INVEX FORMULATIONS IN INTEGER PROGRAMMING Hassan Hijazi - PowerPoint PPT Presentation

INVEX ¡FORMULATIONS ¡IN ¡ ¡ INTEGER ¡PROGRAMMING ¡ Hassan ¡Hijazi ¡ ¡ 09/01/2012 ¡ AUSSOIS ¡2012 ¡

Convex functions 1 ¡ q Convex ¡opHmizaHon: ¡ Any ¡staHonary ¡point ¡is ¡opHmal ¡ �

Invex functions 2 ¡ 1 0,75 0,5 0,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 -0,25

Definition (Hanson 1981) 4 ¡

Simple characterization 5 ¡

Constrained Optimization 6 ¡ We ¡need ¡to ¡look ¡at ¡the ¡Lagrangian ¡funcHon: ¡

Invex formulations in Integer Programs 7 ¡ ¨ Modeling ¡disjuncHve ¡constraints ¡ featuring ¡unbounded ¡variables ¡ ¨ Invex ¡formulaHons ¡for ¡a ¡facility ¡ locaHon ¡problem ¡

Unbounded disjunction 8 ¡ ¨ How ¡to ¡formulate ¡the ¡constraint: ¡ ¡ ¨ x ¡must ¡remain ¡unbounded! ¡ Ø Now, ¡we ¡only ¡need ¡to ¡model: ¡

Unbounded disjunction 9 ¡ z ¡ y ¡

The big-M formulation 10 ¡ z ¡ y ¡

Convex hull formulation 11 ¡

Lifting 12 ¡ y ¡ z ¡ ϒ

A second order cone constraint 13 ¡

Cplex 14 ¡ CPLEX ¡12.2.0.0: ¡best ¡soluGon ¡found, ¡primal-­‑dual ¡infeasible; ¡objecGve ¡ 3.749997256 ¡ 50 ¡barrier ¡iteraGons ¡ No ¡basis. ¡ x ¡= ¡3.75 ¡ ¡

A hidden hypothesis: constraint qualification 15 ¡ If ¡a ¡point ¡ x* ¡ ¡saHsfies ¡a ¡constraint ¡qualificaHon ¡condiHon, ¡it ¡is ¡ opHmal ¡if ¡and ¡only ¡if ¡it ¡saHsfies ¡the ¡KKT ¡condiHons. ¡ ¡ q ¡ ¡LICQ: ¡the ¡gradients ¡of ¡the ¡acHve ¡inequality ¡constraints ¡and ¡the ¡ gradients ¡of ¡the ¡equality ¡constraints ¡are ¡linearly ¡independent ¡at ¡ x* . ¡ ¡ q Slater ¡condiGons: ¡ there ¡exists ¡a ¡point ¡ x’ ¡such ¡that ¡ g i ( x’ ) ¡< ¡0 ¡ for ¡ all ¡ g i ¡acHve ¡in ¡ x * . ¡ ¡

A hidden hypothesis: constraint qualification 16 ¡

Invex formulation 17 ¡ ϒ y ¡ z ¡

Invex formulation 18 ¡

It ¡works! ¡ 19 ¡ Using ¡IPOPT ¡open ¡source ¡solver, ¡ ¡ Interior ¡point ¡method ¡

With Ipopt 20 ¡ Total ¡CPU ¡secs ¡in ¡IPOPT ¡(w/o ¡funcGon ¡evaluaGons) ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0.003 ¡ Total ¡CPU ¡secs ¡in ¡NLP ¡funcGon ¡evaluaGons ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0.000 ¡ ¡ EXIT: ¡OpGmal ¡SoluGon ¡Found. ¡ Ipopt ¡3.8.3: ¡OpGmal ¡SoluGon ¡Found ¡ x ¡= ¡4 ¡ gamma ¡= ¡0 ¡ y ¡= ¡0 ¡ z ¡= ¡0 ¡

