Recent Progress on the Abelian Sector of F-Theory - PowerPoint PPT Presentation

Strings ¡2014, ¡Princeton ¡ 25 th ¡of ¡June, ¡2014 ¡ Recent ¡Progress ¡on ¡the ¡ ¡ ¡Abelian ¡Sector ¡of ¡F-­‑Theory ¡ Denis ¡Klevers ¡ arXiv:1303.6970 ¡[hep-­‑th]: ¡M. ¡Cve8č, ¡D.K., ¡H. ¡Piragua ¡ arXiv:1306.3987 ¡[hep-­‑th]: ¡M. ¡Cve8č, ¡A. ¡Grassi, ¡D.K., ¡H. ¡Piragua ¡ arXiv:1307.6425 ¡[hep-­‑th]: ¡M. ¡Cve8č, ¡D.K., ¡H. ¡Piragua ¡ arXiv:1310.0463 ¡[hep-­‑th]: ¡M. ¡Cve8č, ¡D.K., ¡H. ¡Piragua, ¡P. ¡Song ¡ arXiv:1407.nnnn ¡: ¡D.K., ¡D. ¡Mayorga ¡Peña, ¡P. ¡Oehlmann, ¡H. ¡Piragua, ¡J. ¡Reuter ¡ arXiv:14nn.nnnn ¡: ¡M. ¡Cve8č, ¡D.K, ¡H. ¡Piragua, ¡W. ¡Taylor ¡ 1 ¡

F-­‑theory ¡& ¡U(1)-­‑symmetries ¡ ¡ INTRODUCTION ¡ ¡ 2 ¡

Why ¡F-­‑theory? ¡ F-­‑theory ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Type ¡IIB ¡ ellipQcally ¡fibered ¡ ¡ • back-­‑reacted ¡ ¡ • ¡ ¡ • regions ¡with ¡ ¡ on ¡ 3 ¡

Why ¡F-­‑theory? ¡ M-­‑theory ¡ Type ¡II ¡A ¡ ¡ ¡ ¡On ¡T 2 ¡ ¡ ¡ ¡Limit ¡vol( T 2 ) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡ on ¡S 1 ¡ F-­‑theory ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Type ¡IIB ¡ ellipQcally ¡fibered ¡ ¡ • back-­‑reacted ¡ ¡ • ¡ ¡ • regions ¡with ¡ ¡ on ¡ 3 ¡

Why ¡F-­‑theory? ¡ M-­‑theory ¡ Type ¡II ¡A ¡ ¡ ¡ ¡On ¡T 2 ¡ ¡ ¡ ¡Limit ¡vol( T 2 ) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡ on ¡S 1 ¡ Certain ¡ E 8 xE 8 ¡ Het. ¡ ¡ F-­‑theory ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Type ¡IIB ¡ setups ¡ ellipQcally ¡fibered ¡ ¡ • back-­‑reacted ¡ ¡ • ¡ ¡ • regions ¡with ¡ ¡ on ¡ 3 ¡

Why ¡F-­‑theory? ¡ M-­‑theory ¡ Type ¡II ¡A ¡ ¡ ¡ ¡On ¡T 2 ¡ ¡ ¡ ¡Limit ¡vol( T 2 ) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡ on ¡S 1 ¡ Certain ¡ E 8 xE 8 ¡ Het. ¡ ¡ F-­‑theory ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Type ¡IIB ¡ setups ¡ ellipQcally ¡fibered ¡ ¡ • back-­‑reacted ¡ ¡ • ¡ ¡ • regions ¡with ¡ Certain ¡ ¡ on ¡ setups ¡ S-­‑duality ¡ SO(32) ¡Het. ¡ ¡ Type ¡I ¡ Het/F-­‑theory ¡duality: ¡see ¡Anderson’s ¡talk ¡ 3 ¡

