Stable Marriage Algorithms + Romance KLEINBERG /T - PDF document

9/29/11 ¡ Stable ¡Marriage ¡ Algorithms ¡ + ¡ ¡ Romance ¡ ¡ ¡ KLEINBERG /T ARDOS , ¡C HAPTER ¡1. ¡ ¡ ¡ S LIDES ¡ BY ¡P ROF . ¡J ASON ¡H ARTLINE ¡ AND ¡P ROF . ¡N ICOLE ¡I MMORLICA ¡ Love, ¡marriage, ¡& ¡biparNte ¡graphs ¡ When ¡is ¡marriage ¡stable? ¡ the ¡boys ¡ Jake ¡ Twiggy ¡ Jake ¡ Twiggy ¡ Jake ¡> ¡Elwood ¡> ¡CurNs ¡> ¡Ray ¡ Jake ¡> ¡Elwood ¡> ¡CurNs ¡> ¡Ray ¡ Holly ¡> ¡Claire ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Jill ¡ Holly ¡> ¡Claire ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Jill ¡ Elwood ¡ Claire ¡ Elwood ¡ Claire ¡ Jake ¡> ¡CurNs ¡> ¡Elwood ¡> ¡Ray ¡ Jake ¡> ¡CurNs ¡> ¡Elwood ¡> ¡Ray ¡ Claire ¡> ¡Jill ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Holly ¡ Claire ¡> ¡Jill ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Holly ¡ CurNs ¡ Jill ¡ CurNs ¡ Jill ¡ Twiggy ¡> ¡Jill ¡> ¡Holly ¡> ¡Claire ¡ Ray ¡> ¡CurNs ¡> ¡Elwood ¡> ¡Jake ¡ Twiggy ¡> ¡Jill ¡> ¡Holly ¡> ¡Claire ¡ Ray ¡> ¡CurNs ¡> ¡Elwood ¡> ¡Jake ¡ and ¡girls ¡ Holly ¡ A ¡pair ¡(m,w) ¡is ¡a ¡blocking ¡pair ¡for ¡a ¡matching ¡if ¡m ¡ Holly ¡ Ray ¡ Ray ¡ Holly ¡> ¡Claire ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Jill ¡ Ray ¡> ¡Jake ¡> ¡Elwood ¡> ¡CurNs ¡ Holly ¡> ¡Claire ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Jill ¡ prefers ¡w ¡to ¡his ¡match ¡and ¡w ¡prefers ¡m ¡to ¡her ¡match. ¡ Ray ¡> ¡Jake ¡> ¡Elwood ¡> ¡CurNs ¡ 1 ¡

9/29/11 ¡ When ¡is ¡marriage ¡stable? ¡ QuesNons… ¡ QuesNon ¡1. ¡Do ¡stable ¡matchings ¡always ¡exist? ¡ QuesNon ¡2. ¡Are ¡they ¡easy ¡to ¡find? ¡ QuesNon ¡3. ¡Does ¡the ¡courtship ¡ritual ¡work? ¡ QuesNon ¡4. ¡Are ¡stable ¡matchings ¡unique? ¡ QuesNon ¡5. ¡If ¡not, ¡who ¡benefits? ¡ A ¡pair ¡(m,w) ¡is ¡a ¡blocking ¡pair ¡for ¡a ¡matching ¡if ¡m ¡ A ¡matching ¡is ¡stable ¡if ¡there ¡is ¡no ¡blocking ¡pair. ¡ prefers ¡w ¡to ¡his ¡match ¡ ¡and ¡w ¡prefers ¡m ¡to ¡her ¡mat c h. ¡ Courtship ¡Ritual ¡ The ¡courtship ¡ritual ¡ • Algorithm ¡proposed ¡by ¡Gale-­‑Shapley ¡in ¡1962 ¡ Jake ¡ Twiggy ¡ Jake ¡> ¡Elwood ¡> ¡CurNs ¡> ¡Ray ¡ Holly ¡> ¡Claire ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Jill ¡ Initialize each person to be free. while (some man is free and hasn't proposed to every woman) Elwood ¡ Claire ¡ { Choose such a man m Jake ¡> ¡CurNs ¡> ¡Elwood ¡> ¡Ray ¡ Claire ¡> ¡Jill ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Holly ¡ w = 1 st woman on m's list to whom m has not yet proposed if (w is free) CurNs ¡ Jill ¡ assign m and w to be engaged Twiggy ¡> ¡Jill ¡> ¡Holly ¡> ¡Claire ¡ Ray ¡> ¡CurNs ¡> ¡Elwood ¡> ¡Jake ¡ else if (w prefers m to her fiancé m') assign m and w to be engaged, and m' to be free else Holly ¡ Ray ¡ w rejects m Holly ¡> ¡Claire ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Jill ¡ Ray ¡> ¡Jake ¡> ¡Elwood ¡> ¡CurNs ¡ } 7 ¡ 2 ¡

