Asymptotically accurate high-order space and time schemes for the Euler system in the low Mach regime Victor Michel-Dansac SHARK-FV, 15-19 May 2017 Giacomo Dimarco, Univ. of Ferrara, Italy Raphaël Loubère, Univ. of Bordeaux, CNRS, France Marie-Hélène Vignal, Univ. of Toulouse, France Funding : ANR MOONRISE
Outline General context : multi-scale models and principle of AP schemes 1 An order 1 AP scheme for the Euler system in the low Mach limit 2 High order schemes in time 3 High order schemes in time and space 4 Works in progress en perspectives 5
General context electron density (log scale) : t=0.1 0 2.4 −1 Multiscale model : M ε depends on a parameter ε 2.3 −2 2.2 −3 2.1 −4 2 In the (space-time) domain ε can −5 1.9 −6 1.8 −7 1.7 be small compared to the reference scale 1.6 −8 1.5 −9 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ε be of same order as the reference scale 0 10 take intermediate values −5 10 When ε is small : M 0 = lim ε → 0 M ε asympt. model −10 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Difficulties : x Classical explicit schemes for M ε : stable and consistent if the mesh resolves all the scales of ε ⇒ huge cost Schemes for M 0 with meshes independent of ε ➠ M 0 not valid everywhere, needs ε ≪ 1 But : ➠ location of the interface, moving interface
Principle of AP schemes A possible solution : AP schemes Use the multi-scale model M ε where you want. Discretize it with a scheme preserving the limit ε → 0 ➠ The mesh is independent of ε : Asymptotic stability . ➠ You recover an approximate solution of M 0 when ε → 0 : Asymptotic consistency Asymptotically stable and consistent scheme ⇒ Asymptotic preserving scheme (AP) ([S.Jin] kinetic → hydro) You can use the AP scheme only to reconnect M ε and M 0 M 0 ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� class. scheme ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� M ε ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� intermediate ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ε = O ( 1 ) ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ε ≪ 1 class. scheme ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� zone ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� M ε ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� AP scheme ���� ���� �������������� �������������� ���� ����
Outline General context : multi-scale models and principle of AP schemes 1 An order 1 AP scheme for the Euler system in the low Mach limit 2 High order schemes in time 3 High order schemes in time and space 4 Works in progress en perspectives 5
The multi-scale model and its asymptotic limit ➠ Isentropic Euler system in scaled variables x ∈ Ω ⊂ IR d , t ≥ 0 � ∂ t ρ + ∇ · ( ρ u ) = 0 , ( 1 ) ε ( M ε ) ∂ t ( ρ u )+ ∇ · ( ρ u ⊗ u )+ 1 ε ∇ p ( ρ ) = 0 , ( 2 ) ε Parameter : ε = M 2 = m | u | 2 / ( γ p ( ρ ) / ρ ) , M = Mach number Boundary and initial conditions : � ρ ( x , 0 ) = ρ 0 + ε ˜ ρ 0 ( x ) , u · n = 0 , on ∂ Ω , and u ( x , 0 ) = u 0 ( x )+ ε ˜ u 0 ( x ) , with ∇ · u 0 = 0 . The formal low Mach number limit ε → 0 ( 2 ) ε ⇒ ∇ p ( ρ ) = 0 , ⇒ ρ ( x , t ) = ρ ( t ) . � ( 1 ) ε ⇒ | Ω | ρ ′ ( t )+ ρ ( t ) u · n = 0 , ⇒ ρ ( t ) = ρ ( 0 ) = ρ 0 , ⇒ ∇ · u = 0 ∂ Ω
The multi-scale model and its asymptotic limit The asymptotic model : Rigorous limit [Klainerman, Majda, 81] ρ = cste = ρ 0 , ( M 0 ) ρ 0 ∇ · u = 0 , ( 1 ) 0 ρ 0 ∂ t u + ρ 0 ∇ · ( u ⊗ u )+ ∇π 1 = 0 , ( 2 ) 0 � � where 1 π 1 = lim p ( ρ ) − p ( ρ 0 ) . ε ε → 0 Explicit eq. for π 1 ∂ t ( 1 ) 0 − ∇ · ( 2 ) 0 ⇒ − ∆ π 1 = ρ 0 ∇ 2 :( u ⊗ u ) . The pressure wave eq. from M ε : ∂ tt ρ − 1 ε ∆ p ( ρ ) = ∇ 2 : ( ρ u ⊗ u ) ∂ t ( 1 ) ε − ∇ · ( 2 ) ε ⇒ ( 3 ) ε From a numerical point of view Explicit treatment of ( 3 ) ε ⇒ conditional stability ∆ t ≤ √ ε ∆ x Implicit treatment of ( 3 ) ε ⇒ uniform stability with respect to ε
An order 1 AP scheme in the low Mach numb. limit Order 1 AP scheme in [Dimarco, Loubère, Vignal, SISC 2017] : If ρ n and u n are known at time t n ρ n + 1 − ρ n + ∇ · ( ρ u ) n + 1 = 0 , ( 1 ) (AS) ∆ t ( ρ u ) n + 1 − ( ρ u ) n + ∇ · ( ρ u ⊗ u ) n + 1 ε ∇ p ( ρ n + 1 ) = 0 . ( 2 ) (AC) ∆ t ∇ · ( 2 ) inserted into ( 1 ) : gives an uncoupled formulation ρ n + 1 − ρ n + ∇ · ( ρ u ) n − ∆ t ε ∆ p ( ρ n + 1 ) − ∆ t ∇ 2 : ( ρ u ⊗ u ) n = 0 , ∆ t ➠ Results uniformly L ∞ stable if the space discretization is well chosen ➠ Framework of IMEX (IMplicit-EXplicit) schemes : � ρ u � � � � � ρ 0 ∂ t + ∇ · + ∇ · = 0 . p ( ρ ) ρ u ρ u ⊗ u ε Id � �� � � �� � � �� � W F e ( W ) F i ( W )
Recommend
More recommend