EffecQve ¡theories ¡of ¡F-­‑theory ¡ Use ¡F-­‑theory ¡to ¡engineer ¡effecQve ¡theories: ¡ F-­‑theory ¡ N=1 ¡SUGRA ¡effecQve ¡ ¡ Calabi-­‑Yau ¡geometry ¡ ¡ Geometry ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Physics ¡ theories ¡in ¡6D ¡& ¡4D ¡ (+ ¡ G 4 -­‑ flux,…) ¡ Classifica8on ¡of ¡6D ¡(1,0) ¡SCFTs ¡ ¡ via ¡F-­‑theory: ¡see ¡Vafa’s ¡talk ¡ Since ¡ are ¡non-­‑perturbaQve, ¡they ¡ ¡ different ¡from ¡those ¡of ¡ ¡ • used ¡for ¡models ¡of ¡ local ¡models: ¡ ¡ [Donagi,Wijnholt; ¡Beasley,Heckman,Vafa; ¡Bouchard,Heckman,Kane,Seo,Shao,Tavanfar,Vafa; ¡ ¡ Font,Ibanez; ¡Randall,Simmons-­‑Duffin; ¡Hayashi,Kawano,Tsuchiya,Watari,Yamazaki; ¡Dudas,Pal8; ¡ ¡ ¡ ¡Cecoi,Cheng,Heckman,Vafa; ¡Marchesano,Martucci… ¡many ¡works] ¡ global ¡models: ¡ ¡ [Blumenhagen,Grimm,Jurke,Weigand;Marsano,Saulina,SchäferNameki; ¡Cordova; ¡ ¡ Grimm,Krause,Weigand… ¡many ¡works] ¡ ¡ 4 ¡ ¡

Goals ¡of ¡this ¡talk ¡ Develop ¡& ¡ of ¡F-­‑theory: ¡ ¡ ¡ of ¡F-­‑theory ¡ ¡ ArithmeQc ¡of ¡ellipQcally ¡fibred ¡CY: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡[Morrison,Vafa] ¡ ¡ ¡ The ¡Abelian ¡sector ¡of ¡F-­‑theory ¡has ¡been ¡rather ¡ : ¡ ¡ ¡ only ¡ ¡ ¡ Few ¡early ¡examples: ¡[Aldazabal,Font,Ibanez,Uranga; ¡Klemm ¡Mayr,Vafa] ¡ ¡ Torsion ¡part: ¡ ¡[Aspinwall,Morrison; ¡Mayrhofer,Morrison,Till,Weigand] ¡ ¡ A ¡lot ¡of ¡recent ¡progress: ¡[Grimm,Weigand;Esole,Fullwood,Yau;Morrison,Park; ¡Cve8č,Grimm,DK; ¡Braun,Grimm,Keitel; ¡ Lawrie,Schäfer-­‑Nameki; ¡Borchmann,Mayrhofer,Pal8,Weigand; ¡Cve8č,DK,Piragua; ¡Grimm,Kapfer,Keitel;Braun,Grimm, ¡ Keitel; ¡Cve8č,Grassi,DK,Piragua; ¡Borchman,Mayrhofer,Pal8,Weigand; ¡Cve8č,DK,Piragua; ¡Cve8č,DK,Piragua,Song; ¡ ¡ ¡ Braun,Collinucci,Valandro; ¡Morrison,Taylor; ¡Kuntzler,Schäfer-­‑Nameki] ¡ ¡ Unlike ¡well-­‑studied ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡[Kodaira; ¡Tate;Morrison,Vafa; ¡Bershadsky,Intriligator,Kachru,Morrison,Sadov,Vafa; ¡Candelas,Font,…] ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Recently: ¡[Esole,Yau;Marsano,Schäfer-­‑Nameki; ¡Morrison,Taylor; ¡Cve8č,Grimm,DK,Piragua; ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Braun,Grimm,Kapfer,Keitel; ¡Borchman,Krause,Mayrhofer,Pal8,Weigand; ¡Hayashi,Lawrie,Morrison, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Schäfer-­‑Nameki; ¡Esole,Shao,Yau] ¡ 5 ¡