9/29/11 ¡ Cupid’s ¡Theorems ¡ Step ¡1: ¡Consider ¡“state” ¡of ¡algorithm ¡ Theorem. ¡Courtship ¡algorithm ¡terminates. ¡ Theorem. ¡ResulNng ¡marriage ¡is ¡stable. ¡ Corollary. ¡Stable ¡marriages ¡always ¡exist ¡and ¡are ¡ easy ¡to ¡find. ¡ We ¡will ¡prove ¡these ¡facts ¡next. ¡ An ¡edge ¡from ¡a ¡boy ¡to ¡every ¡girl ¡who ¡hasn’t ¡ yet ¡rejected ¡him. ¡ * ¡Completely ¡defines ¡state ¡of ¡boys’ ¡preference ¡lists ¡ Step ¡1: ¡Define ¡states ¡ ¡ Step ¡2: ¡proof ¡of ¡terminaNon ¡ algorithm ¡can ¡be ¡in ¡ A ¡rejected ¡proposal, ¡i.e., ¡ a ¡deleted ¡edge ¡or ¡ The ¡courtship ¡ritual ¡terminates. ¡ crossed-­‑off ¡name. ¡ 1. Define ¡a ¡“measure ¡of ¡progress”: ¡the ¡ number ¡of ¡edges ¡in ¡the ¡biparNte ¡graph ¡(i.e., ¡ the ¡number ¡of ¡names ¡on ¡boys’ ¡lists) ¡ ¡ 2. Note ¡this ¡is ¡strictly ¡decreasing ¡and ¡always ¡ Start ¡state: ¡ non-­‑negaNve. ¡ complete ¡biparNte ¡graph ¡ 3 ¡

9/29/11 ¡ Step ¡3: ¡defining ¡useful ¡invariants ¡ Step ¡4: ¡everyone ¡marries ¡ The ¡girls’ ¡opNons ¡only ¡ever ¡improve! ¡ Everyone ¡gets ¡married. ¡ For ¡every ¡girl ¡G ¡and ¡boy ¡B, ¡if ¡G ¡is ¡crossed ¡off ¡B’s ¡ list ¡it ¡is ¡because ¡she ¡has ¡a ¡suitor ¡she ¡prefers. ¡ By ¡contradicNon. ¡ ¡Suppose ¡boy ¡B ¡isn’t ¡married. ¡ 1. Then ¡he ¡has ¡crossed ¡everyone ¡off ¡his ¡list. ¡ 2. So ¡every ¡girl ¡has ¡a ¡suitor ¡she ¡prefers ¡to ¡B. ¡ B ¡only ¡crosses ¡off ¡G ¡when ¡she ¡rejects ¡him ¡in ¡ 3. Also, ¡all ¡girls ¡are ¡married ¡to ¡a ¡unique ¡boy. ¡ favor ¡of ¡someone ¡else. ¡ 4. But ¡number ¡of ¡girls ¡equals ¡number ¡of ¡boys. ¡ Step ¡5: ¡proof ¡of ¡stability ¡ QuesNons ¡and ¡answers… ¡ QuesNon ¡1. ¡Do ¡stable ¡matchings ¡always ¡exist? ¡ The ¡resulNng ¡matching ¡is ¡stable. ¡ QuesNon ¡2. ¡Are ¡they ¡easy ¡to ¡find? ¡ QuesNon ¡3. ¡Does ¡the ¡courtship ¡ritual ¡work? ¡ Consider ¡boy ¡B ¡and ¡girl ¡G ¡that ¡are ¡not ¡married ¡to ¡ each ¡other. ¡ 1. Suppose ¡G ¡was ¡crossed ¡off ¡B’s ¡list. ¡ ¡Then ¡G ¡ Ques%on ¡4. ¡Are ¡stable ¡matchings ¡unique???? ¡ prefers ¡husband ¡to ¡B, ¡so ¡won’t ¡elope ¡with ¡B. ¡ Ques%on ¡5. ¡If ¡not, ¡who ¡benefits???? ¡ 2. Suppose ¡G ¡is ¡on ¡B’s ¡list. ¡ ¡Then ¡B ¡didn’t ¡ propose ¡to ¡G ¡yet, ¡so ¡B ¡prefers ¡wife ¡to ¡G, ¡so ¡ won’t ¡elope ¡with ¡G. ¡ 4 ¡

