30 ¡January ¡2014 ¡ The ¡Perturbative ¡Ultraviolet ¡ IHÉS ¡ Structure ¡of ¡N=4 ¡Supergravity ¡ Tristan ¡Dennen ¡ ¡ Niels ¡Bohr ¡Interna1onal ¡Academy ¡& ¡Discovery ¡Center, ¡NBI ¡ ¡ With: ¡ ¡Bern, ¡Davies, ¡Huang, ¡A. ¡V. ¡Smirnov, ¡V. ¡A. ¡Smirnov ¡ 1 ¡
Outline ¡ ² Statement ¡of ¡the ¡problem: ¡UV ¡divergences ¡in ¡supergravity ¡ ² BCJ ¡color-‑kinema?cs ¡duality ¡ 30 ¡January ¡2014 ¡ ² Double-‑copy ¡construc?on ¡of ¡gravity ¡integrands ¡ ² Calcula?on ¡of ¡UV ¡divergences ¡in ¡N=4 ¡SG ¡ ² N=4 ¡SG, ¡n=4, ¡L=3 ¡ IHÉS ¡ ² Main ¡result: ¡N=4 ¡SG, ¡n=4, ¡L=4 ¡ ² Interpreta?on ¡of ¡main ¡result ¡ ² U(1) ¡duality ¡anomaly ¡found ¡by ¡N. ¡Marcus ¡ 2 ¡
L d D p l 1 n j c j Z = i L g n − 2+2 L X Y A loop 30 ¡January ¡2014 ¡ n (2 π ) D S j D j j l =1 L d D p l Z 1 n j ˜ ⌘ n − 2+2 L X n j = i L +1 ⇣ κ Y M loop n IHÉS ¡ 2 (2 π ) D S j D j j l =1 ULTRAVIOLET ¡DIVERGENCES ¡AND ¡THE ¡ 3 ¡ DOUBLE ¡COPY ¡METHOD ¡
UV ¡Divergences ¡in ¡Supergravity ¡ ² Naively, ¡two ¡deriva?ve ¡coupling ¡in ¡gravity ¡makes ¡the ¡theory ¡ badly ¡ultraviolet ¡divergent ¡ 30 ¡January ¡2014 ¡ ( κ p µ Z Y d D p i j ) · · · i p ν gravity: (2 π ) D propagators Z Y d D p i ( gp µ i ) · · · gauge theory: IHÉS ¡ (2 π ) D propagators ² Non-‑renormalizable ¡by ¡power ¡coun?ng ¡ ² But: ¡extra ¡symmetry ¡enforces ¡extra ¡cancella?ons ¡ ² To ¡what ¡extent ¡can ¡observed ¡cancella?ons ¡be ¡explained ¡by ¡ known ¡symmetries? ¡ 4 ¡
UV ¡Divergences ¡in ¡Supergravity ¡ ² Naturally, ¡the ¡theory ¡with ¡the ¡most ¡symmetry ¡is ¡the ¡best ¡bet ¡for ¡ ultraviolet ¡finiteness ¡ 30 ¡January ¡2014 ¡ Cremmer, ¡Julia ¡(1978) ¡ ² N ¡= ¡8 ¡supergravity ¡ IHÉS ¡ ² I ¡will ¡mostly ¡discuss ¡half-‑maximal ¡supergravity ¡ ² N ¡= ¡4 ¡supergravity ¡ Das ¡(1977); ¡ Cremmer, ¡Scherk, ¡Ferrara ¡(1978) ¡ 5 ¡
Expecta1ons ¡about ¡Divergences ¡ ² 1970’s-‑1980’s: ¡Supersymmetry ¡ Grisaru; ¡Tomboulis; ¡Deser, ¡Kay, ¡Stelle; ¡ ¡ Ferrara, ¡Zumino; ¡Green, ¡Schwarz, ¡Brink; ¡ ¡ delays ¡UV ¡divergences ¡un?l ¡ Howe, ¡Stelle; ¡Marcus, ¡Sagno`; ¡etc. ¡ 30 ¡January ¡2014 ¡ three ¡loops ¡in ¡all ¡4D ¡pure ¡ supergravity ¡theories ¡ ¡ ² Expected ¡counterterm ¡is ¡ R 4 ¡ ² In ¡ N =8, ¡SUSY ¡and ¡duality ¡ IHÉS ¡ Bern, ¡Dixon, ¡Dunbar; ¡Perelstein, ¡Rozowsky ¡(1998); ¡ ¡ symmetry ¡rule ¡out ¡ Howe ¡and ¡Stelle ¡(2003, ¡2009); ¡ ¡ Grisaru ¡and ¡Siegel ¡(1982); ¡ ¡ couterterms ¡un?l ¡7 ¡loops ¡ Howe, ¡Stelle ¡and ¡Bossard ¡(2009); ¡ ¡ ² Expected ¡counterterm ¡is ¡ Vanhove; ¡Bjornsson, ¡Green ¡(2010); ¡ ¡ Kiermaier, ¡Elvang, ¡Freedman ¡(2010); ¡ ¡ D 8 R 4 ¡ Ramond, ¡Kallosh ¡(2010); ¡Beisert ¡et ¡al ¡(2010); ¡ ¡ Kallosh; ¡Howe ¡and ¡Lindström ¡(1981); ¡ ² 7-‑loop ¡counterterm ¡has ¡an ¡ Green, ¡Russo, ¡Vanhove ¡(2006) ¡ analog ¡in ¡ N ¡= ¡4 ¡supergravity ¡at ¡ Bern, ¡Carrasco, ¡Dixon, ¡Johansson, ¡Roiban ¡(2010) ¡ three ¡loops ¡ Beisert, ¡Elvang, ¡Freedman, ¡Kiermaier, ¡ ¡ Morales, ¡S?eberger ¡(2010) ¡ ² But ¡the ¡divergence ¡is ¡not ¡ ¡ 6 ¡ present ¡
Duality ¡Symmetries ¡ ² Analogs ¡of ¡E 7(7) ¡for ¡lower ¡supersymmetry ¡ N =8: ¡E 7(7) ¡ E 7(7) /SU(8) ¡ 30 ¡January ¡2014 ¡ ¡ ¡ ¡ N =6: ¡SO*(12) ¡ ¡SO*(12)/U(6) ¡ N =5: ¡SU(5,1) ¡ ¡ ¡SU(5,1)/U(5) ¡ IHÉS ¡ N =4: ¡ SU(4) ¡x ¡SU(1,1) ¡SU(1,1)/U(1) ¡ ² Can ¡help ¡UV ¡divergences ¡in ¡these ¡theories ¡ ² S?ll ¡have ¡candidate ¡counterterms ¡at ¡ L ¡ = ¡ N ¡ -‑ ¡1 ¡ (1/ N ¡BPS) ¡ ¡ Bossard, ¡Howe, ¡Stelle, ¡Vanhove ¡(2010) ¡ ² Nice ¡analysis ¡for ¡ N ¡ = ¡8 ¡counterterms ¡ Beisert, ¡Elvang, ¡Freedman, ¡Kiermaier, ¡Morales, ¡S?eberger ¡(2010) ¡ 7 ¡
Recent ¡Field ¡Theory ¡Calcula1ons ¡ ² N =8 ¡Supergravity ¡ Bern, ¡Carrasco, ¡Dixon, ¡Johansson, ¡Kosower, ¡Roiban ¡(2007) ¡ ² Four ¡points, ¡ L =2,3,4 ¡ Bern, ¡Carrasco, ¡Dixon, ¡Johansson, ¡Roiban ¡(2009) ¡ 30 ¡January ¡2014 ¡ ² Five ¡points, ¡ L =1,2,3 ¡ Carrasco, ¡Johansson ¡(2011) ¡ ² Superfinite: ¡Cri?cal ¡Dimension ¡ D ¡= ¡4 ¡+ ¡6/ L ¡ ¡( L >1) ¡ ² UV ¡finite ¡theory ¡if ¡cri1cal ¡dimension ¡holds ¡for ¡all ¡ L ¡ ² But ¡trouble ¡is ¡predicted ¡star1ng ¡at ¡ L ¡= ¡5: ¡ ¡ ¡ D ¡= ¡26/5 ¡or ¡ D ¡= ¡24/5? ¡ ¡ IHÉS ¡ ² N=4 ¡Supergravity ¡ ² Four ¡points, ¡ L ¡ = ¡3, ¡ D ¡= ¡4 ¡ Bern, ¡Davies, ¡Dennen, ¡Huang ¡(2012) ¡ ² Unexpected ¡cancella1on ¡of ¡ R 4 ¡counterterm ¡ ² Counterterm ¡appears ¡valid ¡under ¡all ¡known ¡symmetries, ¡but ¡¼ ¡BPS ¡ ² Four ¡points, ¡ L ¡= ¡2, ¡ D ¡= ¡5 ¡ ² Valid ¡non-‑BPS ¡counterterm ¡ R 4 ¡does ¡not ¡appear ¡ ² Four ¡points, ¡ L ¡= ¡4, ¡ D ¡ = ¡4 ¡ Bern, ¡Davies, ¡Dennen, ¡Smirnov 2 ¡(2013) ¡ 8 ¡ ² Valid ¡non-‑BPS ¡counterterm ¡ D 2 R 4 ¡
