Trimester ¡Program ¡on ¡ ¡ Computa1onal ¡Manifolds ¡and ¡Applica1ons ¡ ¡ Introduc1on ¡to ¡Computa1onal ¡ ¡ Manifolds ¡and ¡Applica1ons ¡ ¡ Differen1al ¡Operators ¡on ¡Manifolds ¡ Luis ¡Gustavo ¡Nonato ¡ Depto ¡Matemá3ca ¡Aplicada ¡e ¡Esta9s3ca ¡ ICMC-‑USP-‑Brazil ¡
Summary ¡ Today ¡(Tuesday): ¡Differen3al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ ¡-‑ ¡Differen3al ¡operators ¡in ¡the ¡parametric ¡domain ¡ ¡-‑ ¡Cotangent ¡formula ¡ ¡-‑ ¡Belkin’s ¡approach ¡ ¡-‑ ¡SPH-‑based ¡scheme ¡ ¡ Thursday: ¡Manifold ¡Harmonics ¡and ¡Applica3ons ¡ ¡-‑ ¡Some ¡theore3cal ¡background ¡ ¡-‑ ¡Mesh ¡Filtering ¡ ¡-‑ ¡Rustamov ¡Embedding ¡ ¡ ¡-‑ ¡Fiedler ¡tree ¡ ¡-‑ ¡Other ¡applica3ons ¡
Scalar ¡Func1ons ¡on ¡Surfaces ¡
Scalar ¡Func1ons ¡on ¡Surfaces ¡
Scalar ¡Func1ons ¡on ¡Surfaces ¡ May ¡not ¡be ¡on ¡ M ¡
Scalar ¡Func1ons ¡on ¡Surfaces ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ ? ¡ What ¡is ¡the ¡gradient ¡of ¡ ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ ? ¡ What ¡is ¡the ¡gradient ¡of ¡ ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ ? ¡ What ¡is ¡the ¡gradient ¡of ¡ ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ ? ¡ What ¡is ¡the ¡gradient ¡of ¡ ¡ Metric ¡tensor ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ ? ¡ What ¡is ¡the ¡gradient ¡of ¡ ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ ? ¡ What ¡is ¡the ¡gradient ¡of ¡ ¡ From ¡the ¡proper3es ¡of ¡the ¡metric ¡tensor ¡and ¡some ¡ ¡ algebraic ¡manipula3on ¡we ¡get: ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ ? ¡ What ¡is ¡the ¡gradient ¡of ¡ ¡ From ¡the ¡proper3es ¡of ¡the ¡metric ¡tensor ¡and ¡some ¡ ¡ algebraic ¡manipula3on ¡we ¡get: ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ ? ¡ What ¡is ¡the ¡gradient ¡of ¡ ¡ From ¡the ¡proper3es ¡of ¡the ¡metric ¡tensor ¡and ¡some ¡ ¡ algebraic ¡manipula3on ¡we ¡get: ¡ The ¡Laplacian: ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Jos ¡Stam ¡made ¡use ¡of ¡those ¡operators ¡defined ¡on ¡the ¡ ¡ parametric ¡domain ¡to ¡simulate ¡flows ¡on ¡surfaces. ¡ ¡ ¡ [Flows ¡on ¡Surfaces ¡of ¡Arbitrary ¡Topology, ¡ACM ¡TOG ¡2003] ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Differen3al ¡operators ¡can ¡also ¡be ¡defined ¡using ¡ ¡ intrinsic ¡proper3es ¡of ¡the ¡surface. ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Differen3al ¡operators ¡can ¡also ¡be ¡defined ¡using ¡ ¡ intrinsic ¡proper3es ¡of ¡the ¡surface. ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Differen3al ¡operators ¡can ¡also ¡defined ¡using ¡ ¡ intrinsic ¡proper3es ¡of ¡the ¡surface. ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Differen3al ¡operators ¡can ¡also ¡defined ¡using ¡ ¡ intrinsic ¡proper3es ¡of ¡the ¡surface. ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Differen3al ¡operators ¡can ¡also ¡defined ¡using ¡ ¡ intrinsic ¡proper3es ¡of ¡the ¡surface. ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Differen3al ¡operators ¡can ¡also ¡defined ¡using ¡ ¡ intrinsic ¡proper3es ¡of ¡the ¡surface. ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Using ¡Finite ¡Element ¡Formula3on ¡ 1 ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ In ¡the ¡canonical ¡domain ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Considering ¡the ¡two ¡triangles ¡sharing ¡the ¡edge ¡ij ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Considering ¡the ¡two ¡triangles ¡sharing ¡the ¡edge ¡ij ¡ Allows ¡to ¡discre3ze ¡the ¡Laplace ¡ ¡ equa3on ¡directly ¡on ¡the ¡surface. ¡
Boundary ¡Condi1ons ¡ Least ¡Square-‑based ¡ O. ¡Sorkine, ¡Eurographics ¡2005. ¡
