Rigid Geometry and Applications Kazuhiro Fujiwara & Fumiharu - PowerPoint PPT Presentation

Rigid Geometry and Applications Kazuhiro Fujiwara & Fumiharu Kato

Talk Plan • Aim: • To give a survey on foundation (based on recent developments). • To show how to use it. • Schedule: • I (Mon. 13): What is Rigid Geometry ? • II (Tue. 14): • Birational Geometry from Zariski’s Viewpoint • Birational Approach to Rigid Geometry • III (Wed. 15): Applications - How to use it.

What is Rigid Geometry ? of Q � Q p Q = R C p = � Q p C Rigid analytic Real - Complex geometry analytic geometry

Similarities C C p vs. C C p Algebraically closed Algebraically closed Complete with respect to Complete with respect to the absolute value norm the p - adic norm | | p • | | ∞

Analytic Method: Uniformization C C p C −→ C / Λ Λ = Z + Z · τ τ ∈ H = { z ∈ C | Im z > 0 } Jacobi ’ s uniformization | | Tate ’ s uniformization C × −→ C × / q Z = C / Λ p / q Z C × p −→ C × √ q ∈ C × q = e 2 π − 1 τ | q | p < 1 p ,

� � � Tate Curve • Embedding onto a cubic curve ( ℘ : ℘ ′ :1) C × P 2 ( C p ) p � � � � � � � � � � � � � � � p / q Z C × • | | | | ⇐⇒ ∃ � • | j ( E ) | p > 1 ⇐⇒ ∃ q | q | p < 1 such that E � p / q Z . C ×

Why do we need analytic methods ? E / Q Complex Analysis Rigid Analysis p / q Z E ( Q p ) � Q × E ( C ) � C / Λ • Nagell-Lutz Theorem. K : algebraic number field, E / K : an elliptic curve. = ⇒ E ( K ) tor is a finite set.

Notation ( K, | |): complete non-archimedean valued field with non-trivial valuation | |. • | | : K → R ≥ 0 : multiplicative valuation of ht. 1, i.e., (1) | x | = 0 ⇐⇒ x = 0. (2) | x y | = | x || y | . (3) | x + y | ≤ max {| x | , | y |} . • | | : non-trivial ⇐⇒ | K × | � { 1 } .

Tate ’ s Rigid Analytic Geometry Algebraic Geometry / k Rigid Geometry / K Topologically finitely Function Finitely generated generated algebra A / K algebra algebra A / k (called: Affinoid algebra) Points Maximal ideals of A Maximal ideals of A (Naive) (with Zariski topology) (with Admissible topology) Building Affine variety Affinoid Block (Spm A , O X ) (Spm A , O X )

を指定すると、本文用の明朝は太ミンに、本文用ゴシックは太ゴになる ） その他 でてきたら思わず笑ってしまう。だから我々には の直後の改行は禁じられているのでずいぶん安心である。そしてなんといっても、 する。もちろん を付けてタイプライタ体で出力 命令を用意した。これは引き数に た。これは面倒だ。そこで、 パッケージで対応する方法は許されなかっ を入れて対応しているのだが、 なんて まった。興味のある人は な場所に適当に シリーズでは改行しそう 命令を用いることはできない。今までの しかし、 行したってかまわないのである。 ある。 自動的に改行してくれるのである。四分アキの問題についてはずいぶんトリッキーな対策になってし ができるだろう。 ファイルを参照してほしい。もうちょっとだけ命令をみること ところで、 著 、 ） 級強である。 ポイント、和文が 文が ある。あまり気づいた人はいないようだが……。本文も欧 シリーズの本文は太ミンで ） の説明を書いている場合によく直面する。たとえば、 クラスファイルを作成したり調整したりしたい人の一助になれば幸いである。 のも多数あるが、基本的にこのクラスファイルの使用に関しては著作権問題を気にする必要はない。 このクラスファイルと多くのパッケージファイルは多くの著作の影響を受けている。筆者自身のも おわりに ファイルの内容も役に立つだろう。 ファイルや さらに、 なんて命令を 説明していたら悲劇である。常に行をはみ出すかどうかでドキドキできる。和文では別に単語中で改 に 持っていないことが多いので使用には注意が必要。また、太ミンと太ゴは最近の流行ではない。最近 最後に便利な命令をお教えしよう。本稿では何ヶ所かで欧文の途中で改行しているものがある。特 単に追加できる。ただし、 では簡 プリンタでも当然利用できない。注意が必要。 また、平成書体を搭載した は見出しミンと見出しゴが多いのかも知れない。 しか その他の命令 書体が載っておらず、リュウミンと中ゴシック プリンタではモリサワ し、普及型の フォントが和文に比べると太いために、バランスをとるためである。ただ これは、 んも利用可能になる。 。同時にじゅ でも同様。 フォントが別途必要。それは その他にもいくつか便利な命令を提供している。まず、本文に である。 よりは遙かに洗練されていて格好がいい。それを用いることもできる。そのためには は標準でそのためのフォントを持っている。ブルバキが用いたフォント 。 る ） 難しい内容を記述した段落には「危険な曲がり角」を付けるというブルバキ（ また和文ではダッシュは全角ではなく、倍角を用いる。倍角ダッシュを引く命令は 境を用いる。 として利用する。 よみ 漢字 命令がある。 ルビを付けるための命令である び 環 流の記述方法がある ） • There’s no a priori reason why one should take maximal ideals as points. (Depends on approaches; there are three others.) • In Tate’s approach, one has to introduce the admissible topology as a Grothendieck topology.

