Quantum Control of Superconducting Circuits Liang Jiang Yale - PowerPoint PPT Presentation

Quantum Control of Superconducting Circuits Liang Jiang Yale University, Applied Physics Victor Albert, Stefan Krastanov, Chao Shen, Changling Zou Brian Vlastakis, Matt Reagor, Andrei Petrenko, Steven Touzard, Zaki Leghtas, Reinier Heeres, Wolfgang Pfaff Mazyar Mirrahimi, Michel Devoret, Rob Schoelkopf City Tech Physics Seminar 2014.11.13 Supported ¡by: ¡DARPA, ¡ARO, ¡AFOSR, ¡Sloan, ¡Packard. ¡

Superconduc*ng ¡Cavity-­‑Qubit ¡System ¡ storage ¡cavity 45mm transmon ¡qubit readout ¡cavity coupler ¡port Effec*ve ¡Hamiltonian: ¡ Interac9on ¡strength ¡ dominates ¡photon ¡loss ¡& ¡ − χ s a † a e e H = ω s a † a + ω q e e qubit ¡decoherence χ s ≫ κ s , γ q QND ¡readout ¡of ¡the ¡qubit ¡has ¡been ¡demonstrated ¡ ¡ • κ s : ¡photon ¡decay ¡rate in ¡many ¡groups ¡(e.g., ¡F>99.5% ¡in ¡300 ¡ns) ¡ γ q : ¡qubit ¡decoh. ¡rate Long ¡lived ¡SC ¡cavity ¡(T>10 ¡ms ¡>> ¡T qubit ~100us) ¡ •

Manipulate ¡the ¡cavity ¡ st storage ¡ ¡cavity ( ) a † a + ω q e ( ) a † e i ω s t + h . c . H = ω s − χ s e + ε t e e We Weak ¡ ¡Drive: Strong ¡ Str ng ¡Driv Drive: : Condi9onal ¡cavity ¡displacement Uncondi9onal ¡cavity ¡displacement g β D 0, g , g β D β 0 β g D 0, e 0, e indep. of qubit state β Phase-­‑space ¡diagram Phase-­‑space ¡diagram Quantum ¡circuit Quantum ¡circuit β , g quadrature quadrature β g D β D β cavity cavity θ 0, e qubit in-­‑phase in-­‑phase Create ¡ superpo superposi4o si4on ¡of ¡cavity ¡state ¡depending ¡on ¡the ¡qubit.

Manipulate ¡the ¡qubit ¡ st storage ¡ ¡cavity ( ) t + h . c . ( ) e e ( ) e i ω q − m χ s H = ω s a † a + ω q − χ s a † a + Ω m t g e Quantum ¡circuit Str Strong ¡ ng ¡Driv Drive: : Qubit ¡Spectroscopy Uncondi9onal ¡qubit ¡rota9on: Y π n , g n , e Y Integrated ¡Signal qubit χ s π for all n We Weak ¡ ¡Drive: Condi9onal ¡qubit ¡rota9on: cavity m m , g Y π m , e Spectroscopy ¡frequency ¡(GHz) m n , g m qubit n , g Y π Y π n ≠ m Query ¡the ¡qubit: ¡‘Are ¡there ¡m ¡photons ¡in ¡the ¡cavity?’ Johnson ¡B.R. ¡et ¡al. ¡Nature ¡Phys. ¡6, ¡663-­‑667 ¡2010 Kirchmair ¡G. ¡et ¡al. ¡Nature ¡495 ¡205-­‑209 ¡2013

Determinis)c ¡qubit-­‑cavity ¡mapping ¡ Transfer ¡arbitrary ¡state ¡ ¡ Measure ¡Wigner ¡func*on ¡ from ¡qubit ¡to ¡cavity ¡ (based ¡on ¡ QND ¡parity ¡meas ) ¡ Storage β + − β a b † D β C π D β D β ⎡ ⎤ ( ) ( ) † ( ) ( ) a a † α = − α ρ α W Tr 1 D D 0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ qubit 0 Y π /2 + g Y π a g b e 0.6 ¡ -­‑ ¡ ¡Can ¡we ¡prepare ¡the ¡cavity ¡in ¡arbitrary ¡ superposiTon ¡of ¡photon ¡number ¡ 0.0 ¡ states? ¡ -­‑ ¡ ¡Can ¡we ¡robustly ¡encode ¡quantum ¡ -­‑0.6 ¡ informaTon ¡in ¡cavity? ¡ Theory: Experiment: Leghtas ¡et. ¡al ¡PRA ¡87, ¡042315 ¡(2013) Vlastakis ¡et. ¡al ¡Science ¡342, ¡6158 ¡ ¡(2013)

