Electromagne,c duality anomaly Adrian del Rio Vega (in - PowerPoint PPT Presentation

Electromagne,c ¡duality ¡anomaly ¡ Adrian ¡del ¡Rio ¡Vega ¡ (in ¡collabora1on ¡with ¡I. ¡Agullo ¡and ¡J. ¡Navarro-­‑Salas, ¡ ¡ arXiv:1607.08879) ¡ Department ¡of ¡Theore.cal ¡Physics, ¡IFIC. ¡University ¡of ¡Valencia. ¡ ‘’V ¡Postgraduate ¡Mee1ng ¡On ¡Theore1cal ¡Physics” ¡Oviedo, ¡2016. ¡

What ¡is ¡this ¡symmetry? ¡Brief ¡introduc,on ¡ The ¡source-­‑free ¡Maxwell ¡equa1ons ¡and ¡energy-­‑momentum ¡tensor ¡in ¡4 ¡ • dimensions ¡are ¡manifestly ¡invariant ¡under ¡the ¡exchange ¡of ¡the ¡electric ¡ and ¡magne1c ¡fields, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡ ~ → ~ E ← B r µ F µ ⌫ = 0 T µ ⌫ = 1 ? F � 2 [ F µ � F � ⌫ + ? F µ � ⌫ ] ? F µ ⌫ = 0 r µ F µ ⌫ → F 0 µ ⌫ = F µ ⌫ cos θ + ? F µ ⌫ sin θ ? F µ ⌫ → ? F 0 µ ⌫ = ? F µ ⌫ cos θ − F µ ⌫ sin θ A ¡duality ¡transforma1on ¡takes ¡one ¡solu1on ¡of ¡Maxwell ¡equa1ons ¡and ¡produces ¡ another ¡one ¡

What ¡is ¡this ¡symmetry? ¡Brief ¡introduc,on ¡ This ¡duality ¡transforma1on ¡is ¡a ¡symmetry ¡of ¡the ¡Maxwell ¡ac1on, ¡at ¡the ¡ • level ¡of ¡the ¡basic ¡dynamical ¡variables ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡and ¡for ¡an ¡arbitrary ¡space-­‑1me ¡ A i background ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡[ Deser, ¡Teitelboim ¡(1976) ]. ¡ ( M, g µ ν ) S M [ A ] = − 1 Z d 4 x √− gF µ ν F µ ν , F = dA 4 Noether’s ¡Theorem: ¡ • ¡ D = 1 r µ j µ j µ ? F µ ⌫ − 2 F µ ⌫ Z ⌫ − ? G µ ⌫ Z ⌫ ] , D ⇡ 0 2 [ A ⌫ ¡ ( Z i ¡is ¡a ¡non-­‑local ¡func1onal ¡of ¡ A i ¡ , ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡) ¡ G = dZ

What ¡is ¡this ¡symmetry? ¡Brief ¡introduc,on ¡ The ¡symmetry ¡is ¡generated ¡by ¡a ¡conserved ¡charge. ¡ • Q D = 1 Z √ h ( A i B i − E i Z i ) d 3 x δ H = θ { Q D , H } ≈ 0 , 2 Physically, ¡it ¡measures ¡(in ¡Minkowski) ¡the ¡net ¡difference ¡among ¡right-­‑handed ¡ and ¡le\-­‑handed ¡circularly ¡polarized ¡photons ¡[ Calkin ¡(1965) ]. ¡ Z h i a † R ( ~ k ) a R ( ~ k ) − a † L ( ~ k ) a L ( ~ d 3 k Q D = 2 k )

Main ¡goal ¡of ¡the ¡presenta,on ¡ ¡ Discuss ¡the ¡quantum ¡breaking ¡of ¡the ¡classical ¡electromagne1c ¡duality ¡ • symmetry ¡due ¡to ¡space1me ¡curvature. ¡ ¡ hr µ j µ ¡ D i = 0 ?? ¡ Give ¡some ¡ideas ¡about ¡phenomenological ¡applica1ons ¡in ¡strong ¡ • gravita1onal ¡backgrounds. ¡ ¡

