Chapter 8 Binomial and Geometric Distribu7ons 8.2 - PDF document

12/9/12 ¡ Chapter ¡8 ¡ Binomial ¡and ¡Geometric ¡Distribu7ons ¡ • 8.2 Geometric Distributions • Waiting for Sammy Sosa – geometric distribution Children ’ s cereals sometimes contain prizes. Imagine that packages of Chocolate- Coated Sugar Bombs contain one of three baseball cards: Mark McGwire, Sammy Sosa, or Barry Bonds. Shak wanted to get a Sammy Sosa card and Binomial and Geometric Random Variables had to buy eight boxes until getting his desired card. Shak feels especially unlucky. Should Shak consider himself especially unlucky? On average, how many boxes would a person have to buy to get the Sammy Sosa card? In this activity, you will become familiar with the geometric distribution , including the shape of the distribution and how to find its mean. 1 ¡

12/9/12 ¡ • Waiting for Sammy Sosa – geometric distribution 1. Roll ¡your ¡die: ¡ ¡If ¡the ¡side ¡with ¡1 ¡or ¡2 ¡dots ¡lands ¡up, ¡this ¡will ¡represent ¡the ¡event ¡ Binomial and Geometric Random Variables of ¡buying ¡a ¡box ¡of ¡Chocolate-­‑Coated ¡Sugar ¡Bombs ¡and ¡ge@ng ¡a ¡Sammy ¡Sosa ¡ card. ¡ ¡If ¡one ¡of ¡the ¡other ¡sides ¡lands ¡on ¡top, ¡roll ¡again. ¡ ¡Count ¡the ¡number ¡of ¡ rolls ¡unBl ¡you ¡get ¡a ¡1 ¡or ¡2. ¡ • Add ¡to ¡the ¡class ¡histogram ¡showing ¡the ¡number ¡of ¡rolls ¡it ¡took ¡to ¡get ¡ your ¡first ¡Sammy ¡Sosa ¡card. ¡ ¡(Do ¡this ¡10 ¡Bmes ¡and ¡record ¡each ¡on ¡the ¡ class ¡histogram ¡so ¡that ¡we ¡have ¡more ¡data.) ¡ • Describe ¡the ¡shape ¡of ¡this ¡distribuBon. ¡ • What ¡was ¡the ¡average ¡number ¡of ¡“boxes” ¡purchased ¡to ¡get ¡a ¡Sammy ¡ Sosa ¡card? ¡ • EsBmate ¡the ¡chance ¡that ¡Shak ¡would ¡have ¡to ¡buy ¡eight ¡or ¡more ¡boxes ¡to ¡ get ¡his ¡card. ¡ • What ¡assumpBons ¡did ¡you ¡make ¡in ¡this ¡simulaBon ¡about ¡the ¡ distribuBon ¡of ¡prizes? ¡ ¡Do ¡you ¡think ¡they ¡are ¡reasonable ¡ones? ¡ • Waiting for Sammy Sosa – geometric distribution Binomial and Geometric Random Variables 1. Roll ¡your ¡die: ¡ 2. Doubles: ¡ ¡ In ¡some ¡games, ¡a ¡player ¡must ¡roll ¡doubles ¡before ¡conBnuing, ¡such ¡ as ¡when ¡in ¡jail ¡in ¡Monopoly. ¡ ¡Use ¡a ¡pair ¡of ¡dice ¡or ¡random ¡numbers ¡to ¡ simulate ¡rolling ¡a ¡pair ¡of ¡dice. ¡ ¡Count ¡the ¡number ¡of ¡rolls ¡unBl ¡you ¡get ¡ doubles. ¡ Add ¡your ¡informaBon ¡to ¡the ¡class ¡histogram ¡of ¡the ¡number ¡of ¡rolls ¡our ¡ • class ¡required ¡to ¡roll ¡doubles. ¡ ¡(Do ¡this ¡10 ¡Bmes, ¡too.) ¡ Describe ¡the ¡shape ¡of ¡the ¡distribuBon. ¡ • • What ¡was ¡the ¡average ¡number ¡of ¡rolls ¡required? ¡ 2 ¡