Theory of Cat Codes Mo*va*ons: ¡ ¡ 1. How ¡to ¡construct ¡robust ¡quantum ¡memory? ¡ a) Overcome ¡cavity ¡ dephasing ¡errors ¡ Overcome ¡cavity ¡ loss ¡errors ¡ b) 2. How ¡to ¡control ¡such ¡robust ¡quantum ¡memory? ¡ a) Gates ¡over ¡single ¡logical ¡qubits ¡ b) Gates ¡between ¡two ¡logical ¡qubits ¡

Dominant ¡Errors ¡in ¡Cavity ¡Quantum ¡Memory ¡ Dephasing ¡Error ¡ Photon ¡Loss ¡Error ¡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 1 1 κ ρ = κ ρ − ρ − ρ κ ρ = κ ρ − ρ − ρ 2 2 † † † D n n n n D a a a a a a ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ φ φ − dephase 1 1 loss 1 ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ No ¡Change ¡in ¡photon ¡number! ¡ Reduce ¡photon ¡number ¡by ¡one! ¡ (Env. ¡is ¡probing ¡photon ¡number) ¡ (Env. ¡is ¡stealing ¡our ¡photons ¡one ¡by ¡one) ¡ Strategy: ¡quickly ¡shuffle ¡photon ¡number ¡… ¡ Strategy: ¡monitor ¡photon ¡parity ¡… ¡

Driven ¡damped ¡harmonic ¡oscillator ¡ LC oscillator Q generator Dissipation to I Transmission line Driving ¡+ ¡DissipaTon ¡ à Pure ¡Steady ¡State ¡ à Suppress ¡dephasing ¡noise! ¡ d dt ρ = [ ε a † − ε * a , ρ ] + κ 1 D a ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ρ ⎦ ρ = a ρ a † − 1 2 a † a ρ − 1 ⎡ ⎣ ⎤ 2 ρ a † a D a Steady state: d ρ ∞ = α ∞ α ∞ , α ∞ = 2 ε / κ ⎡ ⎤ dt ρ = κ 1 D a − α ∞ ⎦ ρ ⎣

Mul*-­‑photon ¡Driven ¡& ¡Mul*-­‑photon ¡Damped ¡Oscillator ¡ Case d=2 : 2-dim steady state subspace! { } ∑ ρ ∈ ± α α = ε κ c , 2 / ∞ ± ∞ ∞ 2 2 Storage Cavity 45mm ¡ Q Vertical Transmon Qubit Pump & Readout Cavity I Coupler Port d ⎡ ⎤ dt ρ = ε − ε ρ + κ ρ d † * d d [ ( a ) a , ] D a ⎣ ⎦ d d d Case d=4 : 4-dim steady state subspace! { } ∑ ρ ∈ ± α α = ε κ 1/4 c ( ) i , (2 / ) ∞ ± ∞ ∞ ( ) i 4 4 Q Q d dt ρ = κ d D a d − α ∞ ⎡ ⎤ ⎦ ρ d ⎣ ( ) 1/ d I α ∞ = 2 ε d / κ d I Ongoing ¡experiment ¡ ¡ in ¡Devoret’s ¡group ¡ Mirrahimi, ¡Leghtas, ¡Albert, ¡et ¡al., ¡NJP ¡16, ¡045014 ¡(2014) ¡

Steady ¡states ¡dependent ¡on ¡ini*al ¡states ¡ Case d=2 : Two dimensional steady state subspace! { } ∑ ρ ∈ ± α α = ε κ c , 2 / ∞ ± ∞ ∞ 2 2 𝑅 𝑅 𝐽 𝐽 = ∑ α + − α e δφ α ∞ n = α ∞ i N ( ) c 2 n 0 ∞ ∞ 2 n

Choice ¡of ¡memory ¡basis ¡(|n=0> ¡and ¡|n=1>) ¡ | + Z ⟩ = |C + ​ |+ 𝑨⟩ = ​ |0 ⟩ ¡ α ⟩ Y ​ |− 𝑦⟩ = ​ |0 ⟩ − ​ |1 ⟩ ¡ ​ |+ 𝑦⟩ = ​ |0 ⟩ + ​ |1 ⟩ ¡ | − X ⟩ ≈ | − α ⟩ | + X ⟩ ≈ | α ⟩ | − Z ⟩ = |C − α ⟩ ​ |− 𝑨⟩ = ​ |1 ⟩ ¡ + = = n 0 Z Vulnerable ¡to ¡both ¡ -­‑ ¡Dephasing ¡Errors ¡ − = = n 1 Z -­‑ ¡Photon ¡Loss ¡Errors ¡

