Algorithmic Game Theory T HANKS TO P ROF . J ASON H - PDF document

9/29/11 ¡ The ¡investment ¡game ¡ Algorithmic ¡Game ¡Theory ¡ ¡ ¡ ¡ T HANKS ¡ TO ¡P ROF . ¡J ASON ¡H ARTLINE ¡ AND ¡P ROF . ¡N ICOLE ¡I MMORLICA ¡ FOR ¡ THE ¡ USE ¡ OF ¡ THEIR ¡ SLIDES . ¡ The ¡investment ¡game ¡ Experiment: ¡You ¡have ¡2 ¡points. ¡You ¡may ¡invest ¡one ¡of ¡ your ¡points ¡in ¡the ¡community. ¡ ¡ How ¡do ¡we ¡play ¡games? ¡ ¡1. ¡We ¡will ¡hand ¡out ¡a ¡small ¡piece ¡of ¡paper. ¡Write ¡your ¡ name ¡and ¡whether ¡you ¡wish ¡to ¡invest ¡or ¡save ¡on ¡the ¡ paper. ¡DO ¡NOT ¡SHOW ¡ANYONE. ¡ ¡2. ¡Pass ¡the ¡paper ¡to ¡the ¡TA. ¡ ¡We ¡will ¡match ¡the ¡contribuSons ¡at ¡50% ¡(hence ¡every ¡ invested ¡point ¡becomes ¡1.5 ¡points) ¡and ¡then ¡ redistribute ¡the ¡points ¡evenly ¡among ¡everyone. ¡ 1 ¡

9/29/11 ¡ What ¡is ¡a ¡game? ¡ Normal-­‑form ¡games ¡ A ¡set ¡of ¡players, ¡their ¡ I’m ¡Ms. ¡ Hi, ¡my ¡name ¡ Column. ¡ ¡Let’s ¡ possible ¡strategies, ¡ is ¡Mr. ¡Row. ¡ play ¡a ¡game! ¡ and ¡a ¡funcSon ¡ relaSng ¡strategy ¡ choices ¡to ¡payoffs. ¡ two ¡players ¡ 2-­‑player ¡Investment ¡Game ¡ 2-­‑player ¡Investment ¡Game ¡ Mr. ¡Row ¡and ¡Ms. ¡Column ¡each ¡ Column ¡strategies ¡ Ms. ¡Column ¡ Ms. ¡Column ¡ have ¡4 ¡quarters ¡to ¡invest. ¡ Invest ¡ Save ¡ Mr. ¡Row ¡ Mr. ¡Row ¡ 2 ¡

9/29/11 ¡ 2-­‑player ¡Investment ¡Game ¡ 2-­‑player ¡Investment ¡Game ¡ Investments ¡ Row ¡strategies ¡ Ms. ¡Column ¡ Ms. ¡Column ¡ Invest ¡ Save ¡ Invest ¡ Save ¡ Invest ¡ Invest ¡ ( ¡? ¡, ¡ ¡? ¡) ¡ Save ¡ Save ¡ Mr. ¡Row ¡ Mr. ¡Row ¡ 2-­‑player ¡Investment ¡Game ¡ 2-­‑player ¡Investment ¡Game ¡ Returns ¡ Payoff ¡matrix. ¡ Ms. ¡Column ¡ Ms. ¡Column ¡ Invest ¡ Save ¡ Invest ¡ Save ¡ Invest ¡ Invest ¡ ( ¡3 ¡, ¡ ¡7 ¡) ¡ ( ¡? ¡, ¡ ¡? ¡) ¡ ( ¡6 ¡, ¡6 ¡) ¡ ( ¡3 ¡, ¡7 ¡) ¡ Save ¡ Save ¡ ( ¡7 ¡, ¡3 ¡) ¡ ( ¡4 ¡, ¡4 ¡) ¡ Mr. ¡Row ¡ Mr. ¡Row ¡ 3 ¡

