Polynomials and Grbner Bases Alice Feldmann 16th December - PowerPoint PPT Presentation

Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡ Alice ¡Feldmann ¡ 16th ¡December ¡2014 ¡ ETH ¡Zürich ¡ Student ¡Seminar ¡in ¡Combinatorics: ¡ Mathema:cal ¡So<ware ¡ Prof. ¡K. ¡Fukuda ¡ Autumn ¡Semester ¡2014 ¡ ETH ¡Zürich ¡– ¡Student ¡Seminar ¡in ¡Combinatorics: ¡Mathema:cal ¡So<ware ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡-­‑ ¡Alice ¡Feldmann ¡– ¡16.12.2014 ¡

Talk ¡Outline ¡ I. Introduc:on: ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ II. Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡ a. Algebraic ¡Background ¡ b. Gröbner ¡Bases ¡ c. Buchberger‘s ¡Algorithm ¡ III. Mathema:cal ¡So<ware ¡for ¡Problems ¡in ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ a. Singular ¡ b. CoCoA ¡ c. Gfan ¡ IV. Implementa:on: ¡Buchberger‘s ¡Algorithm ¡in ¡Singular ¡ V. References ¡ ETH ¡Zürich ¡– ¡Student ¡Seminar ¡in ¡Combinatorics: ¡Mathema:cal ¡So<ware ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡-­‑ ¡Alice ¡Feldmann ¡– ¡16.12.2014 ¡

Introduc:on: ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡ Mathema:cal ¡So<ware ¡for ¡Problems ¡in ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ Implementa:on: ¡Buchberger‘s ¡Algorithm ¡in ¡Singular ¡ Introduc9on: ¡Computa9onal ¡Algebra ¡ Tackling ¡problems ¡with ¡algebraic ¡methods ¡using ¡the ¡computer... ¡ For ¡example... ¡ I. Solving ¡inhomogeneous ¡Systems ¡of ¡Linear ¡Equa9ons ¡ Everybody ¡knows ¡the ¡Gauss ¡algorithm ¡for ¡solving ¡systems ¡of ¡linear ¡equa:ons! ¡ Use ¡matrices ¡as ¡algebraic ¡tool ¡and ¡an ¡appropriate ¡so<ware ¡(for ¡example ¡MATLAB) ¡ ¡ to ¡analyse ¡whether ¡there ¡exists ¡a ¡unique ¡solu:on ¡for ¡an ¡inhomogeneous ¡system ¡ (which ¡happens ¡if ¡and ¡only ¡if ¡det (M)≠0 ). ¡ ¡ II. Gröbner ¡Bases ¡ ¡ ... ¡provide ¡solu:ons ¡to ¡basic ¡problems ¡in ¡ring ¡theory, ¡for ¡example: ¡ ¡“Let ¡ R ¡be ¡a ¡ring ¡and ¡ I ¡ ¡be ¡an ¡ideal ¡in ¡ R ¡. ¡Given ¡ r ∊ R ¡, ¡is ¡ r ∊ ¡ ¡ I ¡?“ ¡ ¡ ¡ ¡Membership ¡Problem ¡ ¡... ¡provide ¡an ¡approach ¡for ¡solving ¡systems ¡of ¡non-­‑linear ¡equa:ons ¡ ¡(reduc:on ¡of ¡number ¡of ¡variables) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ETH ¡Zürich ¡– ¡Student ¡Seminar ¡in ¡Combinatorics: ¡Mathema:cal ¡So<ware ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡-­‑ ¡Alice ¡Feldmann ¡– ¡16.12.2014 ¡

Introduc:on: ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ Algebraic ¡Background ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡ Gröbner ¡Bases ¡ Mathema:cal ¡So<ware ¡for ¡Problems ¡in ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ Buchberger‘s ¡Algorithm ¡ Implementa:on: ¡Buchberger‘s ¡Algorithm ¡in ¡Singular ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡ Algebraic ¡Background ¡ Let‘s ¡remember ¡some ¡basic ¡algebraic ¡defini:ons ¡and ¡concepts... ¡ I. ¡ ¡ ¡ Monomial ¡over ¡a ¡collec:on ¡of ¡variables ¡ ¡ II. ¡ Total ¡degree ¡ of ¡a ¡monomial ¡ III. ¡ Term : ¡product ¡of ¡nonzero ¡element ¡ c ¡of ¡a ¡field ¡ F ¡and ¡a ¡monomial. ¡ IV. ¡ Polynomial ¡ p in ¡ n ¡ variables: ¡sum ¡of ¡a ¡finite ¡number ¡of ¡terms ¡with ¡coefficients ¡in ¡ F ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ for ¡ ETH ¡Zürich ¡– ¡Student ¡Seminar ¡in ¡Combinatorics: ¡Mathema:cal ¡So<ware ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡-­‑ ¡Alice ¡Feldmann ¡– ¡16.12.2014 ¡