Outline ¡& ¡Results ¡ SystemaQc ¡construcQon ¡of ¡Abelian ¡sectors ¡in ¡F-­‑theory ¡ ¡of ¡general ¡ ¡in ¡ Exemplify ¡explicitly ¡for ¡ gauge ¡group. ¡ ¡ • 2. Develop ¡ ¡to ¡study ¡such ¡geometries ¡ ¡spectra ¡ ¡(also ¡with ¡non-­‑Abel. ¡groups). ¡G 4 -­‑flux. ¡ ¡of ¡toolbox: ¡ CICY ¡in ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡( ¡group), ¡ellipQc ¡curves ¡in ¡16 ¡2D ¡ ¡ • P 3 moduli ¡space ¡of ¡F-­‑theory: ¡ . ¡ • 6 ¡

A ¡very ¡brief ¡summary ¡ F-­‑THEORY ¡COMPACTIFICATIONS ¡ 7 ¡

F-­‑theory ¡= ¡geometry/physics ¡dicQonary ¡ F-­‑theory ¡specified ¡by ¡ ¡ manifold ¡π: ¡ X ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡of ¡ellipQc ¡fibraQon ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ co-­‑dim. ¡one ¡sing. ¡over ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ co-­‑dim. ¡two ¡sing. ¡ S S ∩ S 0 ¡ on ¡ ¡ ¡ B ¡ ¡ ¡ [Katz,Vafa] ¡ ¡ S 0 S ¡ S ∩ S 0 pt ¡ S 00 : ¡co-­‑dim ¡three ¡ 4D ¡ ¡maher: ¡ pt = S ∩ S 0 ∩ S 00 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 8 ¡

Structure ¡of ¡ellipQc ¡fibraQons ¡with ¡Mordell-­‑Weil ¡group ¡ ¡ U(1)-­‑GAUGE ¡SYMMETRIES ¡IN ¡F-­‑THEORY ¡ ¡ ¡ 9 ¡

Non-­‑Abelian ¡gauge ¡symmetry ¡in ¡F-­‑theory ¡ [Kodaira;Tate;Vafa;Morrison,Vafa;Bershadsky,Intriligator,Kachru,Morrison,Sadov,Vafa] ¡ Gauge ¡group ¡from ¡singulariQes ¡of ¡ X ¡ for ¡ellipQc ¡fibraQon ¡of ¡ X ¡ ¡ y 2 = x 3 + fxz 4 + gz 6 ¡ B ¡ over ¡divisor ¡ S ¡ encoded ¡in ¡ ¡ ¡ ¡ = ¡orders ¡of ¡vanishing ¡of ¡ f, ¡g , ¡ Δ=4f 3 +27g 2 ¡ 3. Singularity ¡type ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡structure ¡of ¡ over ¡ S ¡ in ¡ ¡ P 1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ resolved ¡ I 4 -­‑singularity: ¡ 3 P 1 2 P 1 P 1 1 P 1 4 : ¡KK-­‑reducQon ¡along ¡(1,1)-­‑form ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ω i ↔ P 1 i C 3 ⊃ A i ω i : ¡light ¡M2-­‑branes ¡on ¡resolving ¡ ¡ ¡ ¡ ¡‘s ¡ P 1 [Wipen] ¡ 10 ¡

U(1)’s ¡in ¡F-­‑theory ¡& ¡the ¡Mordell ¡Weil ¡group ¡ • U(1)’s ¡should ¡arise ¡like ¡Cartans ¡by ¡ . ¡ C 3 ⊃ A m ω m by ¡M2’s: ¡ ¡at ¡codimension ¡1. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(1,1)-­‑form ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡raQonal ¡secQon ¡ ¡ [Morrison,Vafa ¡II] ¡ ω m 11 ¡