Tractable Combina/ons of Global Constraints CP 2013, pp - PowerPoint PPT Presentation

Tractable ¡Combina/ons ¡ ¡ of ¡Global ¡Constraints ¡ CP ¡2013, ¡pp ¡230—246 ¡ ¡ Authors: ¡Cohen, ¡Jeavons, ¡Thornstensen, ¡Zivny ¡ Presented ¡by ¡Robert ¡Woodward ¡ Disclaimer: ¡ ¡ Some ¡slides ¡and ¡images ¡borrowed ¡from ¡the ¡authors ¡own ¡slides ¡at ¡CP ¡2013 ¡ 17 ¡Jan. ¡2014 ¡ COCOMEET-­‑-­‑Robert ¡Woodward ¡ 1 ¡

Main ¡Contribu/ons ¡ • Addresses ¡tractability ¡(of ¡ intersecQon) ¡of ¡global ¡constraints ¡ • IdenQfies ¡tractability ¡condiQons ¡for ¡ arbitrary ¡constraints ¡ 1. Polynomial ¡size ¡of ¡assignments ¡of ¡ constraints ¡intersecQons ¡ 2. Bounded ¡sizes ¡of ¡constraints ¡ • Shows ¡that ¡property ¡holds ¡for ¡ constraints ¡of ¡ 1. Extended ¡Global ¡Cardinality ¡(EGC) ¡ of ¡bounded ¡domains ¡ 2. PosiQve ¡Tables ¡ 3. NegaQve ¡Tables ¡ 17 ¡Jan. ¡2014 ¡ COCOMEET-­‑-­‑Robert ¡Woodward ¡ 2 ¡

Overview ¡ • MoQvaQng ¡Example ¡ • Restricted ¡Classes ¡of ¡CSPs ¡ – Acyclic ¡hypergraph ¡ – Treewidth ¡& ¡constraint ¡catalogue ¡ • Further ¡Constraint ¡RestricQons ¡ – Extensional ¡equivalence ¡ ¡ – OperaQons ¡on ¡sets ¡of ¡global ¡constraints ¡ – CooperaQng ¡constraint ¡catalogues ¡ • Polynomial-­‑Time ¡ReducQons ¡ – Take ¡the ¡dual ¡of ¡the ¡dual ¡ – Tractability ¡results ¡ • Conclusion ¡ 17 ¡Jan. ¡2014 ¡ COCOMEET-­‑-­‑Robert ¡Woodward ¡ 3 ¡

Mo/va/ng ¡Example ¡ • 5 ¡constraints: ¡ • Boolean ¡vars: ¡{x 1 ,x 2 ,…,x 3n } ¡ ¡ – C 1 : ¡(x 1 ∨ ¡ x 2n+1 ) ¡ ¡ ¡ – C 2 : ¡Exactly ¡one ¡literal ¡is ¡true ¡ ¡ ¡ – C 3 : ¡Exactly ¡one ¡literal ¡is ¡true ¡ ¡ ¡ – C 4 : ¡Exactly ¡n+1 ¡literals ¡are ¡true ¡ ¡ ¡ – C 5 : ¡(¬x n+1 ∨ ¡ ¬x n+2 ∨ ·√·√·√ ∨ ¡ ¬x 2n ) ¡ ¡ ¡ 17 ¡Jan. ¡2014 ¡ COCOMEET-­‑-­‑Robert ¡Woodward ¡ 4 ¡

Extended ¡Global ¡Cardinality ¡Constraint ¡ • For ¡every ¡domain ¡ • Example: ¡Timetabling ¡ element ¡ a ¡ – 6 ¡workers ¡{u,v,w,x,y,z} ¡ – K( a ) ¡a ¡finite ¡set ¡of ¡ – 5 ¡tasks ¡{a,b,c,d,e} ¡ natural ¡numbers ¡ – RestricQons ¡on ¡how ¡many ¡ – Cardinality ¡set ¡of ¡ a ¡ people ¡have ¡to ¡work ¡on ¡a ¡task ¡ • Requires ¡number ¡of ¡ variables ¡assigned ¡to ¡ a ¡to ¡be ¡in ¡the ¡set ¡K( a ) ¡ Example ¡from ¡[Samer+ ¡Constraints ¡11] ¡ 17 ¡Jan. ¡2014 ¡ COCOMEET-­‑-­‑Robert ¡Woodward ¡ 5 ¡

