Firefly Synchronization of ad- hoc networks Dr. Michael Emmerich - PowerPoint PPT Presentation

Firefly Synchronization of ad- hoc networks Dr. Michael Emmerich Natural Computing Group

Synchronizing using pulse-coupled oscillators: Fireflies, Heart, and Wireless Networks

FIREFLIES SYNCHRONIZATION Simple Systems, Complex Behavior

Fireflies: mysterious mass synchrony  Φιρεβυγ σ αρε βεετλεσ κνοων φορ τηειρ χονσπιχυουσ υσε οφ βιολυµινεσχενχε το αττραχτ µατεσ ορ πρεψ  Τηαιλανδ, ωιτη φανταστιχ, ουτ οφ τηισ ωορλδ φιρεφλψ σηοωσ; ενορµουσ χονγ ρεγ ατιονσ οφ φιρεφλιεσ βλινκινγ ον ανδ οφφ ιν υνισον , ιν δισπλαψσ τηατ συπποσεδλψ στρετχηεδ φορ µιλεσ αλονγ τηε ριϖερβανκσ. (Αλσο οχχυρινγ ιν Αφριχα, ανδ σοµε µορε πλαχεσ )  ηττπ://ωωω.ψουτυβε.χοµ/ωατχη?ϖ= α− ςψ7ΝΖΤΓοσ  Αχχουντσ ον τηισ πηενοµενον βψ Ωεστερν τραϖελερσ το Σουτη Εαστ Ασια γ ο βαχκ ασ φαρ ασ 300 ψεαρσ.  Μψστεριουσ φορµ οφ µασσ σψνχηρονψ.  Ιν 1917 Πηιλιπ Λαυρεντ ωροτε υπ αν εξπλανατιον ιν Σχιενχε: τηε “ αππαρεντ πηενοµενον ωασ χαυσεδ βψ τηε τωιστινγ ορ συδδεν λοωερινγ ανδ ραισινγ οφ µψ εψλιδσ τηε ινσεχτσ ηαδ νοτηινγ το δο ωιτη ιτ ”

Early hypothesis …  Τηε φιρεφλιεσ ηαϖε α χεντραλ χοορδινατορ ορ χονδυχτορ  Χρυχιαλ εξπεριµεντ ιν βεδ δισµισσεδ τηισ ηψποτηεσισ: Τηε ‘ ’ βιολογ ιστ χουπλε Βυχκ ανδ Βυχκ τοοκ αρβιτραρψ φιρεβυγ σ ιντο τηειρ βεδροοµ ατ νιγ ητ ανδ τηεψ σποντανεουσλψ σψνχηρονιζεδ ωηεν τηεψ ωερε πυτ το τηε χειλινγ , ωιτηουτ εξτερναλ φορχε.  Πεσκιν ανδ οτηερσ φουνδ τηατ α σιµπλε υνιϖερσαλ µεχηανισµ χαν βε υσεδ το εξπλαιν δεχεντραλιζεδ σψνχηρονιζατιον; Στρογ ατζ προϖιδεδ α προοφ τηατ α ποπυλατιον χαν σψνχηρονιζε