Introduc:on: ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ Algebraic ¡Background ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡ Gröbner ¡Bases ¡ Mathema:cal ¡So<ware ¡for ¡Problems ¡in ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ Buchberger‘s ¡Algorithm ¡ Implementa:on: ¡Buchberger‘s ¡Algorithm ¡in ¡Singular ¡ V. ¡ ¡ ¡ Polynomial ¡Ring: ¡set ¡of ¡all ¡polynomials ¡in ¡ n ¡variables ¡with ¡coefficients ¡in ¡ F VI. ¡ ¡ ¡ Field ¡of ¡Ra9onal ¡Func9ons : ¡ VII. ¡ ¡ ¡ Ideal: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ non-­‑empty ¡subset ¡of ¡field ¡ F , ¡such ¡that ¡ a. ¡ ¡ ¡for ¡ ¡and ¡ ¡ ¡ b. For ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡for ¡an ¡arbitrary ¡polynomial ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ VIII. ¡ ¡ Ideal ¡generated ¡by ¡polynomials ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Remark: ¡ ¡ ¡ is ¡the ¡smallest ¡ideal, ¡which ¡contains ¡ ¡ ETH ¡Zürich ¡– ¡Student ¡Seminar ¡in ¡Combinatorics: ¡Mathema:cal ¡So<ware ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡-­‑ ¡Alice ¡Feldmann ¡– ¡16.12.2014 ¡

Introduc:on: ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ Algebraic ¡Background ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡ Gröbner ¡Bases ¡ Mathema:cal ¡So<ware ¡for ¡Problems ¡in ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ Buchberger‘s ¡Algorithm ¡ Implementa:on: ¡Buchberger‘s ¡Algorithm ¡in ¡Singular ¡ Example ¡ Consider ¡the ¡polynomials: ¡ ¡ Observe: ¡ Conclude: ¡ ¡ ¡ ETH ¡Zürich ¡– ¡Student ¡Seminar ¡in ¡Combinatorics: ¡Mathema:cal ¡So<ware ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡-­‑ ¡Alice ¡Feldmann ¡– ¡16.12.2014 ¡

Introduc:on: ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ Algebraic ¡Background ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡ Gröbner ¡Bases ¡ Mathema:cal ¡So<ware ¡for ¡Problems ¡in ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ Buchberger‘s ¡Algorithm ¡ Implementa:on: ¡Buchberger‘s ¡Algorithm ¡in ¡Singular ¡ Remarks ¡ I. ¡ Hilbert ¡Basis ¡Theorem ¡ ¡ ¡Every ¡ideal ¡ I ¡ ¡in ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡has ¡a ¡finite ¡genera:ng ¡set. ¡ ¡ ¡This ¡means, ¡for ¡any ¡given ¡ideal ¡ I ¡, ¡there ¡exists ¡a ¡finite ¡set ¡of ¡polynomials ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡such ¡that ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ II. ¡ Division ¡Algorithm ¡ in ¡ ¡ ¡ ¡Given ¡two ¡polynomials ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡we ¡can ¡divide ¡ f ¡ ¡by ¡ g , ¡producing ¡a ¡unique ¡ ¡ ¡quo:ent ¡ q ¡and ¡remainder ¡ r ¡such ¡that ¡ ¡ ¡and ¡it ¡is ¡either ¡ r = 0 ¡, ¡or ¡ r ¡has ¡degree ¡strictly ¡smaller ¡than ¡the ¡degree ¡of ¡ g . If ¡there ¡exists ¡a ¡division ¡algorithm ¡for ¡polynomials ¡in ¡just ¡one ¡variable, ¡is ¡ ¡ ¡ ¡there ¡one ¡for ¡polynomials ¡in ¡many ¡variables? ¡ ETH ¡Zürich ¡– ¡Student ¡Seminar ¡in ¡Combinatorics: ¡Mathema:cal ¡So<ware ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡-­‑ ¡Alice ¡Feldmann ¡– ¡16.12.2014 ¡

Introduc:on: ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ Algebraic ¡Background ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡ Gröbner ¡Bases ¡ Mathema:cal ¡So<ware ¡for ¡Problems ¡in ¡Computa:onal ¡Algebra ¡ Buchberger‘s ¡Algorithm ¡ Implementa:on: ¡Buchberger‘s ¡Algorithm ¡in ¡Singular ¡ Monomial ¡Orders ¡ Formal ¡defini9on: ¡ A ¡ monomial ¡order ¡ on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡any ¡rela:on ¡> ¡on ¡the ¡set ¡of ¡monomials ¡ ¡ in ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡sa:sfying: ¡ I. > ¡is ¡a ¡ total ¡(linear) ¡ordering ¡ rela:on. ¡ II. > ¡is ¡ compa4ble ¡with ¡mul4plica4on ¡ in ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ¡ III. > ¡is ¡a ¡ well-­‑ordering , ¡i.e. ¡every ¡non-­‑empty ¡collec:on ¡of ¡monomials ¡has ¡a ¡smallest ¡ element ¡under ¡>. ¡ ¡ Examples: ¡ I. ¡Lexicographic ¡Order ¡ II. ¡Graded ¡Reverse ¡Lexicographic ¡Order ¡ ETH ¡Zürich ¡– ¡Student ¡Seminar ¡in ¡Combinatorics: ¡Mathema:cal ¡So<ware ¡ Polynomials ¡and ¡Gröbner ¡Bases ¡-­‑ ¡Alice ¡Feldmann ¡– ¡16.12.2014 ¡