Topological ¡essen-als ¡ “Get ¡the ¡basics ¡right ¡and ¡the ¡rest ¡will ¡follow” ¡ ¡ ¡ (Barry ¡Ninham, ¡founding ¡professor ¡of ¡Applied ¡Maths, ¡RSPE) ¡ ¡ 1. Spaces, ¡neighbourhoods, ¡limits, ¡con-nuity ¡ ¡ 2. No-ons ¡of ¡equivalence ¡ ¡ 3. Manifolds ¡ 4. Cell ¡complexes ¡ 5. Topological ¡Invariants ¡ ¡including ¡Homology ¡ Vanessa ¡Robins ¡ ¡ Applied ¡Maths, ¡RSPE, ¡ANU ¡
“What ¡space ¡are ¡we ¡in?” ¡ Bob ¡Easton, ¡ ¡ CU ¡Boulder ¡ Topological ¡spaces ¡ Manifolds ¡ points, ¡neighbourhoods ¡ small ¡nbhds ¡ look ¡like ¡R d ¡ Metric ¡spaces ¡ distance ¡ Normed ¡spaces ¡ size ¡ * ¡ Inner ¡product ¡ spaces ¡ ¡ ¡angles ¡ * ¡ ¡is ¡R n ¡ ¡
¡Neighbourhoods, ¡limits, ¡… ¡ “Topology ¡concerns ¡aspects ¡of ¡shape ¡that ¡don’t ¡depend ¡on ¡geometry” ¡ ¡ ¡Q: ¡How ¡do ¡you ¡determine ¡when ¡things ¡are ¡close ¡if ¡you ¡don’t ¡ ¡ ¡have ¡a ¡metric? ¡ ¡ A: ¡Use ¡a ¡system ¡of ¡open ¡sets. ¡ x n ¡ � ¡x ¡if ¡given ¡any ¡open ¡set ¡ U ¡containing ¡ x , ¡there ¡is ¡an ¡integer ¡ N ¡ such ¡that ¡ x n ¡is ¡in ¡ U ¡for ¡all ¡ n ¡> ¡N . ¡ ¡ ¡ U ¡ ε ¡ x ¡ x ¡ x 2 ¡ x 2 ¡ x n ¡ x n ¡ x 0 ¡ x 0 ¡ x 1 ¡ x 1 ¡ Topological ¡space ¡(X, ¡ U ) ¡ Metric ¡space ¡(X, ¡d) ¡
… ¡and ¡con-nuity ¡ in ¡a ¡metric ¡space ¡ f: ¡R ¡ � ¡R ¡is ¡con-nuous ¡at ¡x ¡if ¡given ¡an ¡ ε ¡there ¡is ¡a ¡ δ ¡such ¡that ¡ ¡ |x ¡– ¡y| ¡< ¡ δ ¡ ¡implies ¡|f(x) ¡– ¡f(y)| ¡< ¡ ε . ¡ ¡ ¡ ¡ in ¡a ¡topological ¡space ¡ f: ¡X ¡ � ¡Y ¡ ¡is ¡con-nuous ¡at ¡x ¡if ¡for ¡any ¡open ¡set ¡V ¡in ¡Y ¡such ¡that ¡ ¡ f(x) ¡in ¡V, ¡there ¡is ¡an ¡open ¡set ¡U ¡in ¡X ¡such ¡that ¡f(U) ¡is ¡inside ¡V. ¡ ¡ Equivalence ¡of ¡topological ¡spaces ¡ f: ¡X ¡ � ¡Y ¡ ¡is ¡a ¡homeomorphism ¡if ¡f ¡is ¡a ¡con-nuous ¡func-on ¡ ¡ with ¡a ¡con-nuous ¡inverse. ¡ ¡ ¡ ¡ This ¡means ¡f ¡maps ¡open ¡sets ¡in ¡X ¡to ¡open ¡sets ¡in ¡Y, ¡and ¡vice ¡versa ¡ so ¡X ¡and ¡Y ¡are ¡equivalent ¡as ¡topological ¡spaces. ¡ ¡
Equivalence ¡by ¡homeomorphism ¡ Two ¡topological ¡spaces ¡are ¡in ¡exact ¡1-‑1 ¡correspondence ¡when ¡they ¡are ¡ homeomorphic. ¡ ¡i.e. ¡there ¡is ¡a ¡conBnuous ¡map ¡from ¡X ¡ � ¡Y ¡and ¡also ¡from ¡Y � ¡X ¡ ¡ ✗ f ✓ ¡ f -‑1 ¡ ✗ ✓ ¡ ✓ ¡
Example: ¡the ¡configura-on ¡space ¡of ¡a ¡ double ¡pendulum ¡ ¡ The ¡loca-ons ¡of ¡b, ¡h ¡and ¡p ¡in ¡R 3 ¡ completely ¡ specify ¡the ¡configura-on ¡of ¡the ¡pendulum. ¡ b ¡ ¡ This ¡means ¡the ¡configura-on ¡space ¡ ¡ is ¡a ¡subset ¡of ¡R 9 . ¡ ¡ h ¡ ¡ BUT: ¡there ¡are ¡constraints: ¡ ¡ The ¡point ¡b ¡is ¡fixed ¡ The ¡lengths ¡of ¡the ¡arms ¡are ¡fixed ¡ ¡ The ¡top ¡arm ¡swings ¡in ¡a ¡plane ¡ p ¡ The ¡lower ¡arm ¡pivots ¡freely. ¡ ¡ ¡ So ¡the ¡configuraBon ¡space ¡is ¡homeomorphic ¡to ¡[0, π ] ¡x ¡S 2 ¡
