A New Holographic Model of Spacelike Singulari7es Gary - PowerPoint PPT Presentation

A ¡New ¡Holographic ¡Model ¡ ¡ of ¡Spacelike ¡Singulari7es ¡ Gary ¡Horowitz ¡ UC ¡Santa ¡Barbara ¡

Gauge/gravity ¡duality ¡is ¡a ¡powerful ¡tool ¡to ¡try ¡to ¡ understand ¡physics ¡near ¡spacelike ¡singulari7es. ¡ ¡ It ¡maps ¡the ¡problem ¡into ¡a ¡problem ¡in ¡ordinary ¡QFT. ¡ ¡ We ¡will ¡focus ¡on ¡cosmological ¡singulari7es. ¡ ¡ We ¡need ¡to ¡construct ¡asympto7cally ¡AdS ¡solu7ons ¡ which ¡evolve ¡into ¡(or ¡from) ¡a ¡singularity ¡that ¡ extends ¡all ¡the ¡way ¡out ¡to ¡infinity. ¡

Outline ¡ Discuss ¡two ¡examples ¡of ¡cosmological ¡singulari7es ¡ in ¡AdS ¡and ¡what ¡is ¡know ¡about ¡the ¡dual ¡CFT ¡ descrip7on: ¡ ¡ 1) Review ¡older ¡work ¡with ¡Hertog ¡(2005) ¡ 2) Work ¡in ¡progress ¡with ¡Hertog ¡and ¡Engelhardt ¡

First ¡holographic ¡model ¡of ¡a ¡ cosmological ¡singularity ¡ Hertog ¡and ¡GH, ¡hep-­‑th/0406134, ¡hep-­‑th/0503071 ¡ Consider ¡gravity ¡in ¡AdS 4 ¡coupled ¡to ¡a ¡scalar ¡with ¡ poten7al ¡V( φ ) ¡having ¡m 2 ¡= ¡-­‑2. ¡One ¡example ¡ coming ¡from ¡a ¡trunca7on ¡of ¡N ¡= ¡8 ¡SUGRA ¡is: ¡ ¡ √ V ( φ ) = − 2 − cosh 2 φ ¡ Solu7ons ¡must ¡approach ¡ dr 2 ds 2 = − ( r 2 + 1) dt 2 + r 2 + 1 + r 2 d Ω

In ¡all ¡asympto7cally ¡AdS ¡solu7ons, ¡the ¡scalar ¡field ¡ falls ¡off ¡like ¡ If ¡ α =0 ¡or ¡ β =0, ¡AdS ¡is ¡stable. ¡Consider ¡a ¡new ¡ boundary ¡condi7on ¡ β =k α 2 ¡ ¡ (Hertog ¡and ¡Maeda) . ¡This ¡is ¡ also ¡invariant ¡under ¡all ¡asympto7c ¡AdS ¡symmetries. ¡ Claim: ¡For ¡all ¡nonzero ¡k, ¡there ¡are ¡solu7ons ¡that ¡ evolve ¡to ¡a ¡big ¡crunch. ¡

Start ¡by ¡solving ¡the ¡Euclidean ¡field ¡equa7ons ¡with ¡ SO(4) ¡symmetry ¡ Get ¡ODE’s. ¡Pick ¡ φ ¡at ¡the ¡origin ¡and ¡integrate ¡out. ¡ Asympto7cally ¡find ¡

Define ¡k ¡by ¡ β = ¡k α 2 . ¡ ¡ φ ¡decays ¡monotonically: ¡ φ ¡ ¡ ¡ ρ ¡ Restric7ng ¡to ¡the ¡equator ¡of ¡the ¡three-­‑sphere, ¡we ¡ get ¡ini7al ¡data ¡for ¡a ¡Lorentzian ¡solu7on. ¡The ¡ evolu7on ¡of ¡this ¡ini7al ¡data ¡can ¡be ¡obtained ¡by ¡ analy7c ¡con7nua7on. ¡ ¡ (Coleman ¡and ¡De ¡Luccia, ¡1980) ¡

The ¡Euclidean ¡origin ¡becomes ¡a ¡Lorentzian ¡ lightcone. ¡Outside ¡the ¡lightcone ¡everything ¡is ¡ smooth ¡and ¡bounded. ¡Inside ¡the ¡lightcone ¡the ¡ solu7on ¡evolves ¡like ¡an ¡open ¡FRW ¡universe: ¡ The ¡field ¡equa7ons ¡imply ¡that ¡the ¡scale ¡factor ¡ vanishes ¡in ¡finite ¡7me, ¡producing ¡a ¡big ¡crunch. ¡

