space complexity of 2 dimensional approximate range
play

Space Complexity of 2-Dimensional Approximate Range Counting Zhewei - PowerPoint PPT Presentation

Space Complexity of 2-Dimensional Approximate Range Counting Zhewei Wei and Ke Yi Problem and Results Problem Definition


  1. Combinatorial Discrepancy • ������ ����� ( � , R ) ���� �� ������ �������� χ : � → { − � , + � } � � � χ ( � ∩ � )= χ ( � ); � ∈ � ∩ � � disc( � , R )=min � ∈ R | χ ( � ∩ � ) | ; χ max disc( � , R )=max | � | = � disc( � , R ) . � � • ����������� � (log � . � � ) �������������� ����������� Ω(log � ) ������������

  2. Lebesgue Discrepancy • ����������� ( � , R ) �� [ � , � ) � �

  3. Lebesgue Discrepancy • ����������� ( � , R ) �� [ � , � ) � � � � ∩ [ � , � ) � � � � ( � , R ) = sup � ∈ R � | � ∩ � | − � � � �� � .

  4. Lebesgue Discrepancy • ����������� ( � , R ) �� [ � , � ) � � � � ∩ [ � , � ) � � � � ( � , R ) = sup � ∈ R � | � ∩ � | − � � � �� � . � � ( � , R ) = sup | � | = � � ( � , R ) .

  5. Lebesgue Discrepancy • ����������� ( � , R ) �� [ � , � ) � � � � ∩ [ � , � ) � � � � ( � , R ) = sup � ∈ R � | � ∩ � | − � � � �� � . � � ( � , R ) = sup | � | = � � ( � , R ) . • �������������������������� Θ (log � ) ���������������

  6. (Strong) Epsilon Net • � � � ��������� � � � � � �

  7. (Strong) Epsilon Net • � � � ��������� � � � � � �

  8. (Strong) Epsilon Net • � � � ��������� � � � � �� | � ∩ � | ≥ ε � ���� | � ∩ � | ≥ �� � �

  9. (Strong) Epsilon Net • � � � ��������� � � � � �� | � ∩ � | ≥ ε � ���� | � ∩ � | ≥ �� � � • Θ ( � ε log log � ε ) �������������� ������ ����� ����� ���������� ������

  10. (Weak) Epsilon Net � � � �

  11. (Weak) Epsilon Net • � � ��������������������������� � � � � � �

  12. (Weak) Epsilon Net • � � ��������������������������� � � � � � �

  13. (Weak) Epsilon Net • � � ��������������������������� � � � � �� | � ∩ � | ≥ ε � ���� | � ∩ � | ≥ �� � �

  14. (Weak) Epsilon Net • � � ��������������������������� � � � � �� | � ∩ � | ≥ ε � ���� | � ∩ � | ≥ �� � � • � ( � ε log log � ε ) �������

  15. Upper Bound

  16. Data Structure

  17. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) �

  18. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) �

  19. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) �

  20. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) �

  21. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) �

  22. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ≥ � ε � ≥ ε �

  23. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � � ≥ � ε � � � ≥ ε � �

  24. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� � � ≥ ε � �

  25. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � �

  26. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � �

  27. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� = � ε � � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � �

  28. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� = � ε � � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � � ������ ε � �������������������������

  29. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� = � ε � � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � � ������ ε � ������������������������� ������������ ε � log � ε �

  30. Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� = � ε � � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � � ������ ε � ������������������������� ������������ ε � log � ε � ������� ε � = ε ⇒ � ( � ε � log log � ε � log � ε � log � ) ����� ε log �

  31. Lower Bound

  32. Data Structure to CD • ������������ Ω ( � log � ) ��������������������� log � �

  33. Data Structure to CD • ������������ Ω ( � log � ) ��������������������� log � � • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R ) ≥ � log � �

  34. Data Structure to CD • ������������ Ω ( � log � ) ��������������������� log � � • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R ) ≥ � log � � � ∈ R | χ (( � � ∪ � � ) ∩ � ) | ≥ � log � min χ max

  35. Data Structure to CD • ������������ Ω ( � log � ) ��������������������� log � � • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R ) ≥ � log � � � ∈ R | χ (( � � ∪ � � ) ∩ � ) | ≥ � log � min χ max � �� � ∈ � � ; � χ ( � ) = − � �� � ∈ � � .

  36. Data Structure to CD • ������������ Ω ( � log � ) ��������������������� log � � • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R ) ≥ � log � � � ∈ R | χ (( � � ∪ � � ) ∩ � ) | ≥ � log � min χ max � �� � ∈ � � ; � χ ( � ) = � − � �� � ∈ � � . || � ∩ � � | − | � ∩ � � || ≥ � log �

  37. Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � �

  38. Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � � • �����������������

  39. Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � � • ����������������� � � ( � , R ) = � ( √ � log log � ) ������

  40. Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � � • ����������������� � � ( � , R ) = � ( √ � log log � ) ������ � log log � � ��� ε = Ω( ) � ��������������������� �

  41. Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � � • ����������������� � � ( � , R ) = � ( √ � log log � ) ������ � log log � � ��� ε = Ω( ) � ��������������������� � • ��������� { � , � } �������������������� ����������

  42. Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � � • ����������������� � � ( � , R ) = � ( √ � log log � ) ������ � log log � � ��� ε = Ω( ) � ��������������������� � • ��������� { � , � } �������������������� ���������� � � ( � � ) �����������

  43. Binary Nets • ���������������������� ����������������������������������

  44. Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • �������������������������

  45. Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) �

  46. Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) � � log � • ������������������ � � �

  47. Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) � � log � • ������������������ � � � • �������������������������������

  48. Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) � � log � • ������������������ � � � • ������������������������������� � disc( � , R ) = Ω(log � ) �

  49. Canonical Cells ����� � ����� � ����� � ����� � � = �

  50. Binary Nets � � � � = ��

  51. Binary Nets � � � � = ��

  52. Binary Nets � � � � = ��

  53. Binary Nets � � � � = ��

  54. Binary Nets � � � � = ��

  55. Binary Nets � � � � = ��

  56. Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) � � log � • ������������������ � � � • ������������������������������� � disc( � , R ) = Ω(log � ) �

  57. Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) � � � log � �������������������� � log � • ������������������ � � � • ������������������������������� � disc( � , R ) = Ω(log � ) �

  58. Number of Binary Nets � � � � �

  59. Number of Binary Nets � � � � �

  60. Number of Binary Nets � � � � �

  61. Number of Binary Nets � � � � �

  62. Number of Binary Nets � � � � �

  63. Number of Binary Nets � � � � �

  64. Number of Binary Nets � � � � �

  65. Number of Binary Nets � � � � �

Recommend


More recommend