Mo/va/ng ¡Example ¡ All ¡constraints ¡are ¡instances ¡of ¡Extended ¡Global ¡Cardinality ¡(EGC) ¡constraints ¡ – C 1 : ¡(x 1 ∨ ¡ x 2n+1 ) ¡ ¡K(1)={1,2}, ¡K(0)={0,1} ¡ – C 2 : ¡Exactly ¡one ¡literal ¡is ¡true ¡ ¡K(1)={1}, ¡K(0)={n-­‑1} ¡ – C 3 : ¡Exactly ¡one ¡literal ¡is ¡true ¡ ¡K(1)={1}, ¡K(0)={n-­‑1} ¡ – C 4 : ¡Exactly ¡n+1 ¡literals ¡are ¡true ¡ ¡K(1)={n+1}, ¡K(0)={2n-­‑3} ¡ ¡ – C 5 : ¡(¬x n+1 ∨ ¡ ¬x n+2 ∨ ·√·√·√ ∨ ¡ ¬x 2n ) ¡ ¡K(1)={0,1,…,n-­‑1}, ¡K(0)={1,2,…,n} ¡ ¡ ¡ 17 ¡Jan. ¡2014 ¡ COCOMEET-­‑-­‑Robert ¡Woodward ¡ 6 ¡

Restricted ¡Classes ¡of ¡CSPs ¡ C 1 ¡ • Structural ¡restricQons ¡(e.g., ¡treewidth) ¡ C 2 ¡ C 3 ¡ • Hypergraph ¡is ¡acyclic ¡when ¡ Acyclic ¡ – Repeatedly ¡removing ¡ • all ¡hyperedges ¡contained ¡in ¡other ¡hyperedges, ¡and ¡ • all ¡verQces ¡contained ¡in ¡only ¡a ¡single ¡hyperedge ¡ – Eventually ¡deletes ¡all ¡verQces ¡ • Acyclic ¡hypergraph ¡ – Tractable ¡for ¡table ¡constraints ¡ Non-­‑acyclic ¡ • Alert ¡ – Hypergraph ¡of ¡a ¡global ¡constraint ¡has ¡a ¡single ¡edge, ¡is ¡acyclic ¡ – However, ¡not ¡every ¡global ¡constraint ¡is ¡tractable ¡ – Two ¡examples: ¡An ¡EGC ¡constraint ¡with ¡unbounded ¡& ¡bounded ¡ domains ¡ 17 ¡Jan. ¡2014 ¡ COCOMEET-­‑-­‑Robert ¡Woodward ¡ 7 ¡

Example ¡(I) : ¡EGC ¡constraint ¡with ¡unbounded ¡domain ¡ • EGC ¡constraint ¡with ¡unbounded ¡domain ¡ is ¡NP-­‑complete ¡ Variables ¡ Values ¡ EGC ¡K(a) ¡ – ReducQon ¡from ¡SAT ¡ – Example: ¡(x 1 ∨ x 2 ) ∧ (x̅ 1 ∨ x 2 ) ¡ C 1,1 ¡ C 1 ¡ {0,1} ¡ C 1,1 ¡ ¡ ¡ ¡ C 1,2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ C 2,1 ¡ ¡ ¡ C 2,2 ¡ C 1,2 ¡ C 2 ¡ {0,1} ¡ Consider ¡assignment: ¡ C 2,1 ¡ x 1 ¡ {0,2} ¡ x 1 ¡= ¡false ¡ C 2,2 ¡ x̅ 1 ¡ {0,2} ¡ x 2 ¡= ¡true ¡ x 1 ¡ x 2 ¡ {0,3} ¡ – Full ¡proof ¡in ¡ [Quimper+ ¡CP04] ¡ x 2 ¡ x̅ 2 ¡ {0,1} ¡ 17 ¡Jan. ¡2014 ¡ COCOMEET-­‑-­‑Robert ¡Woodward ¡ 8 ¡

Example ¡(II) : ¡EGC ¡constraint ¡with ¡bounded ¡domain ¡ • EGC ¡constraint ¡with ¡bounded ¡ domain ¡is ¡NP-­‑complete ¡ G ¡ – ReducQon ¡from ¡3-­‑coloring ¡G=(V,E) ¡ • CSP: ¡ ¡ – V ¡set ¡of ¡variables ¡ – Domains ¡{r,g,b} ¡ {r,g,b} ¡ {r,g,b} ¡ • For ¡every ¡edge ¡create ¡EGC ¡constraint ¡ – K(r)=K(g)=K(b)={0,1} ¡ • Make ¡hypergraph ¡acyclic ¡ {r,g,b} ¡ – EGC ¡constraint ¡with ¡scope ¡V ¡and ¡ – K’(r)=K’(g)=K’(b)={0,…,|V|} ¡ 17 ¡Jan. ¡2014 ¡ COCOMEET-­‑-­‑Robert ¡Woodward ¡ 9 ¡