Big ¡crunch ¡ Time ¡symmetric ¡ ini7al ¡data ¡ Asympto7c ¡AdS ¡ Big ¡bang ¡ This ¡looks ¡like ¡Schwarzschild ¡AdS, ¡but: ¡ (1) Infinity ¡is ¡not ¡complete. ¡ ¡ (2) “Horizon” ¡is ¡just ¡the ¡lightcone ¡of ¡the ¡origin. ¡

CFT ¡Descrip7on ¡ This ¡is ¡the ¡2+1 ¡theory ¡on ¡a ¡stack ¡of ¡M ¡2-­‑branes ¡ (Aharony, ¡Bergman, ¡Jafferis, ¡and ¡Maldacena, ¡2008). ¡ The ¡ theory ¡contains ¡eight ¡scalars. ¡With ¡ β =0 ¡boundary ¡ condi7ons, ¡the ¡bulk ¡scalar ¡ φ ¡is ¡dual ¡to ¡the ¡dimension ¡ one ¡operator ¡ Our ¡new ¡boundary ¡condi7on ¡corresponds ¡to ¡adding ¡ to ¡the ¡field ¡theory ¡ac7on ¡the ¡term ¡ (Wiken; ¡Sever ¡and ¡ Shomer): ¡

CFT ¡is ¡like ¡a ¡3D ¡field ¡theory ¡with ¡poten7al ¡ start ¡here ¡ V ¡ ϕ ¡ This ¡field ¡theory ¡is ¡sick: ¡ ϕ ¡rolls ¡down ¡the ¡poten7al ¡ and ¡reaches ¡infinity ¡in ¡finite ¡7me. ¡This ¡is ¡the ¡analog ¡ of ¡evolving ¡to ¡the ¡singularity ¡in ¡the ¡bulk. ¡

Update ¡ Maldacena ¡ (1012.0274) ¡ pointed ¡out ¡that ¡if ¡we ¡use ¡ dS 3 ¡slices ¡near ¡infinity, ¡then ¡ φ ¡is ¡constant ¡on ¡each ¡ slice. ¡ ¡So ¡if ¡we ¡view ¡the ¡dual ¡theory ¡as ¡living ¡on ¡de ¡ Siker ¡space, ¡then ¡our ¡solu7ons ¡exist ¡with ¡ boundary ¡condi7on ¡ β ¡= ¡const. ¡ ¡ This ¡corresponds ¡to ¡adding ¡a ¡single ¡trace ¡operator ¡ O ¡to ¡the ¡CFT ¡on ¡de ¡Siker. ¡This ¡is ¡like ¡a ¡mass ¡term. ¡ ¡ Field ¡theory ¡remains ¡well ¡defined! ¡ ¡

Any ¡renormalizable ¡but ¡not ¡conformal ¡deforma7on ¡ of ¡the ¡QFT ¡on ¡dS 3 ¡will ¡be ¡dual ¡to ¡a ¡crunch ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ (Harlow ¡and ¡Susskind, ¡1012.5302). ¡ ¡ ¡ Problem ¡now ¡is ¡how ¡to ¡describe ¡the ¡region ¡near ¡ the ¡singularity ¡in ¡the ¡dual ¡theory. ¡ ¡ If ¡you ¡rescale ¡back ¡to ¡sta7c ¡cylinder, ¡the ¡mass ¡ deforma7on ¡becomes ¡7me ¡dependent ¡and ¡blows ¡ up ¡when ¡the ¡singularity ¡hits ¡the ¡boundary ¡ (Barbon ¡and ¡Rabinovici, ¡1102.3015). ¡ ¡

A ¡new ¡holographic ¡model ¡of ¡ cosmological ¡singulari7es ¡ ¡ (Engelhardt, ¡Hertog, ¡GH, ¡to ¡appear) ¡ The ¡new ¡model ¡has ¡the ¡advantage ¡that ¡ ¡ 1) The ¡dual ¡CFT ¡is ¡well ¡defined ¡ 2) One ¡can ¡access ¡the ¡region ¡near ¡the ¡ singularity ¡by ¡boundary ¡operators. ¡