Equivalence ¡by ¡Homotopy ¡ g(S 1 ) ¡ = ¡North ¡pole ¡ Homotopy ¡F ¡between ¡func-ons ¡f,g ¡ f, ¡g ¡ ¡: ¡S 1 ¡ � ¡S 2 ¡ ¡con-nuous ¡ F(S 1 ,t) ¡ F: ¡S 1 ¡x ¡[0,1] ¡ � ¡ S 2 ¡is ¡con-nuous ¡and ¡ F(z, ¡0) ¡= ¡f(z) ¡ ¡ ¡ ¡F(z,1) ¡= ¡g(z) ¡ f(S 1 ) ¡ = ¡equator ¡ F(z,t) ¡= ¡line ¡of ¡longitude. ¡ ¡ ¡ Homotopy ¡between ¡spaces ¡A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡X ¡ ¡ ¡ ¡ U ¡ homotopy ¡is ¡a ¡weaker ¡ ¡“A ¡is ¡a ¡deforma-on ¡retract ¡of ¡X” ¡ equivalence ¡than ¡ ¡ homeomorphism ¡ F: ¡X ¡x ¡[0,1] ¡ � ¡X ¡ F(x,0) ¡= ¡x, ¡ ¡ ¡ ¡F(x,1) ¡is ¡in ¡A ¡ A ¡ B ¡ C ¡ F(a,t) ¡= ¡a ¡for ¡a ¡in ¡A ¡ ¡ ¡ ¡
¡Example: ¡homotopic ¡skeletons ¡ The ¡(3D) ¡pore ¡space ¡of ¡a ¡sandstone ¡is ¡efficiently ¡ modelled ¡by ¡a ¡1-‑dimensional ¡network ¡of ¡pathways. ¡
Equivalence ¡by ¡Ambient ¡Isotopy ¡ An ¡ambient ¡isotopy ¡between ¡is ¡a ¡special ¡type ¡of ¡ ¡ homotopy ¡that ¡carries ¡one ¡embedding ¡of ¡a ¡space ¡onto ¡another. ¡ ¡ ¡ g, ¡h: ¡A ¡ � ¡X ¡ ¡are ¡con-nuous ¡1-‑1 ¡func-ons ¡(injec-ons) ¡ F: ¡ ¡X ¡x ¡[0,1] ¡ � ¡X ¡ ¡is ¡con-nuous ¡ F(x,0) ¡= ¡x, ¡ ¡ ¡ ¡F(x,t) ¡is ¡a ¡homeomorphism ¡of ¡X ¡for ¡each ¡t ¡ ¡ F(g(a),1) ¡= ¡h(a) ¡ ¡ ¡ ¡ This ¡is ¡the ¡appropriate ¡equivalence ¡for ¡knots ¡and ¡links ¡in ¡R 3 ¡
Knotting by E. coli Topoisomerase 1 4978 3. Electron micrographs FIG. of DNA knots. Purified knot preparations described in Fig. 2 were coated with recA protein, mounted, and photographed in the electron microscope. Molecules shown here are magnified approximately Example: ¡knomed ¡DNA ¡ X 80,000. Beneath each micrograph is a tracing of the knot showing the over- and under-passing strand at each node. Below the tracing is an idealized redraw- ing of the knot and an identification number, consisting of the number of nodes, with a subscript indicating the knot's place in a standard tabulation (24, 25). A subscript c indicates a composite knot, composed of two distinct prime knots tied into a single ring. Electron ¡micrographs ¡(x80,000) ¡of ¡E. ¡coli ¡DNA ¡knomed ¡by ¡the ¡ac-on ¡of ¡ ¡ topoisomerase ¡I. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Image ¡from ¡Dean ¡et ¡al ¡(1985) ¡J. ¡Biol. ¡Chem. ¡ ¡ ¡ “the ¡striking ¡result ¡is ¡that ¡the ¡enzyme ¡produces ¡every ¡knot ¡theore-cally ¡possible” ¡ ers among the 8 seven-noded knot forms, and 10 of these were Temperature Effect on Knotting-The DNA knots shown found among the 14 seven-noded knots observed. in Figs. 1-3 were generated by