Choice ¡of ¡qubit ¡basis ¡(2-­‑photon ¡process) ¡ | + Z ⟩ = |C + ​ |+ 𝒜⟩ 𝒜⟩ = ​ | 𝜷⟩ + ​ |− 𝜷⟩ ¡ α ⟩ +1 Y ​ |+ 𝒚⟩ 𝒚⟩ = ​ |+ 𝜷⟩ ¡ ​ |− 𝒚⟩ | − X ⟩ ≈ | − α ⟩ 𝒚⟩ = ​ |− 𝜷⟩ ¡ | + X ⟩ ≈ | α ⟩ Parity -1 | − Z ⟩ = |C − α ⟩ ​ |− 𝒜⟩ 𝒜⟩ = ​ | 𝜷⟩ − ​ |− 𝜷⟩ ¡ + ∑ + = = α + − α = α 2 C N ( ) c 2 n | | α n − = α c e Z 2 n 2 n n ! − ∑ − = = α − − α = + C N ( ) c 2 n 1 α + Z 2 n 1

Choice ¡of ¡qubit ¡basis ¡(2-­‑photon ¡process) ¡ | + Z ⟩ = |C + α ⟩ Y ​ |+ 𝒚⟩ 𝒚⟩ = ​ |+ 𝜷⟩ ¡ ​ |− 𝒚⟩ | − X ⟩ ≈ | − α ⟩ 𝒚⟩ = ​ |− 𝜷⟩ ¡ | + X ⟩ ≈ | α ⟩ | − Z ⟩ = |C − α ⟩ ∞ ∑ + 〉 = 〉 | x c | n n α 2 | | α n − = n 0 = with ¡ c e 2 ∞ n n ! ∑ ( ) n − 〉 = − 〉 | x 1 c | n n = n 0

Choice ¡of ¡qubit ¡basis ¡(2-­‑photon ¡process) ¡ | + Z ⟩ = |C + α ⟩ Y ​ |− 𝒚⟩ 𝒚⟩ = ​ |− 𝜷⟩ ¡ ​ |+ 𝒚⟩ 𝒚⟩ = ​ |+ 𝜷⟩ ¡ | − X ⟩ ≈ | − α ⟩ | + X ⟩ ≈ | α ⟩ | − Z ⟩ = |C − α ⟩ − α 2 Key ¡property : ¡Difference ¡in ¡average ¡photon ¡number ¡<n> ¡is ¡ exponen-ally ¡small , ¡ e + and C α − for ¡any ¡superposiTon ¡state ¡of ¡ ¡ C α

Choice ¡of ¡qubit ¡basis ¡(4-­‑photon ¡process) ¡ | + Z ⟩ = |C (0 mod 4) ⟩ α Zaki ¡Leghtas ¡ +1 Y | − X ⟩ ≈ |C + | + X ⟩ ≈ |C + α ⟩ Parity i α ⟩ -1 | − Z ⟩ = |C (2 mod 4) ⟩ α ( ) = ( ) + i α + − i α ( ) (0mod4) = N ∑ + Z = C α α + − α c 4 n 4 n ( ) = ( ) − i α + − i α ( ) (2mod4) = N ∑ − Z = C α α + − α 4 n + 2 c 4 n + 2 − α 2 /2 Key ¡property : ¡Difference ¡in ¡average ¡photon ¡number ¡<n> ¡is ¡ exponen-ally ¡small , ¡ e ( ) and C α ( ) for ¡any ¡superposiTon ¡state ¡of ¡ ¡ 0mod4 2mod4 C α Leghtas, et al., PRL 111 , 120501 (2012).

Effect ¡of ¡photon ¡dephasing ¡ ¡ (in ¡presence ¡of ¡driven ¡dissipa*ve ¡process) ¡ ¡ ⎛ ⎞ 1 1 [ ] κ ρ = κ ρ − ρ − ρ 2 2 D n n n n n ⎜ ⎟ φ φ ⎝ 2 2 ⎠ No ¡change ¡in ¡photon ¡number ¡(modulo ¡2 ¡or ¡4) ¡ è ¡ ± Z Constant ¡populaTon ¡of ¡ ¡ è ¡ No ¡logical ¡bit-­‑flip ¡errors ¡