Example of A ffi noid Algebra K � � X 1 , . . . , X n � � ν 1 ,..., ν n ≥ 0 a ν 1 ,..., ν n T ν 1 1 · · · T ν n � � � | a ν 1 ,..., ν n | → 0 as n = ∈ K [[ T 1 , . . . , T n ]] ν 1 + · · · + ν n → ∞ { ∈ | | | ≤ } = The algebra of power series converging abso- lutely and uniformly on closed unit disk “ D n K ”.

Dictionary Rigid Geometry / K = K Algebraic Geometry / k = k k [ X 1 , . . . , X n ] K � � X 1 , . . . , X n � � ( z 1 , . . . , z n ) ∈ K n k n with | | z i | ≤ 1 } A n D n k K Affine space Closed unit polydisk

Basic Properties K � � X 1 , . . . , X n � � : • Banach algebra with Gauss norm � a ν 1 ,..., ν n T ν 1 1 · · · T ν n n � = sup | a ν 1 ,..., ν n | . � ν 1 ,..., ν n ≥ 0 • Noetherian and every ideal is closed (w.r.t. the subspace topology). • Structure of general a ffi noid algebras: A = K � � X 1 , . . . , X n � � / I Banach algebra by the induced norm

W obbly Topology • Spm A = { m ⊂ A | maximal ideal } . – x ∈ Spm A , f ∈ A � | f ( x ) | : = | f mod x | . – Topology having an open basis { R ( f , g ) } f ,g ∈ A where R ( f , g ) = { x ∈ Spm A | | f ( x ) | ≤ | g ( x ) |} . � f Note: R ( f , g ) = Spm A � g � � = Spm A � � X � � / ( g X − f ) .

Di ffi culties • Spm A is not quasi-compact (w.r.t. the wobbly topology). � f • R ( f , g ) �→ A � � is not a sheaf. g � � Want to “rigidify” the topology: The name “RIGID” comes from this. Tate (1961): Realization by using Grothendieck topology.

Admissible Topology • Grothendieck topology • W eaker than wobbly topology. • Strongest topology which makes • R ( f , g ) quasi - compact. • Gives rise to “ a ffi noids ” - Building Block. • General rigid space: By “ patching a ffi noids ” w.r.t. admissible topology.

De fi nition of Admissible Site • A K = the category of a ffi noid K -algebras. • { A i } i ∈ I (finite collection) covers A (a) Each A i is ´ etale over A .     (b) Spm A i → Spm A : injective map.  ⇐⇒   (c) Spm A = � i ∈ I Spm A i .  

Admissible vs. W obbly Admissible land W obbly land

Examples. Annulus { z ∈ K | | a | ≤ | z | ≤ | b |} A ffi noid with � a z , z Corresponding = K � b � � a ffi noid algebra � / ( XY − a = K � � X , Y � b ) . Hence, quasi - compact.

A ffi ne line Realization as the limit of closed disks � D (0 , | a | − n | ) K = n ≥ 1 | a | < 1 , D (0 , r ) = { z ∈ K | | z | ≤ r } A 1 , an � a n z � = lim Spm K � � K − − → n ≥ 1 Not quasi - compact

≥ G m Multiplicative group { z ∈ K | | a | n ≤ | z | ≤ | a | − n } � K × = n ≥ 1 { z ∈ K | | a | n + 1 ≤ | z | ≤ | a | n } � = n ∈ Z | a | < 1 � a n + 1 G an z , z � Spm K � a n � � m , K = n ∈ Z Not quasi - compact

≥ G m / q Z ( | q | < 1) Tate curve Take a ∈ K with | a | k = | q | ( k ≥ 2). G an � A n m , K = n ∈ Z � a n + 1 z , z A n = Spm K � a n � � q maps A n isomorphically onto A n + k . m , K / q Z as the union of k annuli. � G an Hence, quasi - compact.

Differences Can take (non-canonically) “models” of affinoids C C p vs. ( continued ) C p C ∃ ∄ integer ring ∃ integer ring Similar for A ffi noid algebras

A ffi noid case • V : a -adically complete valuation ring of ht. 1 • K = Frac( V ) (with a -adic norm | | ). A : topologically finitely generated flat V -algebra � A K = A ⊗ V K : a ffi noid algebra / K .