Boundary ¡Condi1ons ¡ Least ¡Square-‑based ¡ Penalty ¡Method ¡ L ¡ P ¡ O. ¡Sorkine, ¡Eurographics ¡2005. ¡
Boundary ¡Condi1ons ¡ Least ¡Square-‑based ¡ Penalty ¡Method ¡ large ¡ ¡ number ¡ L ¡ P ¡ O. ¡Sorkine, ¡Eurographics ¡2005. ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ The ¡cotangent ¡formula ¡has ¡been ¡used ¡in ¡many ¡ geometry ¡processing ¡applica3ons. ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ The ¡cotangent ¡formula ¡has ¡been ¡used ¡in ¡many ¡ geometry ¡processing ¡applica3ons. ¡ Mesh ¡Edi1ng ¡and ¡Deforma1on ¡ [O. ¡Sorkine, ¡Eurographics ¡2005] ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Base ¡Mesh ¡Construc1on ¡ [Daniels ¡et ¡al., ¡SMI ¡2011] ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Base ¡Mesh ¡Construc1on ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Base ¡Mesh ¡Construc1on ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ The ¡cotangent-‑based ¡discre3za3on ¡of ¡the ¡ ¡ Laplace ¡operator ¡ is ¡not ¡consistent . ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ The ¡cotangent-‑based ¡discre3za3on ¡of ¡the ¡ ¡ Laplace ¡operator ¡ is ¡not ¡consistent . ¡ Recently, ¡Hildebrandt ¡and ¡Polthier ¡(SPG’2011) ¡proposed ¡ a ¡weigh3ng ¡scheme ¡to ¡ensure ¡consistency ¡for ¡cotangent ¡ based ¡discre3za3on. ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ The ¡cotangent-‑based ¡discre3za3on ¡of ¡the ¡ ¡ Laplace ¡operator ¡ is ¡not ¡consistent . ¡ Recently, ¡Hildebrandt ¡and ¡Polthier ¡(SPG’2011) ¡proposed ¡ a ¡weigh3ng ¡scheme ¡to ¡ensure ¡consistency ¡for ¡cotangent ¡ based ¡discre3za3on. ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ A ¡consistent ¡discre3za3on ¡schemes ¡have ¡been ¡ ¡ proposed ¡by ¡Belkin: ¡ [Belkin ¡et ¡al., ¡SCG’08] ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ A ¡consistent ¡discre3za3on ¡schemes ¡have ¡been ¡ ¡ proposed ¡by ¡Belkin: ¡ [Belkin ¡et ¡al., ¡SCG’08] ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Belkin ¡has ¡also ¡extended ¡the ¡operator ¡for ¡point ¡set ¡surfaces. ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Belkin ¡has ¡also ¡extended ¡the ¡operator ¡for ¡point ¡set ¡surfaces. ¡ A ¡Delaunay ¡triangula3on ¡is ¡built ¡on ¡the ¡tangent ¡plane ¡ of ¡each ¡point ¡of ¡the ¡mesh. ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Belkin ¡has ¡also ¡extended ¡the ¡operator ¡for ¡point ¡set ¡surfaces. ¡ Projec3on ¡from ¡ the ¡tangent ¡plane ¡ back ¡to ¡the ¡surface ¡ A ¡Delaunay ¡triangula3on ¡is ¡built ¡on ¡the ¡tangent ¡plane ¡ of ¡each ¡point ¡of ¡the ¡mesh. ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Petronefo ¡et ¡al. ¡have ¡employed ¡Smooth ¡Par3cle ¡ ¡ Hydrodynamics ¡(SPH) ¡as ¡discre3za3on ¡mechanism. ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Petronefo ¡et ¡al. ¡have ¡employed ¡Smooth ¡Par3cle ¡ ¡ Hydrodynamics ¡(SPH) ¡as ¡discre3za3on ¡mechanism. ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Petronefo ¡et ¡al. ¡have ¡employed ¡Smooth ¡Par3cle ¡ ¡ Hydrodynamics ¡(SPH) ¡as ¡discre3za3on ¡mechanism. ¡ is ¡a ¡kernel ¡func3on ¡sa3sfying ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Petronefo ¡et ¡al. ¡have ¡employed ¡Smooth ¡Par3cle ¡ ¡ Hydrodynamics ¡(SPH) ¡as ¡discre3za3on ¡mechanism. ¡ Normal ¡extension ¡ is ¡a ¡kernel ¡func3on ¡sa3sfying ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡ Petronefo ¡et ¡al. ¡have ¡employed ¡Smooth ¡Par3cle ¡ ¡ Hydrodynamics ¡(SPH) ¡as ¡discre3za3on ¡mechanism. ¡ is ¡a ¡kernel ¡func3on ¡sa3sfying ¡
Differen1al ¡Operators ¡on ¡Surfaces ¡
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