topoisomerase I in reactions Including more complex forms, a total of 32 different knots incubated at 52 "C. High temperature was tried originally were observed. Of the knot forms with two enantiomers, both because of its success in revealing the activity of E. coli were observed in 8 of the 9 cases in which more than one topoisomerase I11 (29), but we were concerned about the example of the knot was found. Knots were formed that had obtained for topoisomerase I at a applicability of results all (+)- or all (-)-nodes, and many had a mixture of node temperature so much higher than used previously. However, sign. Knots 71, 72, 73, 74r and 7 5 contain either all (+)- or all we find that under the conditions used for knotting, which (-)-nodes but differ from one another in their arrangement. includes 30% glycerol to stabilize the enzyme, the optimum Several knots were observed that have both (+)- and (-)- for many topoisomerase I reactions is 52 "C or higher. The nodes in the same knot, including 41, 61, 62r 63, 6,, 76, 77, and temperature profile for relaxation and knotting is shown in the composite 7-noded knot (7,) that is made up of 41 and a Fig. 5 for a constant amount of enzyme. For relaxation of trefoil. negative supercoils, the optimum is 52 "C, but even at 62 "C We analyzed the trefoil knots statistically for bias toward 37 "C. For knotting, the reaction it is only %fold less than at either enantiomer; the 3 nodes of a trefoil are either all (+) increases up to 52 "C and remains at that level even at 62 "C. or all (-). There were 44 (+)- and 33 (-)-trefoils, and we Thus, the temperature optimum for knotting, while high, is conclude that (+I- and (-)-trefoils are present in a 50:50 not very different from that of other reactions of topoisom- mixture (p > 0.2). Trefoils made by topoisomerase I have erase I. already been analyzed this way (13), but the 6x174 substrate Requirements for Complex Knotting-We arbitrarily define used here is nicked only once and in a unique location. The a complex knot as one which contains at least 5 nodes. There important conclusion from this random knot distribution is are two requirements for the generation of complex knots, a that the enzyme neither selectively constrains the DNA into high reaction temperature and a large molar excess of topoi- a unique conformation nor inverts duplex nodes of only one 52 "C, 300 fmol of topoisomerase I were re- sign (see "Discussion"). somerase I. At
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