K-16 Algebraic Thinking: A Mathema7cal Perspec7ve Learning - PowerPoint PPT Presentation

K-­‑16 ¡Algebraic ¡Thinking: ¡A ¡ Mathema7cal ¡Perspec7ve ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 1 transforms lives.

K-­‑16 ¡Algebraic ¡Thinking: ¡A ¡ Mathema7cs ¡Perspec7ve ¡ • Intro: ¡Why ¡Think ¡about ¡Algebraic ¡Thinking ¡ • Some ¡Recent ¡Thinking ¡About ¡Algebraic ¡ Thinking ¡ • Mathema7cal ¡Prac7ce ¡Standard ¡7 ¡as ¡a ¡Focus ¡ • Analogical ¡Reasoning ¡and ¡Algebraic ¡Thinking ¡ • Examples ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 2 transforms lives.

Why ¡Think ¡about ¡Algebraic ¡ Thinking ¡ • The ¡NPR ¡Car ¡Guys: ¡A ¡story ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 3 transforms lives.

• “When ¡am ¡I ¡ever ¡going ¡to ¡use ¡this?” ¡ • “The ¡danger ¡in ¡learning ¡algebra ¡is ¡that ¡ students ¡emerge ¡with ¡nothing ¡but ¡the ¡moves.” ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Progressions, ¡CCSS, ¡“High ¡School, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Algebra”: ¡December ¡2012 ¡Dra< ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 4 transforms lives.

• “When ¡am ¡I ¡ever ¡going ¡to ¡use ¡this?” ¡ ¡ ¡ Depends ¡on ¡what ¡you ¡mean ¡by ¡‘this.’ ¡If ¡it ¡ only ¡means ¡the ¡moves ¡you’ve ¡learned, ¡ maybe ¡you ¡won’t. ¡ ¡But ¡if ¡it ¡means ¡ thinking ¡abstractly, ¡generalizing, ¡looking ¡ for ¡structure, ¡etc., ¡you ¡will ¡find ¡‘this’ ¡ broadly ¡useful ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 5 transforms lives.

Some ¡Recent ¡Thinking ¡about ¡ Algebraic ¡Thinking: ¡ 1996 ¡ ‘Mathema7cal ¡Habits ¡of ¡Mind’ ¡ar7cle ¡published ¡ in ¡ Journal ¡of ¡MathemaOcal ¡Behavior , ¡by ¡Al ¡ Cuoco, ¡Paul ¡Goldenberg, ¡and ¡June ¡Mark. ¡ ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 6 transforms lives.

Algebraic ¡Habits ¡of ¡Mind: ¡ ¡ ¡ Circa ¡2000 • Doing ¡and ¡Undoing ¡ • Abstrac0ng ¡from ¡Computa0on ¡ • Building ¡Rules ¡to ¡Represent ¡Func0ons ¡ Fostering ¡Algebraic ¡Thinking, ¡ Heinemann, ¡Inc. ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 7 transforms lives.

Algebraic ¡Thinking ¡Research ¡ The ¡2000’s ¡ Expanding ¡body ¡of ¡knowledge, ¡from ¡research ¡at ¡ places ¡like ¡U. ¡of ¡Wisconsin, ¡U. ¡of ¡ MassachuseZs-­‑Dartmouth, ¡U. ¡of ¡Maryland, ¡ TERC, ¡EDC, ¡U. ¡of ¡Arizona, ¡etc. ¡

Algebraic ¡Habits ¡of ¡Mind: ¡ ¡ ¡ Circa ¡2000 • Doing ¡and ¡Undoing ¡ ¡ ¡ working ¡back ¡from ¡soluOon ¡to ¡starOng ¡number ¡or ¡ ¡numbers ¡ • Abstrac0ng ¡from ¡Computa0on ¡ ¡ ¡ if ¡algebra ¡is ¡‘generalized ¡arithmeOc,’ ¡what ¡gets ¡ ¡generalized ¡(or ¡abstracted, ¡more ¡to ¡the ¡point)? ¡ ¡ ¡ • Building ¡Rules ¡to ¡Represent ¡Func0ons ¡ ¡ ¡ describing ¡general ¡rules ¡from ¡repeated ¡input-­‑output ¡ paTerns ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 9 transforms lives.

Algebraic ¡Habits ¡of ¡Mind: ¡ ¡ ¡ Circa ¡2008 hZp://ltd.edc.org/resource-­‑library?page=5 ¡ Cuoco, ¡Goldenberg, ¡and ¡Mark ¡update ¡their ¡ar7cle. ¡ ¡ Some ¡relevant ¡samples: ¡ • Algebraists ¡break ¡things ¡into ¡parts. ¡A ¡useful ¡ technique ¡in ¡algebra ¡is ¡to ¡idenOfy ¡the ¡“building ¡ blocks” ¡of ¡a ¡structure. ¡ ¡ • Algebraists ¡extend ¡things. ¡New ¡insights ¡come ¡when ¡ you ¡see ¡how ¡a ¡calculaOon ¡or ¡theorem ¡behaves ¡when ¡ you ¡put ¡a ¡given ¡system ¡inside ¡a ¡larger ¡one. ¡ ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 10 transforms lives.