9/29/11 ¡ Recall ¡… ¡ In ¡an ¡alternate ¡universe ¡ Jake ¡ Twiggy ¡ Jake ¡ Twiggy ¡ Jake ¡> ¡Elwood ¡> ¡CurNs ¡> ¡Ray ¡ Jake ¡> ¡Elwood ¡> ¡CurNs ¡> ¡Ray ¡ Holly ¡> ¡Claire ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Jill ¡ Holly ¡> ¡Claire ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Jill ¡ Elwood ¡ Claire ¡ Elwood ¡ Claire ¡ Claire ¡> ¡Jill ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Holly ¡ Jake ¡> ¡CurNs ¡> ¡Elwood ¡> ¡Ray ¡ Claire ¡> ¡Jill ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Holly ¡ Jake ¡> ¡CurNs ¡> ¡Elwood ¡> ¡Ray ¡ CurNs ¡ Jill ¡ CurNs ¡ Jill ¡ Twiggy ¡> ¡Jill ¡> ¡Holly ¡> ¡Claire ¡ Ray ¡> ¡CurNs ¡> ¡Elwood ¡> ¡Jake ¡ Twiggy ¡> ¡Jill ¡> ¡Holly ¡> ¡Claire ¡ Ray ¡> ¡CurNs ¡> ¡Elwood ¡> ¡Jake ¡ Ray ¡ Holly ¡ Ray ¡ Holly ¡ Holly ¡> ¡Claire ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Jill ¡ Ray ¡> ¡Jake ¡> ¡Elwood ¡> ¡CurNs ¡ Holly ¡> ¡Claire ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Jill ¡ Ray ¡> ¡Jake ¡> ¡Elwood ¡> ¡CurNs ¡ Conclusion: ¡not ¡unique ¡ Stable ¡spouses ¡ In ¡general, ¡there ¡are ¡many ¡stable ¡marriages. ¡ Jake ¡ Twiggy ¡ Girl ¡G ¡ Jake ¡> ¡Elwood ¡> ¡CurNs ¡> ¡Ray ¡ Holly ¡> ¡Claire ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Jill ¡ Elwood ¡ Claire ¡ Girl ¡G’ ¡ Boy ¡B ¡ Jake ¡> ¡CurNs ¡> ¡Elwood ¡> ¡Ray ¡ Claire ¡> ¡Jill ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Holly ¡ CurNs ¡ Jill ¡ Twiggy ¡> ¡Jill ¡> ¡Holly ¡> ¡Claire ¡ Ray ¡> ¡CurNs ¡> ¡Elwood ¡> ¡Jake ¡ Holly ¡ Ray ¡ A ¡person ¡P ¡is ¡a ¡stable ¡spouse ¡of ¡a ¡person ¡P’ ¡if ¡ Holly ¡> ¡Claire ¡> ¡Twiggy ¡> ¡Jill ¡ Ray ¡> ¡Jake ¡> ¡Elwood ¡> ¡CurNs ¡ P ¡is ¡married ¡to ¡P’ ¡in ¡some ¡stable ¡matching. ¡ 5 ¡