Das Programm Was ist GPS? Eine sehr kurzer ¨ Uberblick. Die Mathematik des GPS Drei Segmente des GPS Koordinatensysteme Notwendige Lineare Algebra Position ¨ uber Entfernungen Entfernungsmessung unter GPS richard.rascher-friesenhausen@hs-bremerhaven.de Bancroft-Algorithmus Kleusberg-Algorithmus Fehler im GPS GPS und Relativit¨ atstheorie MNU Tagung Bremerhaven, November 2005 Dieser Vortrag will eine kurze Beschreibung des GPS liefern und insbesondere darauf eingehen, wo und welche Mathematik darin eine Rolle spielt. Haben uns viel vorgenommen. Mal sehn, wie weit wir kommen. . . richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005 � Was ist GPS? Eine sehr kurzer ¨ Was ist GPS? Eine sehr kurzer ¨ Uberblick. Uberblick. Was ist GPS? Was ist GPS? Eine sehr kurzer ¨ Uberblick. Was ist GPS? ,GPS‘ ist ein Akronym und steht f¨ ur Was ist GPS? Wer benutzt GPS? Wie funktioniert GPS? Global Positioning System Geschichte und Fakten Was wir ansprechen werden und was nicht! Dabei handelt es sich um ein Satelliten Navigationssystem, welches einem weltweit und wetterunabh¨ angig erm¨ oglicht, seine genaue Position auf der Erde zu bestimmen. Wie die ¨ Uberschrift schon sagt: ein sehr kurzer ¨ Uberblick. Das GPS wurde von der amerikanischen Verteidigungsbeh¨ orde (DoD) entwickelt und wird von ihr betrieben (D.h., sie hat Kontrolle dar¨ uber). richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005 richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005 � � Was ist GPS? Eine sehr kurzer ¨ Was ist GPS? Eine sehr kurzer ¨ Uberblick. Wer benutzt GPS? Uberblick. Wie funktioniert GPS? Wer benutzt GPS? Wie funktioniert GPS? Viele verschiedene Bereiche: Ganz einfach und schnell gesagt funktioniert das GPS auf die folgende Art und Weise: ⊲ Milit¨ ar: Zurechtfinden auf fremden Terrain Ein Empf¨ anger misst die Abst¨ ande zu Satelliten im Weltraum. ⊲ Auto: Navigationssystem und Verkehrsf¨ uhrung Aufgrund der Abst¨ ande ist eine Umrechnung auf die Position des Empf¨ angers m¨ oglich: ⊲ Maut: Abrechnung von Autobahnkilometern Trilateration . Transport: exakte ¨ ⊲ Uberwachung von Positionen Abst¨ ande werden ¨ uber Laufzeiten von Radiosignalen bestimmt. Ben¨ otigt exakte Zeit- ⊲ Landwirtschaft: optimierte Lenkung von M¨ ahmaschinen (USA) messung und exakte Kenntnis der Satellitenpositionen. ⊲ Seefahrt: exakte k¨ ustennahe Navigation Das war die einfache Variante. Aber die technische und mathematische Umsetzung ben¨ otigt dazu noch jede Menge Details. ⊲ Unterhaltung: ,Geo-Caching‘ ⊲ . . . richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005 richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005 � � MNU Bremerhaven — November 2005 — 1
Was ist GPS? Eine sehr kurzer ¨ Was ist GPS? Eine sehr kurzer ¨ Uberblick. Was wir ansprechen werden und was nicht! Uberblick. Geschichte und Fakten Geschichte und Fakten Was wir ansprechen werden und was nicht! ⊲ DoD ist Entwickler und Betreiber des GPS. Was wir ansprechen werden ⊲ GPS heisst offiziell NAVSTAR: Navigation Satellite Timing and Ranging. knappen ¨ • Uberblick auf das System • einfache Mathematik des GPS: Lineare Algebra, quadratische Gleichung, Dreiecks- ⊲ erster GPS Satellit wurde 1978 gestartet. beziehungen ⊲ die ersten 10 Satelliten (Block I) waren