Common ¡Core ¡Standards ¡for ¡ Mathema7cal ¡Prac7ce ¡ 1. ¡Make ¡sense ¡of ¡problems ¡and ¡persevere ¡in ¡solving ¡them. ¡ 2. ¡Reason ¡abstractly ¡and ¡quan0ta0vely. ¡ 3. ¡Construct ¡viable ¡arguments ¡and ¡cri0que ¡the ¡reasoning ¡of ¡ others. ¡ 4. ¡Model ¡with ¡mathema0cs. ¡ 5. ¡Use ¡appropriate ¡tools ¡strategically. ¡ 6. ¡ALend ¡to ¡precision. ¡ 7. ¡Look ¡for ¡and ¡make ¡use ¡of ¡structure. ¡ 8. ¡Look ¡for ¡and ¡express ¡regularity ¡in ¡repeated ¡reasoning. ¡ Learning Learning EDC EDC Interactive Formative Assessment Tools for English Language Learners with Disabilities Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 11 transforms transforms lives. lives. 11

MP ¡Standards ¡Give ¡Us ¡a ¡Common ¡ Language ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 12 transforms lives.

Common ¡Core ¡Standards ¡for ¡ Mathema7cal ¡Prac7ce ¡ 1. ¡Make ¡sense ¡of ¡problems ¡and ¡persevere ¡in ¡solving ¡them. ¡ 2. ¡Reason ¡abstractly ¡and ¡quan0ta0vely. ¡ 3. ¡Construct ¡viable ¡arguments ¡and ¡cri0que ¡the ¡reasoning ¡of ¡ others. ¡ 4. ¡Model ¡with ¡mathema0cs. ¡ 5. ¡Use ¡appropriate ¡tools ¡strategically. ¡ 6. ¡ALend ¡to ¡precision. ¡ 7. ¡Look ¡for ¡and ¡make ¡use ¡of ¡structure. ¡ 8. ¡Look ¡for ¡and ¡express ¡regularity ¡in ¡repeated ¡reasoning. ¡ Learning Learning EDC EDC Interactive Formative Assessment Tools for English Language Learners with Disabilities Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 13 transforms transforms lives. lives. 13

MP ¡Standard ¡7 ¡as ¡a ¡Focus ¡

MP ¡Standard ¡7’s ¡Key ¡Ideas ¡ • Looking ¡for ¡and ¡surfacing ¡structure ¡ • Making ¡use ¡of ¡structure ¡

For ¡Younger ¡Students,‘Looking ¡For’ ¡ May ¡Start ¡with ¡No7cing ¡ Here ¡is ¡a ¡number ¡sentence. ¡ ¡Tell ¡me ¡how ¡you ¡ know ¡it ¡is ¡true: ¡173 ¡– ¡35 ¡+ ¡35 ¡= ¡173 ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 16 transforms lives.

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As ¡Students ¡Grow ¡More ¡ Experienced: ¡ They ¡can ¡use ¡their ¡awareness ¡of ¡structure ¡to ¡ look ¡for ¡proper7es ¡that ¡invite ¡shortcuts: ¡ ¡ “Compare ¡5% ¡of ¡7,000 ¡with ¡7% ¡of ¡5,000. ¡ ¡Is ¡one ¡ larger ¡than ¡the ¡other?” ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 18 transforms lives.

Based ¡on: ¡ Adapted ¡from ¡a ¡problem ¡in: ¡ Gelfand, ¡I.M. ¡& ¡Shen, ¡A. ¡1993. ¡ Algebra. ¡ Boston: ¡ Birkhauser. ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 19 transforms lives.

¡Another ¡Example ¡of ¡Fostering ¡MP7 ¡ For ¡each ¡expression ¡below, ¡choose ¡TWO ¡ different ¡values ¡that ¡would ¡make ¡the ¡ calcula7ons ¡‘easy.’ ¡ ¡Then ¡simplify ¡the ¡ expressions: ¡ a) 68 ¡+ ¡___ ¡+ ¡17 ¡ b) 4 ¡x ¡__ ¡x ¡5/6 ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 20 transforms lives.

‘Making ¡Use ¡of ¡Structure’: ¡Thinking ¡ Flexibly ¡about ¡Computa7onal ¡ Procedures ¡ Find ¡3 ¡different ¡sets ¡of ¡six ¡numbers, ¡each ¡ with ¡mean ¡equal ¡to ¡27.5. ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 21 transforms lives.

A ¡Wondering ¡ MP7 ¡is ¡framed ¡mathemaOcally, ¡but ¡might ¡a ¡ consistent ¡emphasis ¡on ¡it ¡in ¡curriculum ¡and ¡ instrucOon ¡have ¡benefits ¡for ¡students ¡beyond ¡ the ¡world ¡of ¡mathemaOcs? ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 22 transforms lives.

Analogical ¡Reasoning ¡ “While ¡mathema7cal ¡reasoning ¡encompasses ¡a ¡number ¡ of ¡processes, ¡a ¡par7cularly ¡significant ¡role ¡is ¡played ¡ by ¡those ¡of ¡analogical ¡reasoning. ¡Simply ¡put, ¡ analogical ¡reasoning ¡entails ¡understanding ¡ something ¡new ¡by ¡analogy ¡with ¡something ¡that ¡is ¡ known. ¡Such ¡reasoning ¡appears ¡to ¡be ¡one ¡of ¡the ¡ most ¡important ¡mechanisms ¡underlying ¡human ¡ thought. ¡“ ¡ L.D. ¡English ¡(1998) ¡“Reasoning ¡by ¡Analogy ¡in ¡Solving ¡Comparison ¡ Problems” ¡ MathemaOcal ¡CogniOon ¡(4)2, ¡125-­‑146 ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 23 transforms lives.

Analogical ¡Reasoning ¡Informing ¡ MP7 ¡ • System ¡Structure ¡Level ¡ • Problem ¡Level: ¡Problems ¡with ¡a ¡Common ¡ Structure ¡ Learning EDC Algebra: NCTM 2013 Annual Meeting 24 transforms lives.