¡(OL) ¡ ¡ David ¡Campbell ¡ Physics ¡482, ¡February ¡14, ¡2013 ¡

• Whoa! ¡Lots ¡of ¡TLAs ¡(Three ¡LeSer ¡Acronyms): ¡will ¡ I ¡understand ¡any ¡of ¡this?? ¡ • Nonlinear: ¡ ¡(a+b) 2 ¡≠ ¡a 2 ¡+ ¡b 2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡a 2 ¡+ ¡b 2 ¡+ ¡2ab ¡ – Chaos ¡(pictures) ¡ – “Solitons” ¡(pictures) ¡ • ILM ¡= ¡Intrinsic ¡Localized ¡Mode ¡~ ¡soliton ¡(pictures) ¡ • BEC ¡= ¡Bose-­‑Einstein ¡Condensate ¡~ ¡weird ¡state ¡of ¡ maSer ¡at ¡ultralow ¡temperature, ¡ ¡> ¡100,000 ¡ atoms ¡all ¡in ¡a ¡single ¡(macroscopic) ¡quantum ¡ state ¡!!! ¡(picture) ¡ • OL ¡= ¡Op@cal ¡LaAce ¡(picture) ¡

“ Chaos ” The “ Standard ” Map k Nonlinearity Parameter p p sin 2 q = − π n 1 n n + 2 π (MOD 1) q q p = + n 1 n n 1 + + For ¡ k ¡= ¡0 ¡(i.e. ¡no ¡nonlinearity) ¡ ¡ p p p Momentum Conserved = ≡ n 1 n 0 + q q p = + n 1 n 0 + 3

So orbits are straight lines of constant p=p o and q simply “ rotating ” around interval 1 p 0 = 4/5, q 0 = 0.1 p p 0 = 1/ √ 2, q 0 = arbitrary p 0 = 1/3, q 0 = 0.5 0 q 1 k 0 Chaos ! What about ? => ≠ The next images show behavior for k =1.1 4

Chaos ¡in ¡Standard ¡Map ¡ 5

Chaos ¡in ¡Standard ¡Map ¡ 6

Chaos ¡in ¡Standard ¡Map ¡ 7

Chaos ¡in ¡Standard ¡Map ¡ 8

Chaos ¡in ¡Standard ¡Map ¡ 9

Chaos ¡in ¡Standard ¡Map ¡ 10

Solitons: ¡Localized ¡ nonlinear ¡waves ¡ Soliton collision: V l = 3, V s =1.5 11

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Surfin ’ the Severn River 13

Defini@on ¡of ¡ILMs ¡and ¡BoSom ¡Line ¡ • Defini@on: ¡an ¡ “ intrinsic ¡localized ¡mode ” —or ¡ “ discrete ¡ breather ” —is ¡a ¡spa@ally ¡localized, ¡@me-­‑periodic, ¡stable ¡(or ¡at ¡ least ¡very ¡long-­‑lived) ¡excita@on ¡in ¡a ¡spa@ally ¡extended, ¡ perfectly ¡periodic, ¡discrete ¡system. ¡ • BoSom ¡Line: ¡The ¡mechanism ¡that ¡permits ¡the ¡existence ¡of ¡ ILMs/DBs ¡has ¡been ¡understood ¡theore@cally ¡for ¡more ¡than ¡a ¡ decade. ¡Only ¡recently ¡have ¡they ¡been ¡observed ¡in ¡physical ¡ systems ¡as ¡dis@nct ¡as ¡charge-­‑transfer ¡solids, ¡Josephson ¡ junc@ons, ¡photonic ¡structures, ¡and ¡micromechanical ¡oscillator ¡ arrays. ¡

ILMs ¡in ¡Op@cal ¡Waveguides ¡ Edge-­‑on ¡view ¡of ¡the ¡output ¡facet ¡of ¡ the ¡coupled ¡op@cal ¡waveguide ¡array ¡ shown ¡on ¡previous ¡slide. ¡ ¡The ¡input ¡ pulse ¡is ¡localized ¡at ¡the ¡center ¡of ¡the ¡ array. ¡At ¡low ¡power, ¡pulses ¡ propagate ¡linearly ¡and ¡ “ diffract ” ¡ across ¡en@re ¡array. ¡At ¡intermediate ¡ power, ¡nonlinear ¡effects ¡induce ¡ some ¡localiza@on. ¡At ¡high ¡power, ¡the ¡ pulse ¡remains ¡truly ¡localized ¡and ¡is ¡ an ¡example ¡of ¡an ¡ILM ¡in ¡these ¡ systems. ¡(From ¡Eisenberg ¡et ¡al). ¡

Bose-­‑Einstein ¡Condensates: ¡velocity ¡distribu@on ¡ “collapses” ¡to ¡a ¡single ¡wave ¡func@on ¡

BECs ¡in ¡an ¡Op@cal ¡LaAce ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Counter-­‑propaga@ng ¡laser ¡pulses ¡crea@ng ¡standing ¡ wave ¡that ¡interacts ¡with ¡atoms, ¡so ¡that ¡the ¡BEC ¡ experiences ¡a ¡periodic ¡poten@al ¡of ¡the ¡form: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡U L (x,y) ¡ is ¡transverse ¡confining ¡poten@al, ¡λ ¡is ¡the ¡laser ¡ wavelength ¡(typically ¡850 ¡nm) ¡and ¡“ z ” ¡is ¡the ¡direc@on ¡of ¡ mo@on. ¡ Image ¡from ¡I. ¡Bloch ¡ Nature ¡ 453 ¡1016-­‑1022 ¡(2008) ¡ ¡

Image ¡of ¡2D ¡op@cal ¡laAce ¡trapping ¡Bose ¡par@cles ¡ Egg ¡carton/marble ¡model ¡

• Now ¡DO ¡you ¡understand ¡the ¡TLAs ¡and ¡the ¡basic ¡ ideas ¡?? ¡Let’s ¡see: ¡ • Nonlinear: ¡ ¡(a+b) 2 ¡≠ ¡a 2 ¡+ ¡b 2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡a 2 ¡+ ¡b 2 ¡+ ¡2ab ¡ – Chaos ¡(pictures) ¡ – “Solitons” ¡(pictures) ¡ • ILM ¡= ¡Intrinsic ¡Localized ¡Mode ¡~ ¡soliton ¡(pictures) ¡ • BEC ¡= ¡Bose-­‑Einstein ¡Condensate ¡~ ¡weird ¡state ¡of ¡ maSer ¡at ¡ultralow ¡temperature, ¡ ¡> ¡100,000 ¡ atoms ¡all ¡in ¡a ¡single ¡(macroscopic) ¡quantum ¡ state ¡!!! ¡(picture) ¡ • OL ¡= ¡Op@cal ¡LaAce ¡(picture) ¡

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