The ¡bulk ¡solu7on ¡ Now ¡work ¡with ¡a ¡5D ¡bulk ¡and ¡no ¡scalar. ¡Solu7ons ¡to ¡ Einstein’s ¡equa7on ¡can ¡be ¡obtained ¡by ¡star7ng ¡with ¡ AdS 5 ¡ ds 2 = 1 z 2 ( η µ ν dx µ dx ν + dz 2 ) ¡ ¡ ¡ and ¡replacing ¡η μν ¡ with ¡any ¡Ricci ¡flat ¡metric. ¡We ¡will ¡ use ¡the ¡Kasner ¡metric: ¡ ds 2 = − dt 2 + t 2 p 1 dx 2 1 + t 2 p 2 dx 2 2 + t 2 p 3 dx 2 3 X X p 2 p i = 1 = i i i

✓ − dt 2 + t 2 p 1 dx 2 ds 2 = t 2 1 + t 2 p 2 dx 2 2 + t 2 p 3 dx 2 3 + dz 2 ◆ z 2 t 2 Lesng ¡t ¡= ¡e τ ¡, ¡the ¡boundary ¡metric ¡becomes ¡an ¡ anisotropic ¡version ¡of ¡de ¡Siker ¡in ¡flat ¡slicing ¡ ¡ ds 2 = − d τ 2 + X e − 2(1 − p i ) τ dx 2 ¡ i ¡ i Our ¡bulk ¡solu7on ¡has ¡a ¡dila7on ¡symmetry ¡ ¡ x i → λ (1 − p i ) x i z → λ z, t → λ t, ¡ which ¡acts ¡on ¡each ¡surface ¡of ¡constant ¡t/z. ¡

t/z ¡large ¡ t/z ¡= ¡1 ¡ z ¡= ¡0 ¡ boundary ¡ at ¡infinity ¡ t/z ¡small ¡ t ¡= ¡0 ¡singularity ¡

Calcula7ng ¡two-­‑point ¡func7on ¡ The ¡two ¡point ¡func7on ¡of ¡an ¡operator ¡in ¡the ¡CFT ¡ with ¡large ¡dimension ¡Δ ¡can ¡be ¡calculated ¡using ¡ spacelike ¡geodesics ¡in ¡the ¡bulk ¡with ¡endpoints ¡on ¡ the ¡boundary ¡(see ¡also ¡Hubeny’s ¡talk): ¡ ¡ h ψ | O ( x ) O ( x 0 ) | ψ i = e � L reg ( x,x 0 ) ∆ ¡ where ¡L reg ¡is ¡the ¡regulated ¡length ¡of ¡the ¡geodesic. ¡ O O x 2 ¡= ¡x 3 ¡= ¡0 ¡ x 1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡t ¡= ¡1 ¡ ¡ ¡ ¡ -­‑x 0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡x 0 ¡

Bulk ¡geodesics ¡effec7vely ¡travel ¡in ¡3D ¡space7me ¡ ¡ ds 2 = 1 ¡ z 2 ( − dt 2 + t 2 p 1 dx 2 + dz 2 ) ¡ ¡ Using ¡x ¡as ¡a ¡parameter ¡along ¡the ¡geodesic, ¡t(x) ¡ sa7sfies ¡ ¡ t ( x ) t 00 ( x ) = p 1 [2 t 0 ( x ) 2 − t ( x ) 2 p 1 ] ¡ ¡ By ¡symmetry, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡, ¡so ¡ ¡ t 0 (0) = 0 for ¡p 1 ¡< ¡0, ¡geodesics ¡bend ¡toward ¡the ¡singularity ¡ and ¡for ¡p 1 ¡> ¡0 ¡they ¡bend ¡away. ¡ ¡

boundary ¡ at ¡infinity ¡ p 1 ¡> ¡0 ¡ p 1 ¡< ¡0 ¡ t ¡= ¡0 ¡singularity ¡

Length ¡of ¡geodesics ¡ Using ¡t ¡as ¡the ¡parameter, ¡the ¡geodesic ¡is ¡given ¡by ¡X(t), ¡ Z(t). ¡Its ¡length ¡is ¡ ¡ Z 2 i 1 / 2 Z 1 h X 2 + ˙ − 1 + t 2 p 1 ˙ ¡ L = dt Z ¡ t 2 p 1 ˙ X δ ¡L/δ ¡X ¡= ¡0 ¡implies ¡ Z [ · · · ] 1 / 2 = const ¡ ¡ Z t 2 p 1 ˙ X So ¡ ¡ ¡ L ∝ dt Z 2