Review ¡of ¡Acyclic ¡Hypergraphs ¡ • Guarantee ¡tractability ¡for ¡table ¡constraints ¡ • Do ¡not ¡guarantee ¡tractability ¡for ¡global ¡ constraints ¡ • Structural ¡restricQons ¡alone ¡do ¡not ¡guarantee ¡ tractability ¡in ¡general! ¡ • Need ¡hybrid ¡restricQons ¡that ¡restrict ¡both ¡ – structure ¡& ¡ – nature ¡of ¡the ¡constraints ¡ 17 ¡Jan. ¡2014 ¡ COCOMEET-­‑-­‑Robert ¡Woodward ¡ 10 ¡

Tree ¡Decomposi/on ¡ A ¡tree ¡decomposiQon: 〈 T , 𝝍 , 𝜔〉 CondiQons ¡ • • – T : ¡a ¡tree ¡of ¡clusters ¡ – Each ¡constraint ¡appears ¡in ¡at ¡least ¡ one ¡cluster ¡with ¡all ¡the ¡variables ¡ – 𝝍 : maps ¡variables ¡to ¡clusters ¡ in ¡the ¡constraint’s ¡scope ¡ ¡ – 𝜔 : maps ¡constraints ¡to ¡clusters ¡ – For ¡every ¡variable, ¡the ¡clusters ¡ where ¡the ¡variable ¡appears ¡ induce ¡a ¡connected ¡subtree D ¡ 𝝍 (C1) ¡ R 4 ¡ R 5 ¡ C 1 ¡ 𝜔 (C1) ¡ G ¡ { A,B,C,E } ¡ ¡ , ¡ { R 2 ,R 3 } ¡ R 3 ¡ C 3 ¡ C 2 ¡ A ¡ C ¡ B ¡ { A,E,F } , { R 1 } ¡ { A,B,D } , { R 3 ,R 5 } ¡ F ¡ R 1 ¡ R 2 ¡ C 4 ¡ E ¡ { A,D,G } , { R 4 } ¡ Hypergraph ¡ Tree ¡decomposiQon ¡ 17 ¡Jan. ¡2014 ¡ COCOMEET-­‑-­‑Robert ¡Woodward ¡ 11 ¡

Treewidth ¡ • Width ¡of ¡a ¡tree ¡decomposiQon ¡ – max({| 𝝍 (t)|-­‑1 ¡| ¡t ¡node ¡of ¡T}) ¡ • Treewidth ¡tw(G) ¡of ¡a ¡hypergraph ¡G ¡ – minimum ¡width ¡over ¡all ¡its ¡tree ¡ C 1 ¡ decomposiQons ¡ { A,B,C,E } ¡ ¡ , ¡ { R 2 ,R 3 } ¡ • Great, ¡but ¡we ¡are ¡not ¡interested ¡in ¡ C 3 ¡ C 2 ¡ individual ¡hypergraphs ¡ { A,E,F } , { R 1 } ¡ { A,B,D } , { R 3 ,R 5 } ¡ – ℋ ¡= ¡class ¡of ¡hypergraphs ¡ C 4 ¡ – tw( ℋ ) ¡= ¡maximum ¡treewidth ¡over ¡the ¡ { A,D,G } , { R 4 } ¡ hypergraphs ¡in ¡ ℋ ¡ Width ¡of ¡tree ¡decomposiQon: ¡3 ¡ • If ¡tw( ℋ ) ¡is ¡unbounded, ¡tw( ℋ )=∞ ¡ • Otherwise ¡tw( ℋ )<∞ ¡ • Recall, ¡I ¡said ¡we ¡wanted ¡to ¡restrict ¡ both ¡structure ¡& ¡constraints ¡ 17 ¡Jan. ¡2014 ¡ COCOMEET-­‑-­‑Robert ¡Woodward ¡ 12 ¡

Constraint ¡Catalogue ¡ • Constraint ¡catalogue ¡ 𝒟 ¡is ¡a ¡set ¡of ¡global ¡constraints ¡ • CSP ¡instance ¡is ¡over ¡a ¡constraint ¡catalog ¡if ¡every ¡ constraint ¡in ¡the ¡instance ¡is ¡in ¡the ¡catalog ¡ • Restricted ¡CSP ¡class ¡ – 𝒟 ¡a ¡constraint ¡catalog ¡ – ℋ ¡be ¡a ¡class ¡of ¡hypergraphs ¡ – CSP( ℋ , 𝒟 ) ¡the ¡class ¡of ¡CSP ¡instances ¡over ¡ 𝒟 ¡whose ¡ hypergraphs ¡are ¡in ¡ ℋ ¡ • CSP( ℋ , 𝒟 ) ¡is ¡tractable ¡if ¡tw( ℋ )<∞ ¡ • Does ¡not ¡help ¡us ¡with ¡our ¡example ¡ – tw( ℋ )=∞ ¡ 17 ¡Jan. ¡2014 ¡ COCOMEET-­‑-­‑Robert ¡Woodward ¡ 13 ¡