9/29/11 ¡ Game ¡Theory ¡ What ¡should ¡row ¡do? ¡ PredicSon: ¡Players ¡will ¡end ¡up ¡ If ¡Column ¡doesn’t ¡ If ¡Column ¡invests, ¡I ¡am ¡ Ms. ¡Column ¡ I ¡SHOULD ¡NOT ¡INVEST! ¡ invest, ¡I ¡am ¡sSll ¡beder ¡ Same ¡here! ¡ not ¡invesSng. ¡ beder ¡off ¡not ¡invesSng. ¡ off ¡not ¡invesSng. ¡ Given ¡a ¡game, ¡can ¡we ¡predict ¡ ¡ Invest ¡ Save ¡ which ¡strategies ¡the ¡players ¡will ¡play? ¡ Invest ¡ ( ¡6 ¡, ¡6 ¡) ¡ ( ¡3 ¡, ¡7 ¡) ¡ Save ¡ ( ¡7 ¡, ¡3 ¡) ¡ ( ¡4 ¡, ¡4 ¡) ¡ Mr. ¡Row ¡ Conclusion ¡ Conclusion ¡ In ¡Investment ¡Game: ¡best ¡strategy ¡is ¡to ¡save, ¡ In ¡Investment ¡Game: ¡best ¡strategy ¡is ¡to ¡save, ¡ ¡ ¡... ¡no ¡mader ¡what ¡other ¡player ¡does. ¡ ¡ ¡... ¡no ¡mader ¡what ¡other ¡player ¡does, ¡ ¡ ¡... ¡even ¡though ¡it ¡is ¡highly ¡sub-­‑opSmal! ¡ This ¡is ¡a ¡ dominant ¡strategy ¡equilibrium . ¡ 4 ¡

9/29/11 ¡ Social ¡OpSmum ¡ Price ¡of ¡anarchy ¡ How ¡societal ¡value ¡much ¡is ¡lost ¡ Social ¡opSmum: ¡Each ¡player ¡ due ¡to ¡lack ¡of ¡coordinaSon? ¡ gets ¡2 ¡more ¡quarters ¡than ¡in ¡ Ms. ¡Column ¡ Ms. ¡Column ¡ equilibrium! ¡ Total ¡val. ¡in ¡equil.: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡8q ¡ Total ¡val. ¡in ¡soc. ¡opt.: ¡12q ¡ PoA: ¡ ¡ ¡ ¡2/3 ¡ Invest ¡ Save ¡ Invest ¡ Save ¡ Invest ¡ Invest ¡ ( ¡6 ¡, ¡6 ¡) ¡ ( ¡3 ¡, ¡7 ¡) ¡ ( ¡6 ¡, ¡6 ¡) ¡ ( ¡3 ¡, ¡7 ¡) ¡ Save ¡ Save ¡ ( ¡7 ¡, ¡3 ¡) ¡ ( ¡4 ¡, ¡4 ¡) ¡ ( ¡7 ¡, ¡3 ¡) ¡ ( ¡4 ¡, ¡4 ¡) ¡ Mr. ¡Row ¡ Mr. ¡Row ¡ What ¡did ¡we ¡do? ¡ Dominant ¡strategies ¡ Dominant ¡ ¡Strategy ¡Equilibrium: ¡ ¡ Results ¡of ¡our ¡investment ¡game. ¡ ¡Each ¡player’s ¡ ¡strategy ¡is ¡her ¡best ¡choice ¡ ¡no ¡mader ¡ ¡what ¡her ¡opponent ¡does. ¡ What ¡do ¡you ¡think ¡of ¡this ¡predicSon? ¡ 5 ¡

9/29/11 ¡ John ¡Nash ¡ Movie ¡Time ¡ The ¡daSng ¡game ¡ The ¡daSng ¡game ¡ Mr. ¡Column ¡ Mr. ¡Column ¡ A ¡blonde ¡and ¡two ¡brunedes ¡ ¡ A ¡blonde ¡and ¡two ¡brunedes ¡ ¡ are ¡siing ¡in ¡the ¡computer ¡lab ¡… ¡ are ¡siing ¡in ¡the ¡computer ¡lab ¡… ¡ Blonde ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡ Brunedes ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡ ( ¡ ¡, ¡ ¡ ¡) ¡ ( ¡ ¡ ¡, ¡ ¡ ¡) ¡ ( ¡0 ¡, ¡0 ¡) ¡ ( ¡2 ¡, ¡1 ¡) ¡ ( ¡ ¡ ¡, ¡ ¡ ¡) ¡ ( ¡ ¡ ¡, ¡ ¡ ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡2 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡1 ¡) ¡ Mr. ¡Row ¡ Mr. ¡Row ¡ 6 ¡