Why ¡do ¡we ¡expect ¡a ¡duality ¡anomaly? ¡ Quan,za,on ¡of ¡the ¡ electromagne,c ¡ theory . ¡ ¡ • Physical ¡observables ¡are ¡generally ¡given ¡by ¡(ill-­‑defined) ¡composite ¡operators ¡of ¡ the ¡field. ¡Need ¡of ¡renormaliza1on . ¡ hr µ j µ D i = �h Z ν r µ F µ ν i ¡ Renormaliza1on ¡subtrac1ons ¡do ¡not ¡necessarily ¡respect ¡the ¡equa1ons ¡of ¡mo1on. ¡ Some ¡examples ¡are ¡  � ⇤ + 1 φ i / ⇤ R � R µ ν R µ ν + 1 3 R 2  � ⇤ + 1 h φ 6 R φ ( x ) = 0 6 R ? R µ ⌫�� h ¯ ψγ 5 i γ µ r µ ψ i / R µ ⌫�� i γ µ ( x ) r µ ψ ( x ) = 0

Why ¡do ¡we ¡expect ¡a ¡duality ¡anomaly? ¡ The ¡ emergence ¡of ¡ anomalies ¡in ¡quantum ¡field ¡theory ¡is ¡actually ¡ not ¡ new . ¡ ¡ • ¡  �  � ⇤ + 1 1 ⇤ R � R µ ν R µ ν + 1 Conformal ¡anomaly: ¡ ¡ 3 R 2 ⌦ ↵ T µ = h φ φ i = 6 R µ 2880 π 2 ¡ ¡ ¡ 1 Chiral ¡anomaly: ¡ ? R µ ⌫�� 5 i = 2 h ¯ hr µ j µ ψ i γ µ γ 5 r µ ψ i = 192 π 2 R µ ⌫��

Why ¡do ¡we ¡expect ¡a ¡duality ¡anomaly? ¡ Some ¡other ¡works ¡found ¡unexpected ¡results. ¡ • Dolgov ¡ et ¡al ¡(1987): ¡ ¡ 1 ? F µ ⌫ i = 4 h ~ E · ~ ? R ↵��� h F µ ⌫ B i = 48 ⇡ 2 R ↵��� ¡ Agullo, ¡Landete, ¡Navarro-­‑Salas ¡(2014) ¡[in ¡a ¡spa1ally ¡flat ¡FLRW ¡scenario]: ¡ ¡ 1  � 9 R αβ R αβ + 23 � h i 6 R 2 + 4 ⇤ R ¡ B 2 ( x ) � ~ ~ h F µ ν F µ ν i = 2 E 2 ( x ) = 480 ⇡ 2 ¡ ¡ If ¡the ¡symmetry ¡exists ¡and ¡leaves ¡the ¡vacuum ¡state ¡invariant, ¡these ¡values ¡should ¡ be ¡invariant ¡under ¡the ¡exchange ¡of ¡ E ¡and ¡ B , ¡but ¡they ¡are ¡not. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

How ¡can ¡we ¡derive ¡the ¡duality ¡anomaly? ¡ To ¡clarify ¡the ¡issue ¡we ¡certainly ¡need ¡to ¡find ¡out ¡the ¡value ¡of ¡ ¡ hr µ j µ • D i hr µ j µ m → 0 im 2 h ~ + � ~ m → 0 im 2 ⌦ ¯ m → 0 m 2 h Z i A i i = lim A 2 A 2 ↵ D i = lim − i = lim Ψ � 5 Ψ A ± ,i = 1 Circular ¡polariza1on ¡variables: ¡ 2 [ A i ± iZ i ] This ¡resembles ¡the ¡corresponding ¡expression ¡for ¡the ¡spin ¡½ ¡chiral ¡ ¡current. ¡It ¡ suggests ¡dealing ¡with ¡a ¡similar ¡formalism. ¡ m → 0 2 im h ¯ hr µ j µ 5 i = lim ψγ 5 ψ i

How ¡can ¡we ¡derive ¡the ¡duality ¡anomaly? ¡ Chiral ¡spin ¡½ ¡anomaly. ¡Some ¡background. ¡ • A ¡massless ¡Dirac ¡field ¡is ¡described ¡in ¡terms ¡of ¡two ¡(decoupled) ¡fundamental ¡spinors ¡ sa1sfying ¡Weyl ¡equa1ons ¡ ¡ ✓ u + i σ µ r µ u + = 0 u + ∼ (1 / 2 , 0) ◆ ¡ ψ = u − ∼ (0 , 1 / 2) σ µ r µ u − = 0 i ¯ u − ¡ The ¡ ac1on ¡ of ¡ a ¡ massless ¡ Dirac ¡ field ¡ inmersed ¡ in ¡ either ¡ an ¡ electromagne1c ¡ or ¡ gravita1onal ¡background ¡remains ¡invariant ¡under ¡an ¡infinitesimal ¡chiral ¡rota1on: ¡ ¡ ✓ e i θ u + ◆ d 4 x p� g i ¯ Z ψ → e i θγ 5 ψ = S [ ψ ] = ψγ µ r µ ψ , ¡ e − i θ u − ¡ Noether’s ¡Thm ¡leads ¡to ¡the ¡conserva1on ¡of ¡the ¡net ¡difference ¡between ¡right ¡and ¡le\ ¡ chiral ¡par1cles ¡ ¡ Z √ h i u † + u + − u † d 3 x Q = h − u −