Recent ¡Field ¡Theory ¡Calcula1ons ¡ ² How ¡are ¡the ¡calcula?ons ¡done? ¡ 30 ¡January ¡2014 ¡ 1. Find ¡a ¡representa?on ¡of ¡SYM ¡that ¡sa?sfies ¡color-‑kinema?cs ¡ duality ¡(hard) ¡ 2. Construct ¡the ¡integrand ¡for ¡a ¡gravity ¡amplitude ¡using ¡the ¡ double ¡copy ¡method ¡(easy) ¡ IHÉS ¡ 3. Extract ¡the ¡ultraviolet ¡divergences ¡from ¡the ¡integrals ¡ (straighlorward, ¡but ¡a ¡prac?cal ¡challenge) ¡ 9 ¡
Color-‑Kinema1cs ¡Duality ¡ ² Color-‑kinema?cs ¡duality ¡provides ¡a ¡construc?on ¡of ¡gravity ¡ amplitudes ¡from ¡knowledge ¡of ¡Yang-‑Mills ¡amplitudes ¡ 30 ¡January ¡2014 ¡ Bern, ¡Carrasco, ¡Johansson ¡(2008) ¡ ² In ¡general, ¡Yang-‑Mills ¡amplitudes ¡can ¡be ¡wrimen ¡as ¡a ¡sum ¡over ¡ trivalent ¡graphs ¡ n i c i A n = g n − 2 X IHÉS ¡ D i i ² Color ¡factors ¡ ¡ c i ∼ f abc f cde ² Kinema?c ¡factors ¡ ¡ n i ∼ ( ✏ 1 · k 2 ) ( ✏ 2 · k 3 ) ( ✏ 3 · ✏ 4 ) + . . . ² Duality ¡rearranges ¡the ¡amplitude ¡so ¡color ¡and ¡kinema?cs ¡sa?sfy ¡ the ¡same ¡iden??es ¡(Jacobi) ¡ ¡ ¡ c i + c j + c k = 0 ↔ n i + n j + n k = 0 10 ¡
Example: ¡Four ¡Gluons ¡ ² Four ¡Feynman ¡diagrams ¡ ² Color ¡factors ¡based ¡on ¡a ¡Lie ¡algebra ¡ 30 ¡January ¡2014 ¡ c s = f a 1 a 2 b f ba 3 a 4 c t = f a 1 a 4 b f ba 2 a 3 IHÉS ¡ c u = f a 1 a 3 b f ba 4 a 2 = g 2 ⇣ n s c s + n t c t + n u c u ⌘ A tree 4 s t u n = ✏ 1 · k 2 ✏ 2 · ✏ 3 ✏ 4 · k 1 + . . . c s + c t + c u = 0 ² Color ¡factors ¡sa?sfy ¡Jacobi ¡iden?ty: ¡ ² Numerator ¡factors ¡sa?sfy ¡similar ¡iden?ty: ¡ n s + n t + n u = 0 11 ¡ ² Color ¡and ¡kinema?cs ¡sa?sfy ¡the ¡same ¡iden?ty! ¡
Five ¡gluons ¡and ¡more ¡ ² At ¡higher ¡mul?plicity, ¡rearrangement ¡is ¡nontrivial ¡ ² But ¡s?ll ¡possible ¡ 30 ¡January ¡2014 ¡ 15 n j c j X A tree = g 3 5 D j j =1 IHÉS ¡ c 1 c 2 c 3 c 1 − c 2 + c 3 = 0 ↔ n 1 − n 2 + n 3 = 0 ² Claim: ¡We ¡can ¡always ¡find ¡a ¡rearrangement ¡so ¡color ¡and ¡ kinema?cs ¡sa?sfy ¡the ¡same ¡Jacobi ¡constraint ¡equa?ons. ¡ 12 ¡
Recent ¡Field ¡Theory ¡Calcula1ons ¡ ² How ¡are ¡the ¡calcula?ons ¡done? ¡ 30 ¡January ¡2014 ¡ 1. Find ¡a ¡representa?on ¡of ¡SYM ¡that ¡sa?sfies ¡color-‑kinema?cs ¡ duality ¡(hard) ¡ 2. Construct ¡the ¡integrand ¡for ¡a ¡gravity ¡amplitude ¡using ¡the ¡ double ¡copy ¡method ¡(easy) ¡ IHÉS ¡ 3. Extract ¡the ¡ultraviolet ¡divergences ¡from ¡the ¡integrals ¡ (straighlorward, ¡but ¡a ¡prac?cal ¡challenge) ¡ 13 ¡
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