9/29/11 ¡ The ¡daSng ¡game ¡ The ¡daSng ¡game ¡ If ¡Column ¡goes ¡for ¡the ¡blonde, ¡ But ¡if ¡Column ¡goes ¡for ¡the ¡ Row ¡is ¡beder ¡off ¡going ¡for ¡the ¡ brunede, ¡Row ¡definitely ¡wants ¡ Mr. ¡Column ¡ Mr. ¡Column ¡ brunede. ¡ to ¡go ¡for ¡the ¡blonde. ¡ Blonde ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡ Brunedes ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡ ( ¡0 ¡, ¡0 ¡) ¡ ( ¡2 ¡, ¡1 ¡) ¡ ( ¡0 ¡, ¡0 ¡) ¡ ( ¡2 ¡, ¡1 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡2 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡1 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡2 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡1 ¡) ¡ Mr. ¡Row ¡ Mr. ¡Row ¡ The ¡daSng ¡game ¡ The ¡daSng ¡game ¡ There ¡is ¡no ¡dominant ¡ strategy ¡equilibrium! ¡ Mr. ¡Column ¡ Mr. ¡Column ¡ Blonde ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡ Brunedes ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡ ( ¡0 ¡, ¡0 ¡) ¡ ( ¡2 ¡, ¡1 ¡) ¡ ( ¡0 ¡, ¡0 ¡) ¡ ( ¡2 ¡, ¡1 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡2 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡1 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡2 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡1 ¡) ¡ Mr. ¡Row ¡ Mr. ¡Row ¡ 7 ¡

9/29/11 ¡ How ¡to ¡play ¡the ¡daSng ¡game? ¡ How ¡to ¡play ¡the ¡daSng ¡game? ¡ If ¡you ¡think ¡the ¡compeSSon ¡is ¡going ¡to ¡go ¡for ¡ the ¡blonde, ¡then ¡go ¡for ¡the ¡brunedes. ¡ What ¡did ¡you ¡do? ¡ …but ¡if ¡you ¡think ¡the ¡compeSSon ¡will ¡go ¡for ¡the ¡ brunedes, ¡go ¡for ¡the ¡blonde! ¡ The ¡daSng ¡game ¡ Nash ¡equilibria ¡ Nash ¡Equilibria ¡of ¡the ¡daSng ¡game ¡ Mr. ¡Column ¡ Are ¡there ¡any ¡other ¡equilibria? ¡ Each ¡person ¡is ¡playing ¡a ¡mutual ¡best-­‑response. ¡ Blonde ¡ Brunede ¡ Brunede ¡ Blonde ¡ ( ¡0 ¡, ¡0 ¡) ¡ ( ¡2 ¡, ¡1 ¡) ¡ This ¡is ¡a ¡Nash ¡equilibrium. ¡ ( ¡1 ¡, ¡2 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡1 ¡) ¡ Mr. ¡Row ¡ 8 ¡

9/29/11 ¡ An ¡XKCD ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Let’s ¡look ¡at ¡ Another ¡possibility ¡ Nash ¡Equilibria ¡ RandomizaSon: ¡ Each ¡player ¡flips ¡a ¡fair ¡coin ¡to ¡ Mr. ¡Column ¡ decide ¡whether ¡to ¡chat ¡up ¡ Nash ¡Equilibrium: ¡ ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ the ¡blonde ¡or ¡the ¡brunedes. ¡ Blonde ¡ Brunedes ¡ ¡Each ¡player’s ¡strategy ¡is ¡a ¡best-­‑response ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡ ¡to ¡the ¡strategies ¡of ¡his ¡opponents. ¡ 1/2 ¡ ( ¡0 ¡, ¡0 ¡) ¡ ( ¡2 ¡, ¡1 ¡) ¡ (“mixed” ¡if ¡playing ¡probabilisScally, ¡else ¡“pure”) ¡ 1/2 ¡ ( ¡1 ¡, ¡2 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡1 ¡) ¡ Mr. ¡Row ¡ 9 ¡

9/29/11 ¡ Nash ¡Equilibria ¡ ObjecSon ¡#1 ¡to ¡Nash ¡equilibria ¡ There ¡may ¡be ¡many ¡Nash ¡equilibria. ¡ What ¡do ¡you ¡think ¡of ¡this ¡predicSon? ¡ Next ¡Sme ¡ Zero ¡sum ¡games ¡ 10 ¡