I. Topology of knots and manifolds 2 Topological equivalence(s) - - PowerPoint PPT Presentation

Quantum invariants of knots and 3 -manifolds Clément Maria The University of Queensland June 2015

I. Topology of knots and manifolds 2

Topological equivalence(s) - Homeomorphism : bijective continuous function with continuous inverse. - Isotopy : continuous family of homeomorphism (”deformation”). - Invariant : property invariant under homeomorphism/isotopy. 3

Topological equivalence(s) ∼ ∼ = = - Homeomorphism : bijective continuous function with continuous inverse. - Isotopy : continuous family of homeomorphism (”deformation”). - Invariant : property invariant under homeomorphism/isotopy. 3

Topological equivalence(s) ∼ ̸ = = - Homeomorphism : bijective continuous function with continuous inverse. - Isotopy : continuous family of homeomorphism (”deformation”). - Invariant : property invariant under homeomorphism/isotopy. 3

Topological equivalence(s) ∼ ̸ = = - Homeomorphism : bijective continuous function with continuous inverse. - Isotopy : continuous family of homeomorphism (”deformation”). - Invariant : property invariant under homeomorphism/isotopy. 3

Knots, links and ribbons - Knot: embedding of S 1 → R 3 . - Link: embedding of S 1 × . . . × S 1 → R 3 . - Ribbon: knot/link with orientation and framing. 4

Knots, links and ribbons - Knot: embedding of S 1 → R 3 . - Link: embedding of S 1 × . . . × S 1 → R 3 . - Ribbon: knot/link with orientation and framing. 4

Knots, links and ribbons - Knot: embedding of S 1 → R 3 . - Link: embedding of S 1 × . . . × S 1 → R 3 . - Ribbon: knot/link with orientation and framing. 4

Manifolds - d -manifold: every point is locally homeomorphic to B d . - Generalized 3 -triangulation: set of tetrahedra with triangle gluings. 5

Manifolds - d -manifold: every point is locally homeomorphic to B d . - Generalized 3 -triangulation: set of tetrahedra with triangle gluings. 5

Quantum invariants of knots 6

Construction of the invariant V W . . V = id V : V → V V = id V ∗ d v : V ∗ ⊗ V → 1 V V θ V : V → V V b v : 1 → V ⊗ V ∗ W V c V,W : V ⊗ W → W ⊗ V V W W 1 Wm W 1 Wm +1 W 1 Wm Wq Wq W 1 Wm · · · · · · · · · · · · g · · · . . f g = f ⊗ g = g ◦ f · · · V 1 Vn f · · · U 1 Uℓ · · · · · · · · · · · · V 1 Vn Vn +1 Vp V 1 Vp U 1 Uℓ f : V 1 ⊗ . . . ⊗ V n → W 1 ⊗ . . . ⊗ W m f ⊗ g : V 1 ⊗ . . . ⊗ V p → W 1 ⊗ . . . W q g ◦ f : U 1 ⊗ . . . ⊗ U ℓ 7

Construction of the invariant V W . . V = id V : V → V V = id V ∗ d v : V ∗ ⊗ V → 1 V V θ V : V → V V b v : 1 → V ⊗ V ∗ W V c V,W : V ⊗ W → W ⊗ V V W W 1 Wm W 1 Wm +1 W 1 Wm Wq Wq W 1 Wm · · · · · · · · · · · · g · · · . . f g = f ⊗ g = g ◦ f · · · V 1 Vn f · · · U 1 Uℓ · · · · · · · · · · · · V 1 Vn Vn +1 Vp V 1 Vp U 1 Uℓ f : V 1 ⊗ . . . ⊗ V n → W 1 ⊗ . . . ⊗ W m f ⊗ g : V 1 ⊗ . . . ⊗ V p → W 1 ⊗ . . . W q g ◦ f : U 1 ⊗ . . . ⊗ U ℓ 7

Construction of the invariant V W . . V = id V : V → V V = id V ∗ d v : V ∗ ⊗ V → 1 V V θ V : V → V V b v : 1 → V ⊗ V ∗ W V c V,W : V ⊗ W → W ⊗ V V W W 1 Wm W 1 Wm +1 W 1 Wm Wq Wq W 1 Wm · · · · · · · · · · · · g · · · . . f g = f ⊗ g = g ◦ f · · · V 1 Vn f · · · U 1 Uℓ · · · · · · · · · · · · V 1 Vn Vn +1 Vp V 1 Vp U 1 Uℓ f : V 1 ⊗ . . . ⊗ V n → W 1 ⊗ . . . ⊗ W m f ⊗ g : V 1 ⊗ . . . ⊗ V p → W 1 ⊗ . . . W q g ◦ f : U 1 ⊗ . . . ⊗ U ℓ 7