Pacemaker of the Heart Χη. Πεσκιν αλσο προποσεδ α σχηεµατιχ µοδελ φορ ηοω τηε παχεµακερ χελλσ οφ τηε ηεαρτ σψνχηρονιζε τηεµσελϖεσ Παχεµακερ οφ τηε ηεαρτ  µοστ ιµπρεσσιϖε οσχιλλατορ εϖερ χρεατεδ  α χλυστερ οφ 10,000 χελλσ χαλλεδ σινοατριαλ νοδε  γ ενερατεσ ελεχτριχαλ ρηψτηµ τηατ χοµµανδσ τηε ρεστ οφ τηε ηεαρτ το βεατ  ηασ το βε δονε ρελιαβλψ, µινυτε αφτερ µινυτε  τηρεε βιλλιον βεατσ ιν α λιφετιµε  υνλικε µοστ χελλσ ιν ηεαρτ, τηε παχεµακερ χελλσ οσχιλλατε αυτοµατιχαλλψ:  ισολατεδ ιν πετρι διση, τηειρ ϖολταγ ε ρισεσ ανδ φαλλσ ινρεγ υλαρ ρηψτηµ  Αλλ οφ ωηιχη ραισεσ τηε θυεστιον: Ωηψ δο ωε νεεδ σο µανψ χελλσ, ιφ ονε χαν δο  τηε ϕοβ? προβαβλψ βεχαυσε α χεντραλιζεδ χοντρολλερ ισ νοτ ροβυστ δεσιγ ν: α χεντραλ  χοντρολλερ χαν µαλφυνχτιον ορ διε ανδ τηισ ωιλλ δεσταβιλιζε εντιρε σψστεµ Charles S. Peskin http://www.math.nyu.edu/faculty/peskin/ also site for the book: “Modeling and simulation in the life sciences”

Peskin model (1975) of the heart pacemaker  Τηε φυνχτιον φ ισ χαλλεδ πηασε ρεσπονσε χυρϖε (ΠΡΧ) αν ελεχτριχαλ – ϖολταγ ε. Φορ φ ι (τ) < φ τη ιτ οβεψσ τηε φολλοωινγ διφφερεντιαλ λαω: φ i (t)=t/T+c δφ ι /δτ = (φ ι (τ+δτ)− φ ι (τ)) / δτ = 1/Τ T 2 1.5 (χονσταντλψ ινχρεασινγ ποτεντιαλ) 1 2 t  Ωηεν τηισ πηασε αρριϖεσ ατ σοµε τιµε τ το α τηρεσηολδ ϖαλυε φ ι (τ)= φ τη , 0.5 0 0 0.5 1 1.5 τηε πηασε ισ ρεσετ το 0 ανδ τηε πηασε οφ τηε νειγ ηβορινγ σιτεσ ισ µοδιφιεδ βψ αν οφφσετ φ(φ κ (τ)): φ ι (τ) = = > 0 φ κ (τ+δτ) = = > φ κ (τ) + φ(φ κ ) φορ αλλ κ: κ≠ ι φ(φ) = (α− 1)φ +β, α>1, β>0  Πυλσε− χουπλεδ, ωηεν οσχιλλατορσ αρριϖεσ το α ϖαλυε φ τη σψνχηρονουσλψ  Ιφ τηε χουπλινγ ισ ποσιτιϖε (εξχιτατορψ) τηε ποπυλατιον τενδσ το σψνχηρονιζε, ι.ε., το αρριϖε το τηε τηρεσηολδ ατ τηε σαµε τιµε. http://math.nyu.edu/faculty/peskin/heartnotes/ http://hermes.ffn.ub.es/~albert/peskinen.html

Uniform oscillator, phase portrait Remark: Phase portrait resembles a ‘clock’. Can be modeled as the complex function (x(t),y(t)) = exp( i 2 π t/T ), where i denotes the imaginary number i= √ (-1) and φ = 2 π (t MODULO 1)

Phase response diagram Oscillator receives firing signal from other oscillator

Coupled oscillator  Τωο νοδεσ ωιτη πηασε φυνχτιονσ φ 1 ανδ φ 2  φ 0 ισ τηε σιγ ναλ οφ νοδε 2 ϕυστ αφτερ ιτ ηασ ρεχειϖεδ τηε πυλσε φροµ νοδε 1 ανδ υπδατεδ.

