Resoluo Numrica de Sistemas Lineares Parte I Profs.: Bruno Correia - PowerPoint PPT Presentation

Cálculo Numérico Cálculo Numérico Módulo V Módulo V Resolução Numérica de Sistemas Lineares – Parte I Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz José Eustáquio Rangel de Queiroz Marcelo Alves de Barros

Sistemas Lineares  Forma Geral + + + = a x a x ... a x b 11 1 12 2 1 n n 1 + + + = a x a x ... a x b 21 1 22 2 2 n n 2      + + + = a x a x ... a x b n 1 1 n 2 2 nn n n onde: a ij  coeficientes a 2 ij

Sistemas Lineares  Exemplo 01 + − = 2 x 4 x 5 x 5 1 2 3 + − = 4 x 1 x 5 x 2 1 2 3 + + = − 2 x 4 x 5 x 1 1 2 3 2, 4, -5, 4, 1, -5, 2, 4 e 5  coeficientes x 1 , x 2 e x 3  incógnitas 3

Sistemas Lineares  Forma Matricial Ax = b Ax = b onde:   a a a  11 12 1 n     b x   1 1       a a a  b x 21 22 2 n 2 2 = = b x       = A             b x       n n   a a a a   n 1 n 2 n 3 nn 4 4

Sistemas Lineares  Exemplo 02  Forma Geral + − = 2 x 4 x 5 x 5 1 2 3 + − = 4 x 1 x 5 x 2 1 2 3 + + = − 2 x 4 x 5 x 1 1 2 3  Forma Matricial   x  −    2 4 5 5 1       − = 4 1 5 . x 2 2       − 2 4 5 1 x       3 5 5

Sistemas Lineares  Classificação I  Impossível Impossível  Não Não possui solução  Exemplo 03  + = x x 3  1 2   + = 2 x 2 x 9  1 2 6 6

Sistemas Lineares  Classificação II  Possível Possível  Possui 1 ou mais soluções  Determinado Determinado  Solução única única  Exemplo 04  + = x x 4  1 2  − =  x x 8  1 2 7

Sistemas Lineares  Classificação III  Possível Possível  Possui 1 ou mais soluções  Indeterminado Indeterminado  Mais de uma Mais de uma solução  Exemplo 05  + = x x 4  1 2   + = 2 x 2 x 8  1 2 8

Sistemas Lineares  Classificação IV  Possível Possível  Possui 1 ou mais soluções  Homogêneo Homogêneo  Vetor b=0 b=0 (x=0 sempre existe solução)  Exemplo 06  + = x x 0  1 2  + =  2 x 3 x 0  1 2 9

Sistemas Lineares  Sistemas Triangulares:  Possibilidade de resolução de forma Retroativa Retroativa  Inferior Inferior   a 0 0 0  11   a a 0 0  21 22   = A a a a  0   31 32 33          a a a  a   n 1 n 2 n 3 nn 10

Sistemas Lineares  Sistemas Triangulares:  Possibilidade de resolução de forma Retroativa Retroativa  Superior Superior   a a a  a 11 12 13 1 n   0 a a  a 22 23 2 n   = A 0 0 a  a   33 3 n          0 0 0  a   nn 11

Solução Retroativa  Exemplo 7:  Dado o sistema: + − + = − 3 x 4 x 5 x x 10 1 2 3 4 + − = − x x 2 x 1 2 3 4 − = 4 x 5 x 3 3 4 = 2 x 2 4  Primeiro passo para sua resolução: 2 = = x 4 1 2 12

Solução Retroativa  Exemplo 7:  Segundo passo: − = 4 x 5 x 3 3 4 − ⋅ = 4 x 5 1 3 3 = x 2 3  Terceiro passo: + − = − x x 2 x 1 2 3 4 + − ⋅ = − x 2 2 1 1 2 = − x 1 2 13

Solução Retroativa  Exemplo 7:  Último passo: + − + = − 3 x 4 x 5 x x 10 1 2 3 4 + ⋅ − − ⋅ + = − 3 x 4 ( 1 ) 5 2 1 10 1 = x 1 1 14

Métodos Numéricos  Diretos Diretos  Solução pode ser encontrada através de um número finito de passos  Método de Gauss Método de Gauss  Método da Eliminação de Jordan Método da Eliminação de Jordan  Fatoração LU Fatoração LU 15

Métodos Numéricos  Iterativos Iterativos  Solução a partir de uma seqüência de seqüência de aproximações para o valor do vetor solução x , aproximações x até que seja obtido um valor que satisfaça à precisão pré-estabelecida  Método de Jacobi Método de Jacobi  Método de Gauss – Siedel Método de Gauss – Siedel 16

Método de Gauss  Propósito  Transformação do sistema linear a ser resolvido em um sistema linear triangular sistema linear triangular;  Resolução do sistema linear triangular de forma retroativa retroativa 17