How ¡can ¡we ¡derive ¡the ¡duality ¡anomaly? ¡ Chiral ¡spin ¡½ ¡anomaly. ¡Some ¡background. ¡ • ¡ At ¡the ¡quantum ¡level, ¡however, ¡this ¡is ¡no ¡longer ¡conserved: ¡ ¡ hr µ j µ i / e 2 F µ ⌫ ? F µ ⌫ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡[Adler, ¡Bell, ¡Jackiw ¡(1969)] ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡[Kimura ¡(1969)] ¡ ¡ ? R µ ⌫�⇢ hr µ j µ i / R µ ⌫�⇢ ¡ From ¡the ¡mathema1cal ¡point ¡of ¡view, ¡the ¡anomaly ¡is ¡understood ¡as ¡a ¡local ¡realiza1on ¡ of ¡the ¡so-­‑called ¡index ¡theorems. ¡ d 4 x p� g hr µ j µ i = 2[ n (1 / 2 , 0) � n (0 , 1 / 2)] Z [Eguchi ¡et ¡al ¡(1980); ¡Christensen, ¡Duff ¡(1978)] ¡

How ¡can ¡we ¡derive ¡the ¡duality ¡anomaly? ¡ First-­‑order ¡formalism. ¡Weyl-­‑type ¡equa1ons ¡of ¡mo1on. ¡ • H ± ≡ 1 In ¡absence ¡of ¡sources ¡Maxwell ¡EOM ¡decouple ¡in ¡terms ¡of ¡2 ¡spinors: ¡ ~ 2[ ~ E ± i ~ B ] ¡ i @ ( α a ) b i ∂ a H i H ± = ± ~ ~ r ⇥ ~ + = 0 H ± ¡ H + ∼ (1 , 0) @ t α a ) b i ∂ a H i ¡ (¯ − = 0 r · ~ ~ H − ∼ (0 , 1) H ± = 0 ¡ Introduce ¡complex ¡poten1als, ¡and ¡fix ¡the ¡radia1on ¡gauge: ¡ iden,cal ¡EOM ¡ ¡ H ± ⌘ i ~ ~ r ⇥ ~ ( α a ) b i ∂ a A i + = 0 ¡ A ± i ↔ σ µ α ab A 0 A ¡ α a ) b i ∂ a A i (¯ − = 0 r · ~ ~ A ± = 0 ¡ Generalize ¡to ¡a ¡general ¡spaceime ¡by ¡taking ¡the ¡connec1on-­‑compa1bility ¡condi1on: ¡ r β ( α µ ) ν i ( x ) = 0

How ¡can ¡we ¡derive ¡the ¡duality ¡anomaly? ¡ First-­‑order ¡formalism. ¡ ¡ • In ¡this ¡language, ¡a ¡duality ¡transforma1on ¡resembles ¡a ¡conven1onal ¡chiral ¡rota1on ¡ ¡ ¡ ✓ ◆ α µ 0 ¯ β µ ≡ i β µ r µ Ψ ( x ) = 0 , ¡ − α µ 0 ¡ ✓ e − i θ A i ¡ ✓ ◆ A i ✓ A i ◆ ✓ A i ◆ ◆ → e i θβ 5 + + + + , Ψ ≡ = e i θ iA − i iA − i iA − i ¡ iA − i ¡ These ¡variables ¡describe ¡right ¡/ ¡le\ ¡handed ¡(circularly ¡polarized) ¡radia1on. ¡

How ¡can ¡we ¡derive ¡the ¡duality ¡anomaly? ¡ Fujikawa’s ¡ method: ¡ evaluate ¡ the ¡ symmetry ¡ transforma1on ¡ on ¡ the ¡ • quantum ¡effec1ve ¡ac1on ¡ W ¡ Z e iW = dµ [ A ] e iS [ A ] d 4 x p� g θ ( x ) r µ j µ Z S [ A ] invariant ¡ S [ A 0 ] = S [ A ] � D dµ [ A ] not ¡necessarily ¡invariant!! ¡ ( − g ) 1 / 2 det[ D µ D µ ] 1 / 2 D ¯ Y dµ [ A ] = Ψ ( x ) D Ψ ( x ) D ω ( x ) DA 0 x ¡ Gauge ¡fixing : ¡ ¡ δω