12/9/12 ¡ • Waiting for Sammy Sosa – geometric distribution 1. Roll ¡your ¡die: ¡ Binomial and Geometric Random Variables 2. Doubles: ¡ 3. Wai5ng ¡Time ¡Distribu5on: ¡ ¡In ¡steps ¡1 ¡& ¡2, ¡you ¡constructed ¡a ¡waiBng-­‑Bme ¡ distribuBon ¡using ¡simulaBon. ¡ ¡Now ¡construct ¡a ¡theoreBcal ¡waiBng-­‑Bme ¡ distribuBon ¡for ¡ge@ng ¡a ¡different ¡cereal ¡prize. ¡ ¡Boxes ¡of ¡Post’s ¡Coca ¡Pebbles ¡ recently ¡contained ¡one ¡of ¡four ¡endangered ¡animal ¡sBckers: ¡ ¡a ¡parrot, ¡an ¡ African ¡elephant, ¡a ¡Bger, ¡or ¡a ¡crocodile. ¡ ¡Suppose ¡4096 ¡children ¡want ¡a ¡ sBcker ¡of ¡a ¡parrot. ¡ • How ¡many ¡of ¡them ¡would ¡you ¡expect ¡to ¡get ¡a ¡parrot ¡in ¡the ¡first ¡box ¡of ¡ Cocoa ¡Pebbles ¡they ¡buy? ¡ ¡What ¡assumpBons ¡are ¡you ¡making? ¡ • How ¡many ¡children ¡do ¡you ¡expect ¡will ¡have ¡to ¡buy ¡a ¡second ¡box? ¡ • How ¡many ¡of ¡them ¡do ¡you ¡expect ¡will ¡get ¡a ¡parrot ¡in ¡the ¡second ¡box? ¡ • Waiting for Sammy Sosa – geometric distribution 1. Roll ¡your ¡die: ¡ Binomial and Geometric Random Variables 2. Doubles: ¡ 3. WaiBng ¡Time ¡DistribuBon: ¡ 4. Fill ¡in ¡the ¡following ¡table: ¡ ¡ Number of Boxes Purchased to ¡ Number of Children get first Parrot Sticker ¡ ¡ 1 ¡ … ¡ 20 ¡ ¡ • Make ¡a ¡histogram ¡of ¡the ¡theoreBcal ¡waiBng-­‑Bme ¡distribuBon. ¡ The ¡height ¡of ¡each ¡bar ¡of ¡the ¡histogram ¡is ¡what ¡proporBon ¡of ¡the ¡height ¡ • of ¡the ¡bar ¡to ¡its ¡lea? ¡ What ¡is ¡the ¡average ¡number ¡of ¡boxes ¡purchased? ¡ ¡ ¡ • 3 ¡

12/9/12 ¡ • Waiting for Sammy Sosa – geometric distribution • Wrap-Up Binomial and Geometric Random Variables 1. Describe the shape of a waiting-time (geometric) distribution for a given probability p of success on each trial. Will the first bar in a waiting-time distribution always be the highest? Why or why not? The height of each bar is what proportion of the height of the bar to its left? 2. What are some other situations that can be modeled by a waiting-time distribution? • Geometric Settings In a binomial setting, the number of trials n is fixed and the binomial random variable X counts the number of successes. In other situations, the goal is to repeat a chance behavior until a success occurs . These situations are called geometric Binomial and Geometric Random Variables settings. Defini7on: ¡ A ¡ geometric ¡se;ng ¡ arises ¡when ¡we ¡perform ¡independent ¡trials ¡of ¡the ¡same ¡chance ¡ process ¡and ¡record ¡the ¡number ¡of ¡trials ¡un;l ¡a ¡par;cular ¡outcome ¡occurs. ¡The ¡four ¡ condi;ons ¡for ¡a ¡geometric ¡se?ng ¡are ¡ • B inary? The possible outcomes of each trial can be classified as B “ success ” or “ failure. ” • ¡I ndependent? ¡ Trials ¡must ¡be ¡independent; ¡that ¡is, ¡knowing ¡the ¡result ¡of ¡one ¡ I trial ¡must ¡not ¡have ¡any ¡effect ¡on ¡the ¡result ¡of ¡any ¡other ¡trial. ¡ • ¡T rials? ¡ The ¡goal ¡is ¡to ¡count ¡the ¡number ¡of ¡trials ¡un;l ¡the ¡first ¡success ¡occurs . ¡ T • S uccess? On each trial, the probability p of success must be the S same. 4 ¡

12/9/12 ¡ • Geometric Random Variable In a geometric setting, if we define the random variable Y to be the number of trials needed to get the first success, then Y is called a geometric random variable . The probability distribution of Y is Binomial and Geometric Random Variables called a geometric distribution. Definition: The number of trials Y that it takes to get a success in a geometric setting is a geometric random variable. The probability distribution of Y is a geometric distribution with parameter p , the probability of a success on any trial. The possible values of Y are 1, 2, 3, …. Note: Like binomial random variables, it is important to be able to distinguish situations in which the geometric distribution does and doesn ’ t apply! • Example: The Birthday Game Ms. Raskin is planning to give you 10 problems for homework. As an alternative, you can agree to play the Birthday Game. Here ’ s how it works. A student will be selected at random from the class and asked to guess the day of the week on which Ms. Raskin ’ s best friend was born. If the student guesses correctly, the class will have only one homework problem. If the student guesses the wrong day of the week, Ms. Raskin will once again select a student from the class at random. The chosen student will try to guess the day of the week on which a different one of Ms. Raskin ’ s many friends was born. If this student gets it right, the class will have two homework problems. The game continues until a student correctly guesses the day on which one of Ms. Raskin ’ s many friends was born. Ms. Raskin will assign a number of homework problems that is equal to the total number of guesses made by members of the class. Are you ready to play the Birthday Game? 5 ¡