Convergence analysis (1)  Ασσυµε φ τη = 1, ανδ τωο νοδεσ ωιτη πηασε φυνχτιον φ 1 ανδ φ 2  φ 0 ισ τηε ποσιτιον οφ νοδε 2 αφτερ νοδε 1 ηασ φιρεδ  Φιρστ λινεαρ εϖολυτιον: (φ 1 , φ 2 )= (0, φ 0 ) το (1− φ 0 ,0)  Νοω νοδε 2 ισ ρεσετ το φ 2 = 0 ανδ νοδε 1 ϕυµπσ το φ 1 = η φ (φ 0 )= α φ 1 + β = − α φ 0 + (α+β)  Ονλψ ϖαλιδ ιφ νοδε 2 δοεσ ρεαχη φ τη νοτ φορχε νοδε 1 το φιρε ιµµεδιατελψ, ιν ωηιχη χασε βοτη πυλσεσ αρε σψνχηρονιζεδ. Τηισ µεανσ φ 0 ∈ ]1− φ λ ,1[ ωιτη φ λ := (1− β)/α (φ λ ισ χαλλεδ χηαραχτεριστιχ ηοριζον)

Convergence analysis (2)  Αφτερ φιρινγ οφ νοδε 2 τηε σψστεµ ισ ιν στατε (φ 1 ,φ 2 )= (η φ (φ 0 ),0).  Τηε νεξτ νοδε το φιρε ισ νοδε 1.  Νοω, φ 1 = 0, ανδ φ 1 ισ οβταινεδ βψ η Ρ (φ 0 )= η φ (η φ (φ 0 ))= α(1− η φ (φ 0 ))+β= α 2 φ 0 +(1− α)(α+β)  ωηιχη ισ ονλψ ϖαλιδ ιφ τηε ιντιαλ πηασε οφ νοδε 2 ισ ιν ιντερϖαλ ]1− φ λ ,1− φ λ (1− 1/α)[, (οτηερωισε σψνχηρονιζατιον ηασ αλρεαδψ τακεν πλαχε)  Ωε χαν νοω στυδψ τηε ρετυρν µαπ η Ρ (φ 0 ) ωηετηερ ιτ ηασ σταβλε φιξ ποιντσ φ 0 = η Ρ (φ 0 )., σοµετηινγ λικε η Ρ (η Ρ (φ 0 )), ετχ.

Convergence analysis (3)  Ρετυρν µαπσ:  Study dynamics of a recurrent system x i+1 = f(x i ), x i ∈ [0,1] (automorphism)  Use Verhulst diagram (‘cobweb’): x i+1 x i+1 f(x i ) f(x i ) x 3 x 3 x 2

Convergence Analysis (4)  Τηε ρετυρν µαπ ατ α φιξ ποιντ ξ φιξ ωιτη ξ φιξ = φ(ξ φιξ )  Φιξποιντσ αρε ιντερσεχτιον ποιντσ ωιτη βισεχτριξ  Αφτερ α σµαλλ περτυρβατιον οφ ξ φιξ :  for stable fixpoint the system bounces back to point;  for instable fixpoint it moves away from fixpoint  Σλοπε |φ (ξ φιξ )| < 1 = = > σταβλε; ’ Σλοπε | φ (ξ φιξ )| > 1 = = > ινσταβλε ’ x i+1 x i+1 x i+1 f(x i ) f(x i ) f(x i ) x i x i x fix2 + ε x fix1 + ε x fix2 x fix1

Verhulst diagram animation http://en.wikipedia.org/wiki/Cobweb_diagram

Convergence Analysis (5)  Ρετυρν µαπσ οφ η Ρ (φ 0 ) διφφερεντ α ανδ β  Τηε τωο φιξποιντσ ατ λεφτ ανδ ριγ ητ βουνδαρψ αρε σταβλε: φ (ξ) = 0<1 ’  Τηε φιξ ποιντ ιν τηε µιδδλε ισ αλωαψσ ινσταβλε: φ (ξ)= α 2 >1 ’  Ηενχε: Σψστεµ ωιλλ πραχτιχαλλψ αλωαψσ χονϖεργ ε το φ 0 = 1 ορ φ 1 = 1, ωηερε σψνχηρονψ ισ ρεαχηεδ. �