Combinatorial Discrepancy • ������ ����� ( � , R ) ���� �� ������ �������� χ : � → { − � , + � } � � � χ ( � ∩ � )= χ ( � ); � ∈ � ∩ � � disc( � , R )=min � ∈ R | χ ( � ∩ � ) | ; χ max disc( � , R )=max | � | = � disc( � , R ) . � � • ����������� � (log � . � � ) �������������� ����������� Ω(log � ) ������������
Lebesgue Discrepancy • ����������� ( � , R ) �� [ � , � ) � �
Lebesgue Discrepancy • ����������� ( � , R ) �� [ � , � ) � � � � ∩ [ � , � ) � � � � ( � , R ) = sup � ∈ R � | � ∩ � | − � � � �� � .
Lebesgue Discrepancy • ����������� ( � , R ) �� [ � , � ) � � � � ∩ [ � , � ) � � � � ( � , R ) = sup � ∈ R � | � ∩ � | − � � � �� � . � � ( � , R ) = sup | � | = � � ( � , R ) .
Lebesgue Discrepancy • ����������� ( � , R ) �� [ � , � ) � � � � ∩ [ � , � ) � � � � ( � , R ) = sup � ∈ R � | � ∩ � | − � � � �� � . � � ( � , R ) = sup | � | = � � ( � , R ) . • �������������������������� Θ (log � ) ���������������
(Strong) Epsilon Net • � � � ��������� � � � � � �
(Strong) Epsilon Net • � � � ��������� � � � � � �
(Strong) Epsilon Net • � � � ��������� � � � � �� | � ∩ � | ≥ ε � ���� | � ∩ � | ≥ �� � �
(Strong) Epsilon Net • � � � ��������� � � � � �� | � ∩ � | ≥ ε � ���� | � ∩ � | ≥ �� � � • Θ ( � ε log log � ε ) �������������� ������ ����� ����� ���������� ������
(Weak) Epsilon Net � � � �
(Weak) Epsilon Net • � � ��������������������������� � � � � � �
(Weak) Epsilon Net • � � ��������������������������� � � � � � �
(Weak) Epsilon Net • � � ��������������������������� � � � � �� | � ∩ � | ≥ ε � ���� | � ∩ � | ≥ �� � �
(Weak) Epsilon Net • � � ��������������������������� � � � � �� | � ∩ � | ≥ ε � ���� | � ∩ � | ≥ �� � � • � ( � ε log log � ε ) �������
Upper Bound
Data Structure
Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) �
Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) �
Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) �
Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) �
Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) �
Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ≥ � ε � ≥ ε �
Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � � ≥ � ε � � � ≥ ε � �
Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� � � ≥ ε � �
Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � �
Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � �
Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� = � ε � � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � �
Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� = � ε � � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � � ������ ε � �������������������������
Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� = � ε � � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � � ������ ε � ������������������������� ������������ ε � log � ε �
Data Structure • ������� ε ������������ � ( � ε log log � ε ) � ���� ε ������������� � (log � � ε ) ≥ � ε � �������������������� = � ε � � ���������������� � ( � ε log log � ε (log � + log � ε )) � � ≥ ε � � ������ ε � ������������������������� ������������ ε � log � ε � ������� ε � = ε ⇒ � ( � ε � log log � ε � log � ε � log � ) ����� ε log �
Lower Bound
Data Structure to CD • ������������ Ω ( � log � ) ��������������������� log � �
Data Structure to CD • ������������ Ω ( � log � ) ��������������������� log � � • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R ) ≥ � log � �
Data Structure to CD • ������������ Ω ( � log � ) ��������������������� log � � • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R ) ≥ � log � � � ∈ R | χ (( � � ∪ � � ) ∩ � ) | ≥ � log � min χ max
Data Structure to CD • ������������ Ω ( � log � ) ��������������������� log � � • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R ) ≥ � log � � � ∈ R | χ (( � � ∪ � � ) ∩ � ) | ≥ � log � min χ max � �� � ∈ � � ; � χ ( � ) = − � �� � ∈ � � .
Data Structure to CD • ������������ Ω ( � log � ) ��������������������� log � � • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R ) ≥ � log � � � ∈ R | χ (( � � ∪ � � ) ∩ � ) | ≥ � log � min χ max � �� � ∈ � � ; � χ ( � ) = � − � �� � ∈ � � . || � ∩ � � | − | � ∩ � � || ≥ � log �
Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � �
Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � � • �����������������
Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � � • ����������������� � � ( � , R ) = � ( √ � log log � ) ������
Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � � • ����������������� � � ( � , R ) = � ( √ � log log � ) ������ � log log � � ��� ε = Ω( ) � ��������������������� �
Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � � • ����������������� � � ( � , R ) = � ( √ � log log � ) ������ � log log � � ��� ε = Ω( ) � ��������������������� � • ��������� { � , � } �������������������� ����������
Point Sets • ���������� P ∗ �� � Ω ( � log � ) ����������� ���� ∀ � � , � � ∈ P ∗ � ������� disc( � � ∪ � � , R � ) ≥ � log � � • ����������������� � � ( � , R ) = � ( √ � log log � ) ������ � log log � � ��� ε = Ω( ) � ��������������������� � • ��������� { � , � } �������������������� ���������� � � ( � � ) �����������
Binary Nets • ���������������������� ����������������������������������
Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • �������������������������
Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) �
Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) � � log � • ������������������ � � �
Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) � � log � • ������������������ � � � • �������������������������������
Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) � � log � • ������������������ � � � • ������������������������������� � disc( � , R ) = Ω(log � ) �
Canonical Cells ����� � ����� � ����� � ����� � � = �
Binary Nets � � � � = ��
Binary Nets � � � � = ��
Binary Nets � � � � = ��
Binary Nets � � � � = ��
Binary Nets � � � � = ��
Binary Nets � � � � = ��
Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) � � log � • ������������������ � � � • ������������������������������� � disc( � , R ) = Ω(log � ) �
Binary Nets • ���������������������� ���������������������������������� • ������������������������� � � ( � , R ) = � (log � ) � � � log � �������������������� � log � • ������������������ � � � • ������������������������������� � disc( � , R ) = Ω(log � ) �
Number of Binary Nets � � � � �
Number of Binary Nets � � � � �
Number of Binary Nets � � � � �
Number of Binary Nets � � � � �
Number of Binary Nets � � � � �
Number of Binary Nets � � � � �
Number of Binary Nets � � � � �
Number of Binary Nets � � � � �
Recommend
More recommend