Construction of the invariant V W . . V = id V : V → V V = id V ∗ d v : V ∗ ⊗ V → 1 V V θ V : V → V V b v : 1 → V ⊗ V ∗ W V c V,W : V ⊗ W → W ⊗ V V W W 1 Wm W 1 Wm +1 W 1 Wm Wq Wq W 1 Wm · · · · · · · · · · · · g · · · . . f g = f ⊗ g = g ◦ f · · · V 1 Vn f · · · U 1 Uℓ · · · · · · · · · · · · V 1 Vn Vn +1 Vp V 1 Vp U 1 Uℓ f : V 1 ⊗ . . . ⊗ V n → W 1 ⊗ . . . ⊗ W m f ⊗ g : V 1 ⊗ . . . ⊗ V p → W 1 ⊗ . . . W q g ◦ f : U 1 ⊗ . . . ⊗ U ℓ 7

Construction of the invariant V W . . V = id V : V → V V = id V ∗ d v : V ∗ ⊗ V → 1 V V θ V : V → V V b v : 1 → V ⊗ V ∗ W V c V,W : V ⊗ W → W ⊗ V V W W 1 Wm W 1 Wm +1 W 1 Wm Wq Wq W 1 Wm · · · · · · · · · · · · g · · · . . f g = f ⊗ g = g ◦ f · · · V 1 Vn f · · · U 1 Uℓ · · · · · · · · · · · · V 1 Vn Vn +1 Vp V 1 Vp U 1 Uℓ f : V 1 ⊗ . . . ⊗ V n → W 1 ⊗ . . . ⊗ W m f ⊗ g : V 1 ⊗ . . . ⊗ V p → W 1 ⊗ . . . W q g ◦ f : U 1 ⊗ . . . ⊗ U ℓ 7

Construction of the invariant V W . . V = id V : V → V V = id V ∗ d v : V ∗ ⊗ V → 1 V V θ V : V → V V b v : 1 → V ⊗ V ∗ W V c V,W : V ⊗ W → W ⊗ V V W W 1 Wm W 1 Wm +1 W 1 Wm Wq Wq W 1 Wm · · · · · · · · · · · · g · · · . . f g = f ⊗ g = g ◦ f · · · V 1 Vn f · · · U 1 Uℓ · · · · · · · · · · · · V 1 Vn Vn +1 Vp V 1 Vp U 1 Uℓ f : V 1 ⊗ . . . ⊗ V n → W 1 ⊗ . . . ⊗ W m f ⊗ g : V 1 ⊗ . . . ⊗ V p → W 1 ⊗ . . . W q g ◦ f : U 1 ⊗ . . . ⊗ U ℓ 7

Construction of the invariant V W . . V = id V : V → V V = id V ∗ d v : V ∗ ⊗ V → 1 V V θ V : V → V V b v : 1 → V ⊗ V ∗ W V c V,W : V ⊗ W → W ⊗ V V W W 1 Wm W 1 Wm +1 W 1 Wm Wq Wq W 1 Wm · · · · · · · · · · · · g · · · . . f g = f ⊗ g = g ◦ f · · · V 1 Vn f · · · U 1 Uℓ · · · · · · · · · · · · V 1 Vn Vn +1 Vp V 1 Vp U 1 Uℓ f : V 1 ⊗ . . . ⊗ V n → W 1 ⊗ . . . ⊗ W m f ⊗ g : V 1 ⊗ . . . ⊗ V p → W 1 ⊗ . . . W q g ◦ f : U 1 ⊗ . . . ⊗ U ℓ 7

Construction of the invariant V W . . V = id V : V → V V = id V ∗ d v : V ∗ ⊗ V → 1 V V θ V : V → V V b v : 1 → V ⊗ V ∗ W V c V,W : V ⊗ W → W ⊗ V V W W 1 Wm W 1 Wm +1 W 1 Wm Wq Wq W 1 Wm · · · · · · · · · · · · g · · · . . f g = f ⊗ g = g ◦ f · · · V 1 Vn f · · · U 1 Uℓ · · · · · · · · · · · · V 1 Vn Vn +1 Vp V 1 Vp U 1 Uℓ f : V 1 ⊗ . . . ⊗ V n → W 1 ⊗ . . . ⊗ W m f ⊗ g : V 1 ⊗ . . . ⊗ V p → W 1 ⊗ . . . W q g ◦ f : U 1 ⊗ . . . ⊗ U ℓ 7