nur Entwicklungsmodelle. • . . . ⊲ das aktuelle System besteht aus Satelliten der 2. Generation (Block II). Was wir nicht ansprechen werden ⊲ zwischen 1989 und 1994 wurden 24 Satelliten (Block II) gestartet. • Ausgleichsrechnung • technische Aspekte ⊲ DoD erkl¨ arte 1995 das GPS f¨ ur vollst¨ andig operabel. • Abstandmessung ¨ uber die Tr¨ ager-Frequenzen ⊲ am 2. Mai 2000 wurde SA (selective availibility) ausgeschaltet. • . . .und alles, was wirklich schwierig ist ⊲ die Kosten f¨ ur den Bau und Positionierung von 24 Satelliten betrugen 12 Milliarden Bemerkung: Unmengen von Informationen zum Thema GPS. Dollar. Eine Google-Suche ,GPS‘ liefert 22 . 600 . 000 Treffer. Eingeschr¨ ankt auf deutsche ⊲ in Russland gibt es GLONASS (Global Navigation Satellite System). Webseiten: 1 . 280 . 000 Treffer. ⊲ in Europa wird GALILEO gebaut (ab 2008 in Betrieb). richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005 richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005 � � Drei Segmente des GPS Drei Segmente des GPS Weltraumsegment Drei Segmente des GPS Weltraumsegment Kontrollsegment Benutzersegment Das GPS besteht aus drei Segmenten oder Bausteinen: 1. dem ,Weltraumsegment‘, bestehend aus 24 Satelliten, die die Erde auf verschiede- nen Bahnen umkreisen, 2. dem ,Kontrollsegment‘, bestehend aus 5 Stationen, die die Satelliten kontrollieren und korrigieren, und 3. dem ,Benutzersegement‘, bestehend aus dem GPS-Empf¨ anger und den anschlies- Kontrollsegment Benutzersegment senden Anwendungen. Signale fliessen zwischen F¨ ur den Anwender ist nur das Benutzersegment von Interesse. F¨ ur das Funktionieren werden nat¨ urlich alle drei Bausteine ben¨ otigt. ⊲ Weltraumsegment → Benutzersegment • ⊲ Weltraumsegment → Kontrollsegment • ⊲ Kontrollsegment → Weltraumsegment • richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005 richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005 � � Drei Segmente des GPS Weltraumsegment Drei Segmente des GPS Weltraumsegment Weltraumsegment Satelliten bewegen sich mit 3875 m / s , sind etwa 1660 kg schwer, und haben eine Lebensdauer von 7.5 Jahren. Energieversorgung ¨ uber Solarkollektoren, f¨ ur den Notfall auch Batterien. Satelliten besitzen kleine D¨ usen zur Bahnkorrektur. Satelliten senden Signale auf zwei unterschiedlichen Radio-Frequenzen: Das ,Weltraumsegment‘ besteht aus 24 Satelliten (21 aktiv und 3 zur Reserve), die die 1. L 1 mit 1575 . 42 MHz = 154 · 10 . 23 MHz Erde in einer H¨ ohe von 20182 km umkreisen. ( 26560 km vom Erdmittelpunkt aus.) 2. L 2 mit 1227 . 60 MHz = 120 · 10 . 23 MHz Jeweils 4 Satelliten kreisen auf einer von sechs Umlaufbahnen knapp 2 mal am Tag um die Erde (ein Orbit in 11 h :58 min ). Diese Signale passieren Wolken, Glas und Plastik. Werden aber von Geb¨ auden oder Gebirgen abgeschirmt/abgelenkt. GPS funktioniert nicht in Geb¨ auden. Diese Verteilung erm¨ oglicht es, dass stets eine gen¨ ugende Anzahl von Satelliten (min- destens 4) auf der ganzen Erde (ohne politische Grenzen) zu jeder Zeit sichtbar ist. richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005 richard rascher-friesenhausen • Die Mathematik des GPS • MNU 2005 � � MNU Bremerhaven — November 2005 — 2
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