Concentrator placement in Smart Energy Grids 21 ¡ Concentrator ¡ Smart ¡meter ¡

Mathematical modeling 22 ¡

Mathematical modeling 23 ¡

Mathematical modeling 24 ¡

Mathematical modeling 25 ¡

Mathematical modeling 26 ¡

Mathematical modeling 27 ¡

Example 28 ¡ minimize ¡cost: ¡100*z1 ¡+ ¡100*z2 ¡+ ¡25*x11 ¡+ ¡35*x12 ¡+ ¡50*x21 ¡+ ¡35*x22; ¡ ¡ subject ¡to ¡demand1: ¡1 ¡-­‑ ¡x11 ¡-­‑ ¡x12 ¡<= ¡0; ¡ subject ¡to ¡demand2: ¡1 ¡-­‑ ¡x21 ¡-­‑ ¡x22 ¡<= ¡0; ¡ ¡ subject ¡to ¡open11: ¡ ¡x11 ¡<= ¡z1; ¡ subject ¡to ¡open12: ¡ ¡x12<= ¡z2; ¡ subject ¡to ¡open21: ¡ ¡x21 ¡<= ¡z1; ¡ subject ¡to ¡open22: ¡ ¡x22 ¡<= ¡z2; ¡ ¡ subject ¡to ¡capacity1: ¡x11 ¡+ ¡x21 ¡<= ¡1; ¡ subject ¡to ¡capacity2: ¡x12 ¡+ ¡x22 ¡<= ¡1; ¡ ¡ xij ¡ ¡{0,1}^4 ¡ zi ¡{0,1}^2 ¡

LP relaxation 29 ¡ CPLEX ¡12.2.0.0: ¡opGmal ¡soluGon; ¡objecGve ¡172.5 ¡ 4 ¡dual ¡simplex ¡iteraGons ¡(0 ¡in ¡phase ¡I) ¡ z1 ¡= ¡0.5 ¡ ¡ z2 ¡= ¡0.5 ¡ ¡ x11 ¡= ¡0.5 ¡ ¡ x12 ¡= ¡0.5 ¡ ¡ x21 ¡= ¡0.5 ¡ ¡ x22 ¡= ¡0.5 ¡

Example 30 ¡ minimize ¡cost: ¡100*z1^2 ¡+ ¡100*z2^2 ¡+ ¡25*y11 ¡+ ¡35*y12 ¡+ ¡50*y21 ¡+ ¡35*y22; ¡ ¡ subject ¡to ¡demand1: ¡1 ¡-­‑ ¡x11 ¡-­‑ ¡x12 ¡<= ¡0; ¡ subject ¡to ¡demand2: ¡1 ¡-­‑ ¡x21 ¡-­‑ ¡x22 ¡<= ¡0; ¡ ¡ subject ¡to ¡open11: ¡ ¡x11 ¡<= ¡z1*y11; ¡ An ¡invex ¡Program! ¡ subject ¡to ¡open12: ¡ ¡x12<= ¡z2*y12; ¡ subject ¡to ¡open21: ¡ ¡x21 ¡<= ¡z1*y21; ¡ subject ¡to ¡open22: ¡ ¡x22 ¡<= ¡z2*y22; ¡ ¡ subject ¡to ¡capacity1: ¡x11 ¡+ ¡x21 ¡<= ¡1; ¡ subject ¡to ¡capacity2: ¡x12 ¡+ ¡x22 ¡<= ¡1; ¡ ¡ xij ¡ ¡{0,1}^4 ¡ ¡yij ¡>= ¡0 ¡ zi ¡{0,1}^2 ¡

Invex relaxation 31 ¡ ObjecGve...............: ¡ ¡ ¡168.859 ¡ Ipopt ¡3.8.3: ¡OpGmal ¡SoluGon ¡Found ¡ ¡ z1 ¡= ¡0.5 ¡ ¡ z2 ¡= ¡0.559344 ¡ ¡ x11 ¡= ¡1 ¡ ¡ x12 ¡= ¡4.55569e-­‑09 ¡ ¡ x21 ¡= ¡5.02689e-­‑09 ¡ ¡ x22 ¡= ¡1 ¡

Finding a feasible solution 32 ¡ Bonmin ¡1.5 ¡using ¡CBC-­‑IPOPT, ¡Hme ¡limit ¡= ¡3000 ¡sec ¡ |I| ¡ |J| ¡ Bonmin’s ¡best ¡ Invex ¡ rdata1 ¡ ¡15 ¡ 250 ¡ 2300 ¡ 39 ¡ rdata2 ¡ ¡20 ¡ 250 ¡ >3000 ¡ 43 ¡ rdata3 ¡ ¡30 ¡ 250 ¡ >3000 ¡ 120 ¡ rdata4 ¡ ¡40 ¡ 250 ¡ >3000 ¡ 150 ¡ rdata5 ¡ 100 ¡ 250 ¡ >3000 ¡ 300 ¡

33 ¡