Construction of the invariant V W . . V = id V : V → V V = id V ∗ d v : V ∗ ⊗ V → 1 V V θ V : V → V V b v : 1 → V ⊗ V ∗ W V c V,W : V ⊗ W → W ⊗ V V W W 1 Wm W 1 Wm +1 W 1 Wm Wq Wq W 1 Wm · · · · · · · · · · · · g · · · . . f g = f ⊗ g = g ◦ f · · · V 1 Vn f · · · U 1 Uℓ · · · · · · · · · · · · V 1 Vn Vn +1 Vp V 1 Vp U 1 Uℓ f : V 1 ⊗ . . . ⊗ V n → W 1 ⊗ . . . ⊗ W m f ⊗ g : V 1 ⊗ . . . ⊗ V p → W 1 ⊗ . . . W q g ◦ f : U 1 ⊗ . . . ⊗ U ℓ 7

Construction of the invariant V W . . V = id V : V → V V = id V ∗ d v : V ∗ ⊗ V → 1 V V θ V : V → V V b v : 1 → V ⊗ V ∗ W V c V,W : V ⊗ W → W ⊗ V V W W 1 Wm W 1 Wm +1 W 1 Wm Wq Wq W 1 Wm · · · · · · · · · · · · g · · · . . f g = f ⊗ g = g ◦ f · · · V 1 Vn f · · · U 1 Uℓ · · · · · · · · · · · · V 1 Vn Vn +1 Vp V 1 Vp U 1 Uℓ f : V 1 ⊗ . . . ⊗ V n → W 1 ⊗ . . . ⊗ W m f ⊗ g : V 1 ⊗ . . . ⊗ V p → W 1 ⊗ . . . W q g ◦ f : U 1 ⊗ . . . ⊗ U ℓ 7

Construction of the invariant V W . . V = id V : V → V V = id V ∗ d v : V ∗ ⊗ V → 1 V V θ V : V → V V b v : 1 → V ⊗ V ∗ W V c V,W : V ⊗ W → W ⊗ V V W W 1 Wm W 1 Wm +1 W 1 Wm Wq Wq W 1 Wm · · · · · · · · · · · · g · · · . . f g = f ⊗ g = g ◦ f · · · V 1 Vn f · · · U 1 Uℓ · · · · · · · · · · · · V 1 Vn Vn +1 Vp V 1 Vp U 1 Uℓ f : V 1 ⊗ . . . ⊗ V n → W 1 ⊗ . . . ⊗ W m f ⊗ g : V 1 ⊗ . . . ⊗ V p → W 1 ⊗ . . . W q g ◦ f : U 1 ⊗ . . . ⊗ U ℓ 7

Construction of the invariant V W . . = id V ∗ = id V : V → V V V d v : V ∗ ⊗ V → 1 V V θ V : V → V b v : 1 → V ⊗ V ∗ V W V c V,W : V ⊗ W → W ⊗ V V W V W c W,V V W . . = id V ⊗ W = W V ( c W,V ) − 1 f V W V W 7

Construction of the invariant V W . . = id V ∗ = id V : V → V V V d v : V ∗ ⊗ V → 1 V V θ V : V → V b v : 1 → V ⊗ V ∗ V W V c V,W : V ⊗ W → W ⊗ V V W V W c W,V V W . . = id V ⊗ W = W V ( c W,V ) − 1 f V W V W 7

Construction of the invariant V W . . = id V ∗ = id V : V → V V V d v : V ∗ ⊗ V → 1 V V θ V : V → V b v : 1 → V ⊗ V ∗ V W V c V,W : V ⊗ W → W ⊗ V V W V W c W,V θ V V W . . . = = id V ⊗ W = id V W V ( c W,V ) − 1 f V W g V W V 7

Construction of the invariant V W . . = id V ∗ = id V : V → V V V d v : V ∗ ⊗ V → 1 V V θ V : V → V b v : 1 → V ⊗ V ∗ V W V c V,W : V ⊗ W → W ⊗ V V W V W c W,V θ V V W . . . = = id V ⊗ W = id V W V ( c W,V ) − 1 f V W g V W V 7