Declara've Programming Project: Stable Matching Problems VUB - PowerPoint PPT Presentation

Declara've ¡Programming ¡Project: ¡ Stable ¡Matching ¡Problems ¡ VUB ¡// ¡21-­‑11-­‑2012 ¡

Nobel ¡Prize ¡in ¡Economics ¡2012 ¡

Stable ¡Marriage ¡Problem ¡(SMP) ¡ • N ¡men: ¡{m 1 , ¡…, ¡m N }; ¡ ¡N ¡women: ¡{w 1 , ¡…, ¡w N } ¡ ¡ ¡ • Each ¡man ¡has ¡preferences ¡over ¡the ¡women. ¡ ¡ – ¡m 1 : ¡w 1 ¡> ¡w 2 ¡> ¡…. ¡> ¡w N ¡ ¡ ¡ – …. ¡ • Each ¡woman ¡has ¡preferences ¡over ¡the ¡men. ¡ ¡ – ¡w 1 : ¡m N ¡> ¡m N-­‑1 ¡> ¡… ¡> ¡m 1 ¡ ¡ – …. ¡

Stable ¡Marriage ¡ ¡ • Marry ¡the ¡men ¡and ¡women ¡so ¡that ¡there ¡are ¡ no ¡two ¡people ¡of ¡the ¡opposite ¡gender ¡who ¡ would ¡both ¡rather ¡have ¡each ¡other ¡than ¡their ¡ current ¡partner ¡( blocking ¡pair ) . ¡ ¡ • Example: ¡men ¡= ¡{m1, ¡m2}; ¡women ¡= ¡{w1, ¡w2} ¡ ¡ – m1: ¡w1 ¡> ¡w2; ¡ ¡ ¡ ¡m2: ¡w1 ¡> ¡w2 ¡ – w1: ¡m1 ¡> ¡m2; ¡ ¡ ¡w2: ¡m1 ¡> ¡m2 ¡ ¡ – Stable ¡marriage: ¡(m1, ¡w1), ¡(m2, ¡w2) ¡ ¡ ¡

Solu'ons ¡ ¡ • If ¡preference ¡lists ¡are ¡ complete , ¡and ¡ strictly ¡ ordered , ¡there ¡always ¡exist ¡at ¡least ¡one ¡ solu'on. ¡ ¡ • There ¡may ¡exist ¡several ¡solu'ons. ¡ • Gale-­‑Shapley ¡algorithm ¡ to ¡find ¡female-­‑ ¡and ¡ male-­‑op'mal ¡solu'ons. ¡ ¡ – Every ¡woman ¡(man) ¡gets ¡her ¡(his) ¡best ¡possible ¡ partner ¡among ¡all ¡stable ¡matchings. ¡ ¡

Incomplete ¡list ¡of ¡preferences ¡ ¡ • A ¡person ¡can ¡exclude ¡some ¡members ¡whom ¡he/ she ¡does ¡not ¡want ¡to ¡marry. ¡ ¡ • With ¡solu'ons: ¡ ¡ – m1: ¡w1 ¡> ¡w2; ¡ ¡ ¡ ¡m2: ¡w1 ¡> ¡w2 ¡ – w1: ¡m1 ¡> ¡m2; ¡ ¡ ¡w2: ¡m1 ¡> ¡m2 ¡ ¡ – Stable ¡marriage: ¡(m1, ¡w2), ¡(m2, ¡w1) ¡ ¡ ¡ • Without ¡solu'ons: ¡ ¡ – m1: ¡w1 ¡> ¡w2; ¡ ¡ ¡ ¡m2: ¡w2 ¡> ¡w1 ¡ – w1: ¡m1 ¡> ¡m2; ¡ ¡ ¡w2: ¡m2 ¡> ¡m1 ¡ ¡

Ties ¡in ¡preferences ¡ • A ¡person ¡may ¡have ¡two ¡or ¡more ¡persons ¡with ¡ the ¡same ¡preference ¡in ¡a ¡'e. ¡ ¡ • m1: ¡{w1, ¡w2} ¡> ¡w3. ¡ ¡ – m1 ¡is ¡indifferent ¡between ¡w1 ¡and ¡w2, ¡but ¡prefers ¡ both ¡to ¡w3. ¡ ¡ ¡ • Several ¡no'ons ¡of ¡stability ¡ – Super, ¡Strong, ¡Weak ¡ ¡

Extensions ¡ ¡ • Student-­‑Project ¡Alloca@on ¡problem ¡ (SPA) ¡ – Lecturers ¡provide ¡projects. ¡ ¡ – Students ¡have ¡preferences ¡over ¡projects. ¡ ¡ – Each ¡project ¡has ¡its ¡own ¡quota. ¡ ¡ – Each ¡lecturer ¡has ¡his/her ¡own ¡quota. ¡ ¡ – Lecturers ¡have ¡preferences ¡over ¡students. ¡ ¡ • Assign ¡students ¡to ¡projects, ¡taking ¡into ¡ account ¡preferences ¡and ¡quotas. ¡ ¡

Basic ¡program ¡ ¡ • Preprocessing ¡data. ¡ ¡ • Find ¡stable ¡matchings. ¡ ¡ – Incomplete ¡lists ¡of ¡preferences. ¡ – Ties ¡in ¡preferences ¡(three ¡no'ons ¡of ¡stability). ¡ ¡ • Find ¡op'mal ¡stable ¡matchings. ¡ ¡ • Gale-­‑Shapley ¡algorithm ¡( for ¡SMP ¡with ¡complete ¡ preference ¡lists ¡without ¡4e s ). ¡ ¡ ¡ ¡

Non-­‑Func'onal ¡Requirements ¡ ¡ • Must ¡run ¡on ¡SWI-­‑prolog ¡on ¡the ¡computers ¡at ¡ Infogroep. ¡ ¡ • Unix ¡text ¡files. ¡ ¡ • Comment ¡your ¡source ¡code. ¡ • Write ¡a ¡report ¡about ¡your ¡project ¡(main ¡data ¡ structures, ¡algorithm, ¡etc.) ¡ ¡

• Deadline: ¡ 6 ¡January ¡2013 , ¡at ¡midnight. ¡ – Source ¡code ¡ – Report ¡ ¡ – Brief ¡manual ¡& ¡Sample ¡run. ¡ ¡ – Mail ¡to: ¡h.anh@ai.vub.ac.be. ¡ ¡ • Project ¡webpage: ¡ hdps://ai.vub.ac.be/node/1040 ¡ ¡ • Reference. ¡ ¡