Second quan+za+on 1 Occupa+on number representa+on for - PowerPoint PPT Presentation

Second ¡quan+za+on ¡ 1 ¡ Occupa+on ¡number ¡representa+on ¡for ¡independent ¡indis+nguishable ¡par+cles ¡ Fock ¡space ¡ sta+onary ¡states ¡ H| ν i = ✏ ν | ν i ∞ M F = Q n ¡ ¡ Hilbert ¡space ¡of ¡N ¡ par+cles ¡ ¡ ¡ Q N n =0 X E = ✏ ν n ν ν | n ν 1 , n ν 2 , . . . , n ν , . . . i X N = n ν number ¡of ¡partcles ¡in ¡state ¡ ¡ | ψ ν i ν crea+on ¡/ ¡annihila+on ¡operators ¡ p a † a † ν : Q N → Q N +1 ν | n ν 1 , . . . , n ν , . . . i = n ν + 1 | n ν 1 , . . . , n ν + 1 , . . . i ˆ ˆ a ν | n ν 1 , . . . , n ν , . . . i = p n ν | n ν 1 , . . . , n ν � 1 , . . . i ˆ a ν : Q N → Q N − 1 ˆ

Second ¡quan+za+on ¡ 2 ¡ crea+on ¡/ ¡annihila+on ¡operators ¡ p a † a † ν : Q N → Q N +1 ν | n ν 1 , . . . , n ν , . . . i = n ν + 1 | n ν 1 , . . . , n ν + 1 , . . . i ˆ ˆ a ν | n ν 1 , . . . , n ν , . . . i = p n ν | n ν 1 , . . . , n ν � 1 , . . . i ˆ a ν : Q N → Q N − 1 ˆ a † a † a † Bosons: ¡ ¡ [ˆ a ν , ˆ ν 0 ] = δ νν 0 [ˆ a ν , ˆ a ν 0 ] = [ˆ ν , ˆ ν 0 ] = 0 ν ) n ν · · · (ˆ a † a † | n ν 1 , . . . , n ν , . . . i = · · · (ˆ ν 1 ) n ν 1 | 0 i p n ν 1 ! · · · a † a † a † Fermions: ¡ { ˆ { ˆ a ν 0 } = { ˆ ν 0 } = 0 ν 0 } = δ νν 0 a ν , ˆ ν , ˆ a ν , ˆ ν ) n ν · · · (ˆ a † a † ν 1 ) n ν 1 | 0 i | n ν 1 , . . . , n ν , . . . i = · · · (ˆ

Second ¡quan+za+on ¡ 3 ¡ X X a † number ¡operator ¡of ¡state ¡ | ψ ν i H = ✏ ν ˆ n ν = ✏ ν ˆ ν ˆ a ν ν ν a † n ν = ˆ ˆ ν ˆ a ν X X ˆ a † N = n ν = a ν ˆ ˆ ν ˆ ν ν field ¡operators ¡ ˆ X Ψ ( ~ r ) = ν ( ~ r )ˆ a ν ν ( ~ r ) = h ~ r | ν i ν r ) † = ˆ X a † single-­‑par+cle ¡ Ψ ( ~ ∗ ν ( ~ r )ˆ ν wavefunc+on ¡ ν B ¡ [ˆ r ) , ˆ r 0 )] = [ˆ r ) † , ˆ [ˆ r ) , ˆ r 0 ) † ] = 0 r 0 ) † ] = � ( ~ r 0 ) Ψ ( ~ Ψ ( ~ Ψ ( ~ Ψ ( ~ Ψ ( ~ Ψ ( ~ r − ~ F ¡ { ˆ r ) , ˆ r 0 ) } = { ˆ r ) † , ˆ r 0 ) † } = 0 Ψ ( ~ Ψ ( ~ Ψ ( ~ Ψ ( ~ { ˆ r ) , ˆ r 0 ) † } = � ( ~ r 0 ) Ψ ( ~ Ψ ( ~ r − ~

Second ¡quan+za+on ¡ 4 ¡ real-­‑space ¡state ¡ 1 r N ) † · · · ˆ ˆ r 1 ) † | 0 i p | ~ r N i = Ψ ( ~ Ψ ( ~ r 1 , . . . , ~ N ! many-­‑body ¡wave ¡func+on ¡ Φ ( ~ r N ) = h ~ r N | n ν 1 , n ν 2 , . . . i r 1 , . . . , ~ r 1 , . . . , ~ operators ¡ r ) † ˆ par+cle ¡density ¡ r ) = ˆ ⇢ ( ~ ˆ Ψ ( ~ Ψ ( ~ r ) ~ ˆ n r ) † ⇣ ⌘ ⇣ r ) † ⌘ o current ¡density ¡ ~ ˆ r ˆ ~ r ˆ ~ ˆ J ( ~ r ) = Ψ ( ~ Ψ ( ~ r ) Ψ ( ~ Ψ ( ~ r ) � 2 mi