Método de Gauss  Transformação do Sistema Linear  Troca da ordem das linhas;  Multiplicação de uma das equações por um número real não nulo;  Substituição de uma das equações por uma combinação linear dela mesma com outra equação. 18

Método de Gauss  Passos do Método de Gauss  Construção da matriz aumentada Ab Ab   a a  a b 11 12 1 n 1   [ ] a a  a b 21 22 2 n 2 = Ab          a a a a b   n 1 n 2 n 3 nn n 19 19

Método de Gauss  Passos do Método de Gauss  Passo 1:  Eliminar os coeficientes de x Eliminar os coeficientes de x 1 presentes nas 1 linhas 2,3,...,n - sendo a 21 = a 31, = ... = a n1 = 0 - sendo a a 11 chamado de pivô da coluna pivô da coluna 11  Substituir a linha 2, L L 2 2 , pela combinação linear a 21 − ⋅ = L m L , onde : m 2 21 1 21 a 11 20

Método de Gauss  Passos do Métdo de Gauss  Substituir a linha 3, L 3 , pela combinação linear: a 31 = − ⋅ = L L m L , onde : m 3 3 31 1 31 a 11 21

Método de Gauss  Passos do Método de Gauss  Deve-se continuar a substituição até a linha n;  Caso algum elemento a pp =0, achar outra linha k onde a kp ≠ 0 e trocar tais linhas. Caso a linha k não exista, o sistema linear não possui solução. 22

Método de Gauss  Passos do Método de Gauss  Eliminar os coeficientes de x 2 nas linhas 3, 4, ..., n (fazer a 32 =a 42 =...=a n2 = 0);  Eliminar os coeficientes de x 3 nas linhas 4, 5, ..., n (fazer a 43 =a 53 =...=a n3 = 0) e assim sucessivamente. 23

Método de Gauss  Exemplo 8:  Resolver o sistema: + − = 2 x 3 x x 5 1 2 3 + − = 4 x 4 x 3 x 3 1 2 3 − + = − 2 x 3 x x 1 1 2 3  Matriz aumentada Ab  −  2 3 1 5 [ ]   = − Ab 4 4 3 3   − − 2 3 1 1   24

Método de Gauss  Exemplo 8:  Faz-se: a 21 = − ⋅ = = L L m L , m 2 2 2 21 1 21 a 11  Assim: [ ] [ ] = − − ⋅ − L 4 4 3 3 2 2 3 1 5 2 [ ] = − − − L 0 2 1 7 2 25

Método de Gauss  Exemplo 8:  Faz-se: a 31 = − ⋅ = = L L m L , m 1 3 3 31 1 23 a 11  Assim: [ ] [ ] = − − − ⋅ − L 2 3 1 1 1 2 3 1 5 3 [ ] = − − L 0 6 2 6 3 26

Método de Gauss  Exemplo 8:  Obtém-se a matriz:  −  2 3 1 5 [ ]   = − − − Ab 0 2 1 7   − − 0 6 2 6   27

Método de Gauss  Exemplo 8:  Substituindo a linha 3 por: a 32 = − ⋅ = = L L m L , m 3 3 3 32 1 32 a 22  Têm-se: [ ] [ ] = − − − ⋅ − − − L 0 6 2 7 3 0 2 1 7 3 [ ] = L 0 0 5 15 3 28

Método de Gauss  Exemplo 8:  A matriz [Ab] fica assim com os seguintes valores:  −  2 3 1 5 [ ]   = − − − Ab 0 2 1 7   0 0 5 15   29

Método de Gauss  Exemplo 8:  Usa-se a solução retroativa:  = ⇒ = 5 x 15 x 3 3 3   − − = − ⇒ − − = ⇒ = 2 x x 7 2 x 3 7 x 2  2 3 2 2   + ⋅ − = ⇒ + − = ⇒ = ⇒ = 2 x 3 x x 5 2 x 6 3 5 2 x 2 x 2  1 2 3 1 1 1 30

Método de Gauss  Exemplo 9:  Resolver o sistema. + + = x 4 x 52 x 57 1 2 3 + − = 27 x 110 x 3 x 134 1 2 3 + + = 22 x 2 x 14 x 38 1 2 3  Representando o sistema pela matriz aumentada:   1 4 52 57   = − [ AB ] 27 110 3 134   22 2 14 38   31

Método de Gauss  Exemplo 9:  Escolhendo a primeira linha como pivô, obtém-se: [ ] [ ] = − ⋅ = − − ⋅ L L m L 27 110 3 134 ( 27 / 1 ) 1 4 52 57 2 2 21 1 [ ] = − − L 0 2 1400 1410 2 [ ] ) [ ] ( = − ⋅ = − ⋅ L L m L 22 2 14 38 22 / 1 1 4 52 57 3 3 31 1 [ ] = − − − L 0 86 1130 1210 3 32

Método de Gauss  Exemplo 9:  Representando o sistema pela matriz aumentada:   1 4 52 57   = − − [ AB ] 0 2 1400 1